§ 2. Расчет погрешности при прямых измерениях

Проведя серию из прямых измерений некоторой величины X, мы получаем набор значений X₁, Х₂,…Х_п. Наиболее точно истинное значение величины X характеризуется средним арифметическим <Х> результата измерений:

.

Истинная погрешность измерения при этом равна:

.

Поскольку истинное значение величины X измерить невозможно, то и определить тоже нельзя. На практике используют различные приближенные методы определения погрешности.

Предположим сначала, что погрешность измерения определяется полностью случайной погрешностью . Для оценки случайной погрешности делаются следующие предположения:

1. Случайные погрешности отдельных измерений могут принимать непрерывный ряд значений.

2. Погрешности равной величины, но противоположного знака встречаются одинаково часто.

3. Случайная погрешность обращается в нуль при бесконечно большом числе измерений.

Поскольку на практике число измерений ограничено, то случайная погрешность не равна нулю. Наиболее точное истинное значение погрешности измерений характеризует абсолютная погрешность , которая учитывает случайную и приборную погрешности и может быть рассчитана по формуле:

.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность измерения , определяемая по формуле:

.

Приведем алгоритм обработки результатов при прямых измерениях.

1. Измерить раз некоторую величину X, получив значения X₁, Х₂,…Х_n.

2. Вычислить среднее значение результатов измерений:

.

3. Определить отклонение от среднего каждого результата измерений:

.

4. Рассчитать среднеквадратичную погрешность по формуле:

.

5. Выбрать значение надежности измерений .

Надежностью результата называется вероятность того, что истинное значение X измеряемой величины попадает в интервал , где - абсолютная погрешность,

которая будет вычислена после обработки результатов измерений.

6. По таблице 1 найти значение коэффициента Стьюдента .

7. Оценить приборную погрешность

8. Вычислить абсолютную погрешность:

где .

Таблица 1.

Значения коэффициентов Стьюдента .

	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99
2	2,0	3,1	6,3	4,3	636,6
3	1,3	1,9	2,9	3,2	31,6
4	1,3	1,6	2,4	2,8	12,9
5	1,2	1,5	2,1	2,6	8,6
6	1,2	1,5	2,0	2,4	6,9
7	1,1	1,4	1,9	2,4	6,0
8	1,1	1,4	1,9	2,4	5,4
9	1,1	1,4	1,9	2,3	5,0
10	1,1	1,4	1,8	2,3	4,8

9. Найти относительную погрешность измерения:

10. Записать результат измерений в виде:

Прежде чем записать результат измерений необходимо: произвести округление абсолютной и относительной погрешностей и среднего значения <Х>. При округлении погрешностей необходимо знать, что погрешности округляются всегда в сторону большего и никогда не включают в себя больше двух значащих цифр. Значащими цифрами называются все цифры кроме нуля, а также нуль в двух случаях:

а) когда он стоит между значащими цифрами;

б) когда он стоит в конце числа и известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется.

Если первая значащая цифра в погрешности больше 4, то все остальные цифры округляются. Так, например, если при вычислении погрешностей получилось, что , , то после округления в том и другом случае должна остаться только первая значащая цифра, причем округление ведется в сторону большего. Тогда получаем после округления: .

Если первая значащая цифра в погрешности меньше 5, то округление ведется до двух первых значащих цифр. Например, если при вычислении погрешностей получилось, что , , то после округления должны остаться только две первые значащие цифры с учетом округления в большую сторону: , .

После округления абсолютной погрешности необходимо округлить и среднее значение измеряемой величины. Округление ведется до сомнительной цифры. Сомнительной в среднем значении <Х> называется цифра в том разряде, в котором начинается абсолютная погрешность. Если погрешность содержит в себе десятки, то число десятков в среднем значении <Х> будет сомнительным. Например, в серии измерений получено <Х>=5873 м, ΔХ=32 м. Сомнительным является разряд десятков, поэтому после округления до сомнительного разряда получаем <Х>=5870 м, ΔХ = 32 м и окончательный результат можно записать в виде:

X = (5870±32) м.