Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кировоградский государственный педагогический университет им. В. Винниченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

shatyrko-18

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

4. Отримання умов інтервальної стійкості нелінійних систем регулювання з післядією

за допомогою функціоналів Ляпунова-Красовського

В попередньому розділі розглядалися нелінійні системи регулювання з

нелінійністю секторного вигляду. Було отримано достатні умови абсолютної інтервальної стійкості. В процесі їх отримання використовувався метод скінченновимірних функцій Ляпунова з умовою Разуміхіна[4]. Умова Разуміхіна полегшує побудову функції Ляпунова. За допомогою цього підходу можна оцінити вплив післядії, який залежить від запізнення. Але умови

Разуміхіна накладають достатньо жорсткі обмеження на післядію Їх використання не завжди може бути ефективним.

Вцьому розділі будемо використовувати альтернативний метод функціоналів Ляпунова-Красовського [10,11,22,23]. В якості функціоналів

найбільш ефективними є інтегральні добавки квадратичного вигляду. При

такому підході спрощуються отримані оцінки. Але тут в якості точки фазового простору розглядається весь відрізок траєкторії, тому підхід не дозволяє оцінити вплив запізнення на абсолютну стійкість. Крім того повна похідна являє собою квадратичну форму від фазової координати та її

передісторії. Тому матриця квадратичної форми повної похідної має вдвічі

більшу розмірність.

4.1.Системи прямого регулювання з запізненням

Вцьому розділі знову будемо розглядати систему прямого регулювання, яка описується диференціальними рівняннями з інтервальними коефіцієнтами та

заргументом, що запізнюється наступного вигляду (25)

x(t ) (A A)x(t ) (B B )x(t ) bf ( (t ))

(t ) cT x(t )

Елементи матриць A та B приймають значення з фіксованих інтервалів

(26)

A aij ,
A aij ,	aij	ij ,	i, j 1,n,
B bij ,
B bij ,	bij	ij ,	i, j 1,n.

Нелінійна функція f ( ) задовольняє «умову сектора» (20)

0 f ( ) k 2.

В попередньому розділі було отримано умови інтервальної стійкості системи (25) з використанням скінченномірної функції Ляпунова (23)

(x )
V (x) xT Hx f ( )d ,	(x) c T x .
0

В даному розділі отримаємо умови інтервальної стійкості системи (25) за

допомогою функціонала Ляпунова-Красовського

0	(t )
V [x(t)] xT (t )Hx(t) xT (t s)Gx(t s)ds f ( )d ,		(t) c T x(t).	(69)
	0

Попередньо розглянемо систему з запізненням без «інтервальних збурень»


					(70)
	x(t ) Ax(t ) Bx(t ) bf ( (t ))				(70)
	(t ) cT x(t )

Теорема 20. Нехай існують позитивно			визначені	матриці G	та H й
параметр 0 , при яких матриця
AT H HA G		HB	[Hb 1 ( AT I )c ]
			2
			2
	BT H
S[G,H, ]	BT H	G			(71)
			1 bT c
[Hb 1 ( AT I )c ]T		T	1 bT c
	2		k

позитивно визначена. Тоді система з запізненням без інтервальних збурень

(70) абсолютно стійка.

Доведення.

Оскільки функція

f ( )

задовольняє умові (20), тоді для

функціонала

(69) вірні наступні двосторонні оцінки

(H )

x(t )

(G )

x(t )

2 V [x(t )]

min

2 x(t )

(72)

(H ) k

(G )

x(t )

max

Обчислимо повну похідну функціонала вздовж розв’язків системи.

Враховуючи результати попередніх розділів, отримаємо

V x(t) Ax(t) Bx(t ) bf (t) T Hx(t)

xT (t)H Ax(t) Bx(t ) bf (t) xT (t)Gx(t)

xT (t )Hx(t ) f (t) cT Ax(t) Bx(t ) bf (t) .

Або

V [x(t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) * S[G,H, ] *

* xT (t ), xT (t ), f ( (t )) T ,

Якщо матриця S G, H, позитивно визначена, то

V x(t) min S G, H,

x(t)

x(t )

f (t)

Враховуючи обмеження «сектора» (20), отримаємо

V x(t) min S G, H,

x(t)

x(t )

2 ..

Таким чином, з ослабленої теореми Красовського М.М. [23], якщо існують

позитивно визначені матриці G , H та S G, H ,

, при яких

min

(H )

x(t)

2 V [x(t)]

max

(H ) k

x(t)

max

(G)

x(t)

V x(t) min S G,H,

x(t)2

то система з запізненням абсолютно стійка.

