Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде

(7.11)

i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.

где

Выводы:

На лекции 26 мы рассмотрели:

1. Конечно-разностный аналог решения задачи нестационарного теплообмена при перевозке нефти трубопроводом.

2. Построение сетки.

3. Сведение к системе алгебраических уравнений.

Лекция 27.

План лекции:

Метод прогонки для решения разностной схемы.

Алгоритм и блок-схема.

Переменные и константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Система (7.9) – (7.10) является системой линейных алгебраических уравнений с N-1 неизвестными. Полученная задача решается методом прогонки.

Пусть

. (7.12)

После подстановки в (7.11) получится рекуррентная формула

(7.13)

Для определения преобразуя (7.10) приводим его к виду

(7.14)

где

Сравнивая (7.14) с (7.12) получаем, что

(7.15)

Теперь из (7.12) , (7.15) определяются все

После этого рассматривая совместно (7.12) и (7.9) вычисляются все

В данном случае все условия теоремы 2 из §4 выполняются, поэтому метод прогонки для решения задачи (7.9) – (7.11) является устойчивой.

7.4. Расчетная схема.

1) Используя заданные функций вычисляются

(7.16)

2) Из рекуррентного соотношения

определяются все

3) После этого используя формулу правой прогонки

определяются все .

7.5. Переменные и блок – схема.

В данном случае искомая функция зависит от двух переменныхt и х. Поэтому соответствующая сеточная функция зависит от двух дискретных переменныхi и j. При программировании мы должны резервировать место в оперативной памяти компьютера для двухмерного массива.

Блок-схема

Начало

α, Н₀, N, М, λ(θ), с(θ),ρ(θ), θ₁

Ввод начальных данных и

описание термодинамических

характеристик грунта.

- - - - -

Вычисление параметров

разностной схемы и

начальной функций

Δt, Δh,

У[l], l =0, …, N

У1[0] = θ₁

- - - - -

конец

J = 0, M - 1, 1

E, α_N-1, β _N-1

Начальные значения

коэффициента прогонки

- - - - - -

I = N-1, 1, -1

α_i-1, β _i-1

I = 0, N - 2, 1

рис. 3.

Если M и N достаточно большие величины, то в оперативной памяти компьютера может не хватит места для массива . Чтобы избежать этого, вводятся одномерные массивы.Вместо массивовA_i, B _i, C _iиспользуются идентификаторы A_, B_, C. Для отводятся одномерные массивы. В формуле (7.16) при определенийA_i ,C_i ,B _i используется отношение . Если это выражение очень большое, то вычислительный процесс будет не устойчивой. В этом случае не выполняется теорема 2.

Теорема 2. Пусть решение дифференциальной задачи (7.4)-(7.7) θ обладает непрерывными производными до четвертого порядка и если , то решение разностной схемы (7.8) – (7.10) сходится к решению дифференциальной задачи (7.4) – (7.7).

Алгоритм реализации схемы расчета приведен на рис. 3.