Vychislitelnaya_matematika131016
.docМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт кибернетики, информатики и связи
Кафедра кибернетических систем
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ И ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов и изучению дисциплины «Численные методы» для студентов направления подготовки 220400 « Управление в технических системах»
Составитель П.И. Ковалёв
Тюмень 2013
ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЁННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
Значения величин, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни, отчётах о научных исследованиях, технических документах можно разделить на точные и приближённые. Мы можем сосчитать количество страниц в книге, количество человек в комнате. В Международной системе единиц Си, принятой в октябре 1960 года XI Генеральной конференцией по мерам и весам один сантиметр равен 0,01 метра, а один метр равен 1650763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2 p10 и 5 d5 атома криптона-86 [Политехнический словарь.- М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1977.- 608с, стр. 285, 595] — в этом предложении все числовые значения величин являются точными. В приложении к книге [Фейнмановские лекции по физике. 1. Современная наука о природе. Законы движения. 2. Пространство. Время. Движение // Р. Фейнман, Р Лейтон, М. Сэндс.- М.: Мир, 1976.- 439 с, стр. 433] приведены значения некоторых физических постоянных: скорость света в вакууме — 2,997925 · 108 м / c, элементарный заряд (заряд протона) – 1,60210 · 10-19 Кл, атомная единица массы — 1,66043 · 10-27 кг — здесь все значения величин являются приближёнными.
Перечислим несколько причин возникновения приближённых значений величин:
неточность измерительного прибора (при помощи линейки нельзя определить точную длину детали);
неточность вычислительного метода (мы не можем представить обыкновенную дробь 1 / 3 в виде конечной десятичной дроби);
привлечение иррациональных чисел (число π — отношение длины окружности к её диаметру - нельзя представить обыкновенной дробью);
статистический характер закономерностей квантовой механики (чем точнее измерены координаты элементарной частицы, тем больше погрешность измерения её импульса);
точного значения измеряемой величины не существует (ускорение свободного падения зависит от широты места и высоты его над уровнем моря, на широте Москвы на уровне моря ускорение свободного падения g = 9,8156 м / c2, стандартное (нормальное) ускорение свободного падения gст = 9,80665 м / с2) и т. д.
Иногда приближённое значение величины указывается потому, что нет необходимости знать её точное значение или потому, что через некоторое время точное значение может измениться (в Тюменском государственном нефтегазовом университете обучаются 30 000 студентов — приближённое значение 30 000 заменяет точное значение).
ПОГРЕШНОСТЬ
Абсолютной погрешностью приближённого значения a какой-либо величины v называется разность между её точным значением x и этим приближённым значением. Абсолютная погрешность приближённого значения a обозначается символом Δ ( a ):
Δ ( a ) = x – a.
Абсолютная погрешность суммы приближённых значений a, b величины v равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых:
Δ ( a + b ) = Δ ( a ) + Δ ( b ).
Действительно, пусть x, y – точные значения величины v, a, b – соответствующие приближённые значения, тогда
x = a + Δ ( a ),
y = b + Δ ( b ),
Δ ( a + b ) = ( x + y ) - ( a + b ) = ( a + Δ ( a ) + b + Δ ( b )) - ( a + b ) = Δ ( a ) + Δ ( b ).
Относительной погрешностью приближённого значения a величины v называется отношение абсолютной погрешности к приближённому значению. Относительная погрешность приближённого значения a обозначается символом δ ( a ):
δ ( a ) = Δ ( a ) / a,
Δ ( a ) = δ ( a ) ∙ a.
Относительная погрешность произведения приближённого значения a величины v на приближённое значение b величины w равно сумме относительных погрешностей сомножителей:
δ ( a ∙ b ) = δ ( a ) + δ ( b ).
Докажем это утверждение:
Δ ( a ∙ b ) = x ∙ y - a ∙ b = ( a + Δ ( a )) ∙ ( b + Δ ( b )) - a ∙ b = a ∙ Δ ( b ) + b ∙ Δ ( a ) + Δ ( a ) ∙ Δ ( b );
предполагается, что абсолютные погрешности Δ ( a ), Δ ( b ) представляют собой малые десятичные дроби, они гораздо меньше единицы, поэтому их произведением в правой части равенства можно пренебречь, тогда
δ ( a ∙ b ) = Δ ( a ∙ b ) / ( a ∙ b ) = ( a ∙ Δ ( b ) + b ∙ Δ ( a )) / ( a ∙ b ) = Δ ( a ) / a + Δ ( b ) / b = δ ( a ) + δ ( b ).
Как правило, абсолютную погрешность точно определить невозможно, поэтому оценивают предельную абсолютную погрешность Δпр ( a ) приближённого значения a, удовлетворяющую неравенству
Δпр ( a ) ≥ | Δ ( a ) |.
Аналогично определяется предельная относительная погрешность:
δпр ( a ) ≥ | δ ( a ) |.
Точное значение x записывают так:
x = a ± Δпр ( a )
или
x = a · ( 1 ± δпр ( a )),
это означает, что точное значение x удовлетворяет неравенству
a - Δпр ( a ) ≤ x ≤ a + Δпр ( a )
или неравенству
a · ( 1 - δпр ( a )) ≤ x ≤ a · ( 1 + δпр ( a )).
Оценки погрешностей разности и отношения похожи на оценки погрешностей суммы и произведения, однако здесь надо использовать предельные значения погрешностей:
Δпр ( a - b ) = Δпр ( a ) + Δпр ( b ),
δпр ( a / b ) = δпр ( a ) + δпр ( b ).
Для оценки абсолютной погрешности функции f ( x ) используют понятие производной. Напомним, что производной функции f в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел обозначается символом f´ ( x ):
f ´( x ) = lim ( f ( x + Δx ) – f ( x )) / Δx
Δx → 0
В том случае, когда приращение функции является малым числом, справедливо приближённое равенство
f ´( x ) ≈ ( f ( x + Δx ) – f ( x ) ) / Δx
или
f ( x + Δx ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )) Δx.
Δ ( f ( a )) = f ( x ) - f ( a ) = f ( a + Δ ( a )) - f ( a ) ≈ f ' ( a ) Δ ( a ),
Таким образом,
Δ ( f ( a )) = f ' ( a ) Δ ( a ).
В частности, ( xα )' = α xα – 1, следовательно,
Δ ( aα ) = α aα – 1 Δ ( a )
δ ( aα ) = α aα – 1 Δ ( a ) / aα = α Δ ( a ) / a.
Например,
Δ ( a1/2 ) = a– 1/2 Δ ( a ) / 2
δ ( a1/2 ) = Δ ( a ) / ( 2 a ).
ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ
Привычной формой представления целых чисел и десятичных дробей является представление с фиксированной запятой: 2,71828 — приближённое значение основания натуральных логарифмов(числа e), 12 - атомный номер углерода и т. п. Представление вещественного числа с плавающей запятой состоит из двух частей: сначала пишут представление целого числа или десятичной дроби с фиксированной запятой, потом ставят знак умножения (точку), за которой следует степень 10. Одно и то же число можно написать по-разному: скорость звука в воздухе при температуре 0° C равна 331 м / c (представление с фиксированной запятой) или 0,331· 103 м / с, 3,31· 102 м / с (представления с плавающей запятой).
Значащими цифрами целого числа или десятичной дроби, представленных с фиксированной или с плавающей запятой, называются все цифры (разряды) части с фиксированной запятой, исключая стоящие в ней слева нули: представления значения скорости звука 0,331· 103 м / с, 3,31· 102 м / с, 331 м / с содержат по три значащих цифры: 3, 3 и 1. Значащие цифры подсчитывают слева направо — первая значащая цифра, вторая значащая цифра и т. д.
Для простоты мы будем рассматривать неотрицательные числовые значения. Пусть a0, a1, …, ak – значащие цифры приближённого значения a величины v (считая слева направо), тогда
a = a0 · 10n + a1 · 10n-1 +...+ ak-1 · 10n-k
где число n определено однозначно.
Говорят, что первые m значащих цифр приближённое значения a являются верными, если
10n-m+1 < ω · Δ ( a ),
где ω — заданное положительное число. Когда ω = 1, цифры a0, a1, …, am-1 называются верными в широком смысле, а когда ω = 0,5, они называются верными в узком смысле.
В качестве примера рассмотрим приближённое значение числа π (отношения длины окружности к её диаметру):
π = 3,141 592 653 589 793....
[Математическая энциклопедия. Т. 4.- М.: Советская Энциклопедия, 1984.- 1216 стб., стб. 282]. В правой части равенства 16 значащих цифр:
π ≈ 3 · 100 + 1·10-1 + 4 · 10-2 + 1 · 10-3 + 5 · 10-4 + 9 · 10-5 + 2 · 10-6 + 6 · 10-7 + 5 · 10-8 + 3 · 10-9 + 5 · 10-10 + 8 · 10-11+ 9 · 10-12 + 7 · 10-13 + 9 · 10-14 + 3 · 10-1 5.
Древние египтяне использовали приближённое значение числа π равное 3: 3 = 3 · 100, n = 0, 10n-m+1= 100-m+1 = 10-m+1 . Предельная абсолютная погрешность этого приближения составляет 0,142. Чтобы определить количество верных значащих цифр, надо решить неравенство 0,142 < ω 10-m+1. При m = 1 10-m+1 = 100 = 1, 0,142 < 1 и 0,142 < 0,5 · 1, а при m = 2 10-m+1 = 10-2+1 = 10-1 = 0,1, 0,142 > 0,1. Таким образом, цифра 3 является единственной верной цифрой египетского приближённого значения π в узком и в широком смысле.
Архимед доказал, что точное значение числа π удовлетворяет следующему неравенству:
223 / 71 < π < 22 / 7
[Веселовский И. Н. Архимед.-М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1957.- 111 с; стр. 96]. Переведём обыкновенные дроби в десятичные:
3,14084 < π < 3,14286.
В качестве приближённого значения можно взять среднее арифметическое чисел 3,14084 и 3,14286: π ≈ ( 3,14084 + 3,14286 ) / 2 = 3,14184. Предельная абсолютная погрешность этого приближения равна половине разности границ интервала: (3,14286 — 3,14084) / 2 = 0,00101. Приближённое значение числа π содержит 6 значащих цифр, показатель степени n мы уже вычисляли, n = 0. Решаем неравенство
0,00101 < ω 10-m+1:
m = 3: ω 10-3+1 = ω 0,01,
m = 4: ω 10-4+1 = ω 0,001,
следовательно, приближённое значение π, которое вычислил Архимед, содержало три верные цифры: 3,14.
Задание. Определите относительные погрешности приближённых значений отношения длины окружности к диаметру, вычисленных древними египтянами и Архимедом.
Задание. В сочинении «Измерение круга» Архимед приводит два приближённых значения корня квадратного из 3: 1351 / 780 и 265 / 153 [Веселовский И. Н. Архимед.-М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1957.- 111 с; стр. 92]. Определите их абсолютные и относительные погрешности, а также количество верных значащих цифр.
ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Порядок арифметических действий. Вычислите: 1 + 2 · ( 3 · 4 + 5 ).
Арифметические действия с дробями. Вычислите:
1 + 2 · ( 3 / 4 + 5 ),
3 / 14 – 5 / 6,
( 3 / 14 ) · ( 5 / 6 ),
( 3 / 14 ) / ( 5 / 6 ).
Алгебраические преобразования. Раскройте скобки в следующем выражении
( a + b )2,
объясните выполненные преобразования.
Алгебраические дроби. Выполните действия:
( a2 - b2 ) / ( a – b ) - b.
Показательная функция.
Сформулируйте определение показательной функции.
Нарисуйте график показательной функции с основанием a ( a > 0 ).
Укажите область определения показательной функции.
Логарифмическая функция.
Сформулируйте определение логарифма.
Нарисуйте график логарифмической функции с основанием a ( a > 0 ).
Укажите область определения логарифмической функции.
Вычислите значение lg 0,001.
Вычислите значение eln 1,75.
Вычислите значение lg 4 + lg 25.
Вычислите значение log2 0,25.
Степенная функция.
Вычислите значение ( 8 / 27 )-2/3.
Вычислите значение 61/2 · ( 9 / 4 )1/4.
Измерение углов.
Нарисуйте угол, величина которого составляет примерно 200º.
Величина угла равна 12º. Переведите это значение в радианы.
Величина угла равна 2 радиана. Переведите это значение в градусы.
Тригонометрические функции.
Сформулируйте определение синуса.
Сформулируйте определение косинуса.
Синус угла равен -0,6. Вычислите возможные значения косинуса этого угла.
Приведите пример точного целого значения величины.
Приведите пример точного дробного значения величины.
Приведите пример приближённого целого значения величины.
Приведите пример приближённого дробного значения
величины.
Перечислите причины возникновения приближённых значений величин.
Определите, о каких величинах, точных или приближённых, говорится в следующем предложении: «Атомной единицей массы называется 1 / 12 массы изотопа углерода C12».
Сформулируйте определение абсолютной погрешности.
Чему равна абсолютная погрешность суммы приближённых величин?
Чему равна абсолютная погрешность произведения приближённых величин?
Сформулируйте определение относительной погрешности.
Чему равна относительная погрешность произведения приближённых величин?
Напишите соотношение, устанавливающего связь абсолютной погрешности с предельной абсолютной погрешностью.
Напишите соотношение, устанавливающего связь относительной погрешности с предельной относительной погрешностью.
Чему равна предельная абсолютная погрешность разности приближённых величин?
Чему равна предельная относительная погрешность отношения приближённых величин?
Объясните смысл соотношения x = a ± Δпр ( a ).
Объясните смысл соотношения x = a · ( 1 ± δпр ( a )),
В Политехническом словаре приводится такое значение элементарного электрического заряда: (1,6021917 ± 0,0000070) · 10-19 Кл. Оцените предельную абсолютную погрешность измерения элементарного электрического заряда
В Политехническом словаре приводится такое значение элементарного электрического заряда: (1,6021917 ± 0,0000070) · 10-19 Кл. Оцените предельную относительную погрешность измерения элементарного электрического заряда.
На широте Москвы на уровне моря ускорение свободного падения g = 9,8156 м / c2, это значение было округлено до g = 9,82 м / c2. Оцените предельную абсолютную погрешность округлённого значения.
Стандартное (нормальное) ускорение свободного падения gст = 9,80665 м / с2, это значение было округлено до 9,81 м / с2. Оцените предельную абсолютную погрешность округлённого значения.
На широте Москвы на уровне моря ускорение свободного падения g = 9,8156 м / c2, это значение было округлено до g = 9,82 м / c2. Оцените предельную относительную погрешность округлённого значения.
Стандартное (нормальное) ускорение свободного падения gст = 9,80665 м / с2), это значение было округлено до 9,81 м / с2 Оцените предельную относительную погрешность округлённого значения.
В ходе выполнения лабораторной работы использовалось округлённое значение скорости света в вакууме равное 300 000 км / с. Оцените предельную абсолютную погрешность округлённого значения.
В ходе выполнения лабораторной работы использовалось округлённое значение скорости света в вакууме равное 300 000 км / с. Оцените предельную относительную погрешность округлённого значения.
Измеряя стороны прямоугольного участка земли, его владелец получил значения 21 м и 29 м, предельная абсолютная погрешность измерений составила 0,1 м. Оцените предельную абсолютную погрешность площади участка.
Измеряя стороны прямоугольного участка земли, его владелец получил значения 21 м и 29 м, предельная абсолютная погрешность измерений составила 0,1 м. Оцените предельную относительную погрешность площади участка.
Измеряя стороны прямоугольника, ученик получил значения 0,21 м и 0,19 м, предельная абсолютная погрешность измерений составила 0,001 м. Используя эти значения, он вычислил диагональ прямоугольника. Оцените предельную абсолютную погрешность диагонали прямоуголника.
Выполняя лабораторную работу, студент получил значение величины угла равное 30º. Относительная погрешность измерения составляла 1%. Используя это значение, он вычислил синус угла. Оцените предельную абсолютную погрешность полученного результата.
Выполняя лабораторную работу, студент получил значение величины угла равное 30º. Относительная погрешность измерения составляла 1%. Используя это значение, он вычислил синус угла. Оцените предельную относительную погрешность полученного результата.
Сформулируйте определение значащей цифры числа.
В Соединённых штатах 1 нефтяной баррель равен 0,15899 м3. Определите количество значащих цифр в записи этого числа.
Один британский фут равен 0,304800 м. Определите количество значащих цифр в записи этого числа.
Сформулируйте определение верных значащих цифр числа.
Один британский фут равен 0,304800 м, в записи этого числа все цифры верные. Используя это значение, техник вычислил, сколько кубических метров составляет один кубический фут. Определите количество верных значащих цифр в полученном значении.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
Напомним, что величина y называется функцией величины x, если каждому значению x из некоторого множества X поставлено в соответствие по определённому правилу значение y. Множество X называется областью определения функции, а величина x - независимой переменной (иногда аргументом) функции y. Функциональную зависимость между величинами y и x выражают так: y = f ( x ); буквой f в этом равенстве обозначено правило, которое устанавливает соответствие между x и y. Функции задаются различными способами:
электродвижущая сила источника переменного (синусоидального) тока в момент времени t вычисляется по формуле
E ( t ) = Emax cos ( 2 π ν t + φ ),
Emax – амплитуда колебаний электродвижущей силы, ν - её частота, φ — фаза колебаний; в обычной розетке амплитуда Emax равна произведению эффективного или действующего напряжения (220 В) на корень квадратный из двух, ν = 50 с-1, значениие φ зависит от выбора начала отсчёта времени; областью определения функции E ( t ) служит числовая прямая. Способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим;
ПАКЕТ MATLAB
Пакет прикладных программ MATLAB предоставляет пользователю проблемно-ориентированную инструментальную среду, которая позволяет автоматизировать математические вычисления. В первую очередь этот пакет предназначен для технических расчетов. Среда MATLAB реализована в виде обычного оконного приложения, для её запуска достаточно дважды щёлкнуть левой кнопкой мыши по её значку на экране или выполнить операцию 'открыть' в её контекстном меню. После запуска программы MATLAB на экране появляется главное окно среды; клиентская часть главного окна называется командным окном системы. Символ >> указывает командную строку.
Простейшей командой является математическое выражение, состоящее из чисел и знаков математических операций +, -, *, /. Каждое такое выражение среда интерпретирует как команду вычислить его значение; это значение присваивается переменной ans (answer – ответ). Среда выполняет команду после того, как пользователь нажмет клавишу Enter. Пример:
>> 3/7
ans=
0,4286
среда MATLAB вывела округленный результат вычислений, оставив в нем лишь четыре десятичных разряда. Команда
>> format long
позволяет пользователю выводить результаты вычислений с максимальной точностью в течение сеанса работы. Чтобы вернуться к сокращенному представлению чисел, следует выполнить команду
>> format short.
Пример:
>> format long
>> 3/7
ans=
0,428571…
>> format short.
>> 3/7
ans=
0,4286
Для обозначения операции возведения в степень используется символ ^ , он называется сиркомфлексом.
Пример:
>> 3^7
ans=
2187
>> 2^10
ans=
1024.
Переменные. Значение переменной ans можно использовать в выражениях командной строки, например:
>> 3/7
ans=
0,4286
>> 2* ans
ans=
0,8571
Операция присваивания, которая обозначается знаком равенства '=', позволяет пользователю создавать свои переменные и присваивать им значения выражений:
>> х=3/7
х=
0,4286
>> 2 * х
ans=
0,8571
Точка с запятой после команды подавляет вывод на экран результатов этой команды:
>> a=5;
>> b=18;
>> a*b
ans=
90
Используйте точку с запятой для устранения вывода на экран лишней информации.
Наряду с арифметическими операциями среда MATLAB выполняет операции сравнения, результаты которых обозначаются символами 1 (истина) и 0 (ложь):
отношения 'меньше' и 'больше'
>> 3 < 4
ans =
1
>> 3 > 4
ans =
0
отношение 'равняется'
>> 3 == 3
ans=
1
>> 1 == 3
ans=
0
отношение 'не равно'
>> 3~= 1
ans=
1
>> 3 ~= 3
ans=
0.
(значок '~' читается 'тильда'). Обратите внимание, что символ операции сравнения 'равняется', в отличие от символа операции присваивания, обозначается при помощи двух следующих друг за другом знаков '='. Если мы попытаемся использовать один знак '=', среда выдаёт сообщение об ошибке:
>> 3 = 1
??? 3 = 1
Error: The expression to the left of the equals sign is not a valid target for an assignment (Ошибка: Выражение в левой части символа равенства не подходит для присваивания).
Нестрогие неравенства: <= (меньше или равно), >= (больше или равно).
Операция конъюнкции обозначается символом 'амперсанд' (&), вертикальная палочка (|) обозначакт дизъюнкцию, значок 'тильда' (~) - отрицание:
>> ( 3>4 ) & ( 2 > 1)
ans=
0
>> ( 3>4 ) | ( 2 > 1)
ans=
1
>> ~ ( 3>4 )
ans=
0
"Основным типом данных, с которым производится вычисление в среде MATLAB являются конечные десятичные дроби, приближающие с заданной точностью произвольные вещественные числа. Последние в общем случае представимы лишь в виде бесконечных десятичных дробей. Можно сказать, что MATLAB работает с вещественными числами приближённо...
Если операнды и результаты вычислений являются целыми, то, хотя они и представляются в памяти машины так же, как и дробные числа, визуально в командном окне MATLAB они показываются в виде целых чисел" [Мартынов Н.Н., Иванов А.П. MATLAB 5.x. Вычисления, визуализация, программирование.-М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000.- 336с.; стр. 9-10]
Примеры.
>> 4 + 5
ans=
9
>> a = 7
a=
7
>> b = 6
b=
6
>> a * b
ans=
42
>> c = ans - 3
c=
39
Остаток от деления одного натурального числа на другое вычисляется с помощью операции mod:
>> mod ( 17 , 3 )
ans=
2.
Если остаток от деления равен нулю, то частное отображается на экране в виде целого числа:
>> a = 54;
>> b = 18;
>> a / b
ans=
3.
Для реализации операции целочисленного деления используется функция floor, которая отбрасывает дробную часть десятичной дроби:
>> a = 234;
>> b = 23;
>> floor ( a / b )
ans=
10.
Перечень чисел, заключённый в квадратные скобки на языке среды MATLAB обозначает массив. Команда
>> X = [ 3, 5, 12 ]
создаёт массив из трёх элементов, значение первого элемента (элемента с индексом 1) равно 3, значение второго равно 5, значение третьего элемента равно 12. Операция присваивания задаёт имя массива, оно используется для выполнения операций над массивом и его элементами:
>> X ( 1 )
X ( 1 ) =
3
>> X ( 7 ) = sqr ( X ( 1 ))
X ( 7 ) =
9
>> X
X =
3 5 12 0 0 0 9
Команда X ( 1 ) вывела на экран значение первого элемента массива X; выполняя команду X ( 7 ) = sqrt ( X (1)) среда MATLAB добавляет к массиву X элементы с индексами 4, 5, 6, 7, возводит значение первого элемента массива X в квадрат и присваивает результат – число 9 – седьмому элементу, элементам с индексами 4, 5, 6 присваиваются нулевые значения.
Если числа, заключённые в квадратные скобки, отделяются друг от друга не запятой, а точкой с запятой, то полученный массив представляет собой вектор-столбец, его элементы выводятся на экран в виде столбца:
>> Y = [ 1; 3; 5; 7 ]
Y =
1
3
5
7
Аргументом функции length служит массив, она возвращает количество его элементов:
>> length ( X )
ans =
3
>> length ( Y )
ans =
4
Для представления матриц используются двойные массивы, значения их элементов также заключаются в квадратные скобки, одной и той же строки отделяются друг от друга запятыми, а элементы соседних строк отделяются друг от друга точкой с запятой:
>> A = [ 1, 3; 2, 4; 5, 7 ]
A =
1 3
2 4
3 5
Для завершения работы в среде MATLAB наберите в командной строке команду exit (выход) или щёлкните левой кнопкой мыши по системной кнопке 'закрыть' окна среды MATLAB.
Пакет MATLAB требует значительного количества вычислительных и информационных ресурсов, так что его обычно устанавливают на сервере. Пользователь получает доступ к нему с машины-клиента, как правило, это персональная ЭВМ. Машинное время сервера стоит очень дорого, поэтому работа пользователя в интерактивном режиме малоэффективна. Команды среды MATLAB записывают в специальный текстовый файл с расширением «m». Такой файл называется командным файлом, сценарием или m-файлом. Он должен находиться в активной директории среды MATLAB. Имя активной директории выводит на экран команда cd без аргументов, которая запускается в командной строке среды MATLAB.