Далі отримаємо умови абсолютної інтервальної стійкості системи (25).

Теорема 21. Нехай існують позитивно											визначені матриці G та H й
параметр 0 , при яких виконується нерівність
min S G,H,						A			H							(73)
min S G,H,						A			H

	A	2	H	2	B		2	H		2 1	2	A	2	c	2
	A	2	H	2	B		2	H		2 1	2	A	2	c	2
										4
										4

Тоді система (25) абсолютно інтервально стійка.

Доведення. Як витікає з вигляду функціонала (69), для нього справедливі двосторонні оцінки (72). Обчислимо повну похідну функціонала вздовж

розв’язків систем з «інтервальними збуреннями». Отримаємо

dtd V [x(t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S G,H, *

* xT (t ), xT (t ), f ( (t )) T xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S[G,H ] * * xT (t )xT (t ), f ( (t )) T ,

де

H H A

H B

B T H

S[G,H ]

Якщо матриця S G, H, позитивно визначена, то

V [x(t )]

S[G,H, ]

x(t )

min

x(t)

2 2

x(t )

1	AT c
2	AT c
2

		.

	0

f ( (t )) 2

c x(t ) f ( (t )).

Звідси маємо

V [x(t )]

min

S[G,H, ]

x(t )

S[G,H, ]

min

x(t )

min

f ( (t ))

2 B H x(t )x(t ) Ac x(t ) f ( (t )).

Розіб’ємо перший доданок на два й представимо праву частину нерівності у

вигляді суми

V [x(t )]

min

S[G, H, ] 2

x(t )

S[G, H, ]

x(t )

min

x(t )

)

min

S[G, H, ] 2

x(t )

f ( (t ))

min

S[G, H, ]

f ( (t ))

де 0 1- деяка стала.

Тоді,

як витікає з критерія Сільвестра, умовою

абсолютної інтервально стійкості системи з запізненням буде виконання

нерівностей

min S[G,H, ] 2

min S[G,H, ]

2 0,

(1 ) min S[G,H, ] 2

min S[G,H, ]

(74)

_ 1

Нехай A таке, що перша нерівність виконана. Перепишемо другу й третю нерівність у вигляді

min S[G, H, ] 2

min S[G, H, ]

min

S[G, H, ] 2

min

S[G, H, ]

І, якщо буде виконуватися нерівність

S[G,H, ]

min

S[G,H , ] 2

min

S[G,H, ] 2

min

S[G,H, ]

то завжди існує 0 1,

при

якому виконуються друга й третя нерівності

(74). А остання нерівність еквівалентна наступній

min S[G, H, ] 2

min S[G, H, ] .

Перепишемо її у вигляді

min S[G, H, ] 2 2

min S[G, H, ]

2 0

Вона завжди буде виконуватись, якщо

min S[G,H, ] AH A 2 H 2 B 2 H 2 2 A 2 c 2 .

Оскільки з виконання останньої нерівності витікає перша нерівність (74), то аналогічно теоремі 20 отримуємо твердження (73) теореми 21.

4.2.Системи непрямого регулювання з запізненням

Вцьому розділі будемо розглядати систему непрямого регулювання, яка

описується інтервально заданими диференціальними рівняннями з

аргументом, що запізнюється (52)

		A A x(t ) B			B x(t ) bf (t )
	x(t )	A A x(t ) B			B x(t ) bf (t )
			(t ) .
	(t ) cT x(t ) f		(t ) .
Тут 0 , матриці	A та	B можуть приймати свої значення з фіксованих
інтервалів (53)
	A aij ,
	A aij ,			aij	ij ,	i, j 1,n,
	B bij ,
	B bij ,			bij	ij ,	i, j 1,n.
Нелінійна функція одного		аргументу			f ( )	лежить в заданому секторі

першої й третьої чверті системи координат (41)

k1 2 f ( ) k2 2 , k2 k1 0.

Якщо в попередньому розділі дослідження абсолютної інтервальної стійкості

проводилося з допомогою скінченновимірної функції Ляпунова (44)

V (x, ) xT Hx f ( )d ,

то в даному розділі будемо використовувати функціонал Ляпунова-

Красовського

		0	(t )
V [x(t), (t)] xT (t)Hx(t) xT (t s)Gx(t s)ds			f ( )d .	(75)
			0
Спочатку розглянемо систему без інтервальних збурень

x(t ) Ax(t ) Bx(t ) bf ( (t ))

	T	x(t ) f ( (t ))
	T
(t ) c

й отримаємо умови абсолютної стійкості цієї системи.

Теорема 22. Нехай існують позитивно визначені матриці G , H , при яких

матриця

AT H HA HB			(Hb	1)
				2
				2
S[G,H ] BT H		G			(76)
	1 c )
(Hb	1 c )	T
	2

позитивно визначена. Тоді система з запізненням без інтервальних збурень

абсолютно стійка.

Доведення. Для функціонала (75) вірні наступні двосторонні оцінки

min(H )

x(t )

2 min(G )

x(t )

(t )

V [x(t ), (t )]

(77)

max (H )

x(t )

2 max (G )

x(t )

(t)

Обчислимо повну похідну функціонала в силу системи без інтервальних

збурень. Отримаємо

dtd V x(t), (t) Ax(t) Bx(t ) bf (t) T Hx(t)

xT (t)H Ax(t) Bx(t ) bf (t) xT (t)Gx(t) xT (t )Hx(t )

f (t) cT x(t) f (t) .

Або

V [x(t ), (t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S[G,H ] *

* xT (t ), xT (t ), f ( (t )) T

Якщо матриця S[G,H ] позитивно визначена, то

V [x(t), (t)]

S[G,H ]

x(t)

x(t )

f ( (t))

2 .

min

Враховуючи обмеження ''сектора'', отримуємо

V [x(t), (t)]

S[G,H ]

x(t)

x(t )

k 2

(t)

min

Таким чином, з ослабленої теореми Красовського М.М. [23], якщо існують позитивно визначені матриці G , H , S[G,H ], при яких

(H )

x(t )

(t )

2 V [x(t ), (t )]

min

(H )

x(t )

(G )

x(t )

2 k

(t )

max

V [x(t), (t)]

S[G,H ]

2 k 2

(t)

min

x(t)

тоді система з запізненням абсолютно стійка.

Отримаємо умови абсолютної інтервальної стійкості системи регулювання

(52).

Теорема 23. Нехай існують позитивно визначені матриці G , H , при яких

min S G,H
	A	A	2	B	2	(78)
			2		2
max (H )
max (H )

Тоді система з запізненням (52) абсолютно інтервально стійка.

Доведення. Для функціонала Ляпунова-Красовського вигляду (75) вірні

двосторонні нерівності (77). Обчислимо повну похідну функціоналу вздовж

розв’язків систем з інтервальними збуреннями. Отримаємо

	d	V [x(t ), (t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S[G,H ] *
	dt	V [x(t ), (t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S[G,H ] *
	dt
* xT (t ).xT (t ), f ( (t )) T xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S[G,H ] *
* xT (t ), xT (t ), f ( (t )) T ,
де
			AT H H A	H B
			BT H
		S[G,H ]	BT H			.
			T	T	0
			T	T	0

Якщо матриця S[G,H ] позитивно визначена, тоді

V [x(t ), (t )]

min

S[G,H ]

x(t )

f ( (t ))

2 AH x(t )2 2 B H x(t )x(t ).

Перепишемо отриману нерівність у вигляді

dtd V [x(t ), (t )] min S[G,H ] 2 AH x(t )2

min S[G,H ] x(t )2

min S[G,H ] f ( (t ))2 2 B H x(t )x(t ).

Виділимо повні квадрати

d V [x(t ), (t )]

min S[G,H ] 2 AH x(t )2 2 B H x(t )x(t )

min S[G,H ] x(t )2 min S[G,H ] f ( (t ))2.dt

Й, як витікає з критерію Сільвестра, умовою абсолютної стійкості систем з запізненням (52) буде виконання нерівностей

min S[G,H ] 0

min

S[G,H ] 2

min

S[G,H ]

Перепишемо другу нерівність в вигляді

min S[G,H ] 2 2 AH min S[G,H ] B 2 H 2 0 .

Тому якщо буде виконуватись умова

min S[G,H ] AH A 2 H 2 B 2 H 2 .

інтервальної

(79)

тоді обидві нерівності (79) будуть виконані тим паче. Звідси витікає твердження (78) теореми 23.

4.3. Системи прямого регулювання нейтрального типу

Розглянемо систему прямого регулювання, яка описується інтервально заданими диференціальними рівняннями з аргументом, що відхиляється,

нейтрального типу

				d	x(t ) Dx(t ) A A x(t ) B B x(t )
				dt	x(t ) Dx(t ) A A x(t ) B B x(t )
				dt	bf (t ) ,
					bf (t ) ,	(80)
			(t ) cT x(t ).
Тут матриця D				задовольняє умові «стійкості різницевого оператора», тобто
	D	1, матриці	A		та B можуть приймати свої значення з фіксованих
	D	1, матриці	A		та B можуть приймати свої значення з фіксованих

інтервалів (26)

A aij ,
	aij	ij ,	i, j 1,n,
B bij ,
	bij	ij ,	i, j 1,n.

Нелінійна функція одного аргументу f ( ) лежить в заданому секторі першої та третьої чверті системи координат (20)

k1 bT c

T HD DT HB G

0 f ( ) k 2 , k 0.

В даному розділі для отримання умов абсолютної інтервальної стійкості

будемо використовувати функціонал Ляпунова-Красовського наступного

вигляду

V [x(t )] x(t ) Dx(t ) T H x(t ) Dx(t )

0	(t )	(81)
0	(t )
xT (t s)Gx(t s)ds	f ( )d ,
	0

(t) c T x(t).

Попередньо розглянемо систему без інтервальних збурень

d x(t ) Dx(t ) Ax(t ) Bx(t ) bf ( (t ))

dt.

(t ) c T x(t )

йотримаємо умови абсолютної стійкості системи (82). Позначимо

	H			HD
M H		T	H	D	T		,
D						HD

S[G,H, ]
					HB AT HD
AT H HA G					HB AT HD

BT H DT HA
						T
	Hb 1		AT	I c		T
						T
						T
		2
		2

Hb 12 AT I c

(82)

(83)

Теорема 24. Нехай існують позитивно визначені матриці G , H, та параметр 0 , при яких матриця S[G,H, ] також позитивно визначена. Тоді система без інтервальних збурень (82) абсолютно стійка в метриці

		0
x(t )	2

x(t s) 2 ds .

Доведення. Для функціонала Ляпунова-Красовського (81) вірні наступні двосторонні оцінки

(G )

x(t )

2 V [x(t )]

min

(84)

M H

x(t )

(G )

x(t )

(t )

max

Або

(G )

x(t )

2 V [x(t )]

min

2 x(t )

M H k

x(t )

2 (G )

x(t)

max

Обчислимо повну похідну функціонала (81) в силу системи без інтервальних

збурень. Отримаємо наступне

dtd V x(t) Ax(t) Bx(t ) bf (t) T H x(t) Dx(t )

x(t) Dx(t ) T H Ax(t) Bx(t ) bf (t) xT (t)Gx(t) xT (t )Gx(t )

f (t) cT Ax(t) Bx(t ) bf (t) .

Або

V [x(t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S[G,H, ] *

* xT (t ), xT (t ), f ( (t )) T ,

де матриця S G, H, визначена в (83). Якщо вона позитивно визначена, то

V x(t) min S G, H,

x(t)

x(t )

f (t)

2 ..

Враховуючи обмеження «сектора» (20), отримаємо

V x(t)

min

S G, H,

x(t)

x(t )

2 ..

Таким чином маємо систему нерівностей

(G)

x(t)

2 V [x(t)]

M H

2 x(t)

min

max

(G)

x(t)

2 .

max

V x(t)

min

S G,H,

x(t)

Таким чином, з ослабленої теореми Красовського М.М. [23], якщо існують позитивно визначені матриці G , H , при яких матриця S G, H, також

позитивно визначена, то система абсолютно стійка в метриці x(t) 2.

Далі отримаємо умови абсолютної інтервальної стійкості системи (80). Теорема 25. Нехай існують позитивно визначені матриці G , H та

параметр 0 , при яких виконується нерівність

min S G,H, AH BH

(85)

Тоді система (80) інтервально абсолютно стійка в метриці x(t ) 2 .

Доведення. Як витікає з вигляду функціонала (81), для нього вірні

двосторонні оцінки (84). Обчислимо повну похідну функціонала вздовж розв’язків систем з «інтервальними збуреннями». Отримаємо

	d		V [x(t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S G,H, *
	dt		V [x(t )] xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S G,H, *
	dt
* xT (t ), xT (t ), f ( (t )) T xT (t ), xT (t ), f ( (t )) S[G,H ] *
* xT (t )xT (t ), f ( (t )) T ,
де
				AT H H A	H B AHD

		S G,H B T H DT H A			B T HD DT H B		.
				T	T	0