§ З.Расчет погрешностей при косвенных измерениях

При косвенных измерениях для вычисления погрешности воспользуемся методом дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина , где - непосредственно измеряемая величина. Пусть при измерении величины допущена погрешность , поэтому искомая величина вычисляется тоже не точно, с некоторой погрешностью . Для того чтобы рассчитать , запишем тождество , затем умножим и разделим его правую часть на :

.

Для малых значений справедливо соотношение:

,

следовательно,

(1)

Таким образом, абсолютная погрешность функции равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную этой функции по этому аргументу.

Если искомая величина является функцией нескольких переменных , где - непосредственно измеряемые величины и их погрешности равны то при вычислении абсолютной погрешности нужно учесть погрешности, вносимые всеми этими величинами . Погрешность, обусловленная неточностью измерения величины будет равна, согласно формуле (1):

обусловленная неточностью измерения и т д.

В выражении берется частная производная, потому что в данном случае учитывается зависимость величины только от конкретной величины , все остальные аргументы считаются постоянными величинами.

Рассчитав абсолютную погрешность измерения можно вычислить по формуле:

.

Подставив в это выражение значения , получаем:

(2)

Относительная погрешность косвенных измерений вычисляется по формуле:

, (3)

где - значение функции, полученное после подстановки в нее средних значений аргументов . Подставляя в (3) выражение (2), получаем:

Учитывая, что получаем:

.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях.

1. Обработать результаты прямых измерений каждой из непосредственно измеряемых величин согласно пунктам параграф 2.

2. Вычислить величину , подставив в расчетную формулу среднее значение непосредственно измеряемых величин.

3. Вывести формулу для расчета или согласно уравнениям (2) или (4).

4. Вычислить абсолютную и относительную погрешности результата и .

5. Провести округление результатов расчета.

6. Записать результат измерений в виде:

При проведении округления пользуются теми же правилами, что и при обработке результатов прямых измерений. Следует учитывать, что ес­ли в расчетную формулу входят величины, которые в процессе экспери­мента не измеряются и для них не указана величина погрешности, то обычно считается, что эта погрешность составляет ± 0,5 единицы наи­меньшего разряда, представленного в числе. Например, дана масса , погрешность следует принять равной ± 0,05г. Если в расчетную формулу входят числовые постоянные ( и т.д.), то за погрешности этих величин принимаются погрешности округления.

§ 4. Вычисление погрешностей при косвенных измерениях, когда контролируемые условия не воспроизводимы

При невоспроизводимых измерениях невозможно найти средние значения измеряемых величин , поэтому методика расчета погрешностей, изложенная в предыдущем параграфе, неприемлема. В этом случае при обработке результатов следует придерживаться следующего порядка:

1 .Измерить величины раз, где - номер измеряемой величины, приписываемый параметрам, от которых зависит , -номер измерения величины .

2. Рассчитать n раз значения , получив величины , где .

3. Найти среднее значение по формуле:

.

4. Вычислить отклонение от среднего :

.

5. Определить среднеквадратичную погрешность измерений :

6. Задать значение надежности и по таблице 1 найти коэффициент Стьюдента .

7. Рассчитать случайную погрешность: .

8. Вычислить средние значения :

9. Определить приборные погрешности

10. Вывести формулу для нахождения приборной погрешности :

11. Рассчитать , подставив в полученное выражение средние значения и величины приборных погрешностей .

12. Вычислить погрешность измерений:

.

13. Найти относительную погрешность:

14. Записать полученный результат в виде: