Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кировоградский государственный педагогический университет им. В. Винниченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

shatyrko-18

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

( A B)T H H ( A B)		(Hb 1/ 2c)
C[ A B, H ]			,
(Hb 1/ 2c)T

( A B)T H H ( A B)			0
C[ A B, H ]			.
	0		0

Теорема 16. Нехай існує позитивно

визначена матриця H, при

якій

виконується

)

(0) 0,

(0) L(H ) 2

(

)

(54)

Тоді система (52) абсолютно інтервально стійка при будь якому довільному

запізненні 0

для

її

розв’язків x (t)

буде виконуватися

x (t)

t 0,

як

тільки

x (t)

( ),

( ) / (H ).

Доведення. Розглянемо повну похідну функції

Ляпунова

(44) в

силу

системи

запізненням (52). Для неї справедливі нерівності

V (x(t ), (t )) xT (t ), f ( (t ))) C[A B, H ] C[ A B, H ]

xT (t ), f ( (t )) T 2

H(B B )

x(t )

x(t) x(t )

Нехай початкові умови для розв’язку

x (t)

системи

(52)

обрані

таким

( ),

чином, що

(0)

де ( ) /

(H ).

Покладемо

min

(H ). Тоді для

(t) V ,

t 0.

довільного

буде виконуватися

Покажемо,

що

(t) V

при

Нехай,

від зворотного, це не так

існує момент часу

T 0, при

якому

(T ) V

Тоді,

як

витікає

оцінок

квадратичних

форм,

буде

виконуватись

(T )

2 V

(H )

(x(T ), (T )) V

(x(T ), (T ))

min

max (H )x (T )2.

Звідси

x (T ) (H ) x (T )

Й отже

x(T ) (H ) x(T ).

В цьому випадку для оцінки значення повної похідної функції Ляпунова в момент t T буде виконуватися нерівність


V 0 (x(T ), (T )) min (C[ A B, H ]) 2 H ( A B)
[ x(T ) 2 f 2 ( (T ))] 2( HB H B )(1 (H ) ) x(T ) 2
Або

V (x(T ), (T ))	(C[ A B, H ]) 2 H ( A B )

2( HB H B)(1 (H ) ) x(T ) 2 min (C[ A B, H ])

2 H ( A B) f 2 ( (T ))0 min

І при виконанні умови (54) повна похідна функції V0 (x, ) в момент t T

буде негативно визначеною. З цього витікає асимптотична стійкість системи з запізненням (52) при всіх матрицях A, B, що задовольняють умові (53).

Теорема доведена.

Обчислимо показники експоненційного затухання розв’язків системи (52).

Теорема 17. Нехай існує позитивно визначена матриця H,		при	якій
виконується нерівність (54).	Тоді при довільному запізненні	0	для
розв’язків x (t) системи (52)	справедлива наступна експоненційна оцінка
збіжності

																	1


			x (t)				(H )			x (0)		exp						t			, t 0,
			x (t)				(H )			x (0)		exp					2	t			, t 0,
																	2
min				,		,		(0) * (0) *																1	,
																								1
					2		1														(H )
			1		2		1										max
	2				1				min C[ A B, H ] 2										H			(	A			B	)

*		ln


				(H )						2(				HB		H				B			)
										2(				HB		H				B			)


	min (C[ A B, H ]) 2										H		A		B					)
2	min (C[ A B, H ]) 2										H	(	A		B					)	.

									max (H )
									max (H )

1 ,

(55)

(56)

Доведення.

Покладемо max (H )

x (0)

Тоді

при

t 0

буде

(0),0 V ,

V , . Покажемо, що (x (t),t) V , , t 0, якщо

обрати згідно

(56). Обчисливши повну похідну функції

Ляпунова

виду (47) в

силу

системи (52),

отримаємо

( ( ), ( ), ) ( ), ( ), ) t t ( ), ( ( ))

V x t t t V x t t t e x t f t

C[A B,H ] C[ A b,H ] xT (t ), f ( (t )) T

2e t H(B B )x(t )x(t ) x(t ).

Нехай, від зворотного, при

деякому

0 буде

(T ),T V , . Тоді, як

витікає з оцінок квадратичних форм,

e (T )

(T )

V x(T ), (T ),T

min

(H )

V x(T ), (T ),T e T

max

(H )

(T )

Звідси

(T )

e /2 (

)

(T )

Й отже

x(T )

e /2

(H )

x(T )

(57)

Використовуючи нерівність (57), отримаємо

V x(T ), (T ),T min C[ A B, H ] 2

1 e

/ 2

(H )

max (H )

* e T

x(T )

(58)

(C[ A B, H ] ) 2

)]k 2

(

) *

min

(

max

* e T

x(T )

2 .

Знайдемо

таким чином,

щоб виконувалися нерівності

min (C[A B,H ]) 2

)(1 e /2

(H ))

(H ),

max

C[A B,H ] 2

min

) (

)/k 2 .

max

Перепишемо першу з них у вигляді

( ) max (H ), ( ) min (C[ A B, H ])

) 2

1 e

/ 2

(

(H ) .

Функція ( )

є опуклою догори, монотонно спадаючою і задовольняє

умовам

( * ) 0,

(0) L(H ) 2

(H )) 0,

(C[A B,H ]) 2

(

)

min

1 .

(H )

Замінимо

функцію

( )

відрізком прямої,

що з’єднує

точки (0, (0)) і

тобто

( )

(0) 1

Оскільки функція ( ) опукла догори, то для розв’язку рівняння

(0)1 max (H )

(59)

(60)

( * ,0) ,

(61)

нерівність (60) буде виконуватися й поготів. Розв’язавши (61), отримаємо

1 (0) *[ (0) * max (H )] 1 .

Таким чином при обчисленому 1 буде виконуватися перша з нерівностей

(59). Друга буде виконуватися при

2 min(C[A B,H ]) 2H ( A B)k12 / max (H ).

І при

min 1, 2 повна похідна

функції

V (x, ,t)

буде

негативно

визначеною. Звідси

(T ),T ) V ,

і при

t T. Таким

чином виконуються

умови

леми 5 і,

враховуючи

обране

2 ,

отримаємо

max

(H )

(0)

твердження теореми.

3.4. Системи непрямого регулювання. Мале запізнення

Як і в попередньому, в цьому розділі буде розглядатися нелінійна система регулювання, що описується диференціальними рівняннями з запізнюючимся аргументом виду (52)

x(t ) (A A)x(t ) (B B )x(t ) bf ( (t ))

(t ) cT x(t ) f ( (t ))

Тут

t 0, b, c ,

x(t) Rn , 0;

A,B квадратні

матриці

з сталими

коефіцієнтами.

Елементи матриці

A aij ,

B bij ,

i, j 1,n

Можуть приймати свої значення з деяких інтервалів

aij

ij ,

bij

ij ,

i, j 1,n.

Функція f ( )

знаходиться в

межах заданого кута першої та третьої

координатних чвертей (41).

даному розділі приведено

достатні умови

інтервальної

абсолютної

стійкості системи

(52) для достатньо малого запізнення, що залежить від

параметрів системи. При дослідженні використовується функція Ляпунова

виду Лурьє-Постнікова, тобто виду суми “квадратична форма і інтеграл

від нелінійності”

V0 (x, ) xT Hx f ( )d

Якщо матриця H,

що входить в

функцію Ляпунова,

позитивно визначена і

функція f ( ) задовольняє умовам «сектора»,

тоді

для

V0 (x, )

справедлива

двостороння нерівність

2 V

(H )

(x, ) (H )

min)

max

де

x T (xT , ),

x 2

1/2

i 1

min(

) min min(H ),

k1 /2 ,

max(

) max max(H ), k2 /2 ,

max(H ), min(H ) максимальне і мінімальне власні числа

матриці

Показано,

що

при зроблених

припущеннях

розв’язки затухають за

експоненціальним законом.

При одержанні коефіцієнтів експоненціального

затухання використовується неавтономна функція Ляпунова

V (x, ,t) e tV0 (x, ) .

Лема 7. Нехай розв’язок

x (t)

системи

(52) задовольняє початкову умову

x (0)

. Тоді

на проміжку

0 t

виконується нерівність

(t )

N (t ) e Lt ,

N (t )

1 (

)t 2 11/2 ,

де

норма матриці

(62)

Доведення. Запишемо систему в інтегральному вигляді

A A x(s) B B x(s ) bf (s) ds,

x(t ) x(0)

(0) c T x(s) f (s) ds.

На проміжку 0 t

буде виконуватися нерівність

t 2

1 1/2

x (t )

B B

x (s)

ds .

Використовуючи лему Гронуола-Беллмана, отримаємо нерівність леми 7.

Лема 8.

Нехай

для

розв’язку

x (t)

системи (52) на

проміжку

T 2 t T

виконується

(t) V ,

(T ) V .

Тоді справедлива нерівність

x(T ) x(T )

l(0)

(H )

x (T )

(63)

l(0)

Доведення. Як витікає з умов леми і вигляду функції Ляпунова V0 x, ,

виконуються двосторонні нерівності

(t)

2 V

x(t), (t) V

x(T ), (T )

(T )

min

max

Звідси справедливі оцінки

x (T )

x(t )

x (T )

x (t )

x (T )

(t )

Для першого рівняння системи буде мати місце інтегральне представлення

x(T ) x(T ) A A x(s) B B x(t ) bf (s) ds.

Звідси

x(T ) x(T ) A A B B k2 bc H x (T ) ,

тобто отримали твердження (63) леми 8.

На основі приведених лем отримаємо наступні умови інтервальної

абсолютної стійкості.

Теорема 18. Нехай існує позитивно визначена матриця H, така що

L4 (H ) 0.

Тоді при 0 , де

(H ) min 1, k 2

(64)

)l(0)

(H )

система (52) абсолютно інтервально стійка. Причому для довільного розв’язку

x (t) системи (52) буде виконуватися

x (t)

t 0, якщо

x (0)

( , ),

де

( , ) e

(65)

N ( )

(H )

L4 (H ) min(C A B,H ) 2H ( A B),

Тут


A B T H A B
C A B,H
	1		T
Hb		c
Hb		c
	2

	1
Hb		c
Hb	2	c
	2
		.

Доведення. Нехай x (t) довільний розв’язок інтервальної системи з

запізненням, для якого виконується

x (0)

, , де величина , обрана

згідно (65). Тоді,

як витікає з результатів леми 7, на наступному кроці 0 t

буде виконуватися

x ( )

Покажемо,

що

x (t)

і при t .

Нехай це не так і, від зворотного, існує

T , при якому

(T ) V ,

min

V0 x, в

Обчислимо

повну похідну

функції

Ляпунова

силу інтервальної

системи з запізненням

V x(t ), (t ) x T (t ), f (t) C A B,H C A B,H

Тут

x T (t)f (t ) T 2

H B B

x(t )

x(t ) x(t )

C A B, H A B T H H A B

0 .

Як витікає з припущення теореми, при

t T

відбувається

перший

вихід

розв’язку

(t)

на границю

V .

Тому

виконуються

умови леми

8 і,

використовуючи нерівності (63), отримаємо

(T ) min C A B,H 2

V x(T ),

f 2 (T ) 2

(T )

x(T )

(0)

Використовуючи позначення L4 (H ), наведене в (65), перепишемо отриманий

вираз у вигляді

x(T ), (T ) M (H )min1,k 2 2

l(0)

x (T )

При ,0 , де

задовольняє співвідношенню (64), повна похідна функції

Ляпунова V0 x,

в момент t T буде негативно визначеною, що забезпечує

асимптотичну стійкість нульового положення рівноваги.

Покажемо, що при виконанні умов теореми 18 розв’язок системи (52)

збігається за експоненційним законом. Для отримання оцінок збіжності використовується неавтономна функція Ляпунова.

V x, ,t e tV

x, ,t .

Позначимо через V , поверхню рівня функції Ляпунова, а V ,

- область, яку

вона обмежує в розширеному фазовому просторі, тобто

V ,

x, ,t :V x, ,t ,

V ,

x, ,t :V x, ,t , 0.

Мають місце наступні результати.

Лема 9.

Нехай

для

інтегральної

кривої

(x (t),t)

системи (52)

на

проміжку

T 2 t T

виконується

(t),t) V , , а

при

t T

буде

(T ),T ) V , . Тоді

справедлива

нерівність

x(T ) x(T )

l( ) (H )

x(T )

(66)

l( ) e /2

e /2

Доведення. Як витікає з

умов

леми 9

і виду

функції Ляпунова,

при

T 2 t T

буде виконуватися

e t

(t) 2 e tV

x(t ), (t )

min

e TV0 x(T ), (T ) e T max H x (T ) 2.

Тому

T t

(t)

(T )

Звідси отримуємо, що

T t

(t)

T t

x(t)

(T )

І при T 2 t t маємо

(t)

x(t)

(T )

(t)

Для першого рівняння системи отримуємо

x(T ) x(T ) A A x(s) B B x(s ) bf (s) ds.

Звідси отримуємо

x(T ) x(T )

e 2

A A

e 2

B B

x (T )

тобто отримуємо нерівність (66).

Одержимо оцінки експоненціальної збіжності розв’язків наступного вигляду.

Теорема 19. Нехай існує позитивно визначена матриця H , така що

L4 (H ) 0.

Тоді при 0 для розв’язків

x (t)

справедлива

експоненціальна оцінка

збіжності

N (t)

x(0)

t ,

при

0 t ,

x (t)

(t ) / 2

(67)

N ( )

x(0)

(H )e

при

де

(0) *

(0)

(

)min1,k 2

(68)

max

4b(a b R )

(0)

) (H )

(H )min1,k

(0) L

Доведення. Перша частина нерівностей (67) витікає з результатів леми 7.

Отримаємо другу частину нерівностей. Покладемо

N( )

2 max (

x (0)

(t),t V ,

Тоді при t

буде виконуватися x

(t),t V , .

Покажемо, що

і при t ,

якщо величину обирати згідно співвідношення

(68). Обчислимо

повну похідну функції Ляпунова V x, ,t

вздовж розв’язків

інтервальної

системи з запізненням

C A B,H

V x(t ), (t ),t V x(t ), (t ),t e t

2 f 2 (t )

min

x(t )

2e t

x(t )

x(t ) x(t )

Нехай, від зворотного, при деякому

відбудеться вихід розв’язку на

поверхню

рівня,

тобто x

(T ),T V , .

Тоді

виконуються умови леми 9 і

справедлива нерівність (66). І для повної похідної в момент

t T

отримаємо

) x(T ) 2 f 2 (T )

V x(T ), (T ),T e Tt L

(

l 4

(H )

l max

2e T HB H B l( ) H xl (T ) 2.

Або

V x(T ), (T ),T e T L

(H )

(

) min1,k 2

) x

max

l( )

(

(T )

Знайдемо 0 таким чином, щоб виконувалася нерівність

L4(H )min1,k12 2 HB H B l( ) (H )max(H )min1,,k12 .

Перепишемо цю нерівність у вигляді

							(H )min1,k														2 2																				l(0)
																																			B										(					)
		L		4																							HB						H		B										(			H		)
				4															1
		2							HB						H				B						B					B				e				1						A							A
		2							HB						H				B						B					B				e				1						A							A
																1


		k									b		c	e		2			1							(H )														(H )min1,k 2 .
								2																											max					1


Позначимо
																												,		0 1.
																												,		0 1.
																									0
Тоді отримана нерівність прийме вигляд
								(H )min1,k													2	1 2
																																										B							(					)
		L			4																											HB							H			B							(			H		)
					4														1
																								1

		b e 1 a e 2																									1												(H )min1,,k 2 .
																																			max					1


При 0 отримана нерівність має вигляд
																	L		4		(H )min1,k 2 1 0
																			4											1
І завжди виконується											при						0 .									Знайдемо															0 0 таким чином, щоб ця
нерівність виконувалася і при 0 0 . Функція
												(H ) min1,k												2	1 2
( ) L																																														B							(			)
( ) L											4																								HB								H			B							(		H	)
											4												1
																				1
b e											1 a e 2													1 .


при фіксованому 0 за																змінною 0																				являє собою вгнуту, монотонно
спадаючу функцію, що задовольняє умовам
(0) L			4			(H )min1,k															2 1 0, * 0
			4																1
																													a
	2									a 2 4b a b R																			a																				(0)
*		ln																													, R																												.
*		ln																													, R							2																					.
																		2b
																		2b																							HB						H				B					(	H	)

Замінимо функцію ( ) прямою,																						що проходить через точки 0, (0) ³ * ,0,
тобто



																										0 1											*			.
																																					*

Для точок , при яких справедливо

max H min1,,k12

в силу вгнутості функції відповідна нерівність буде виконуватися тим паче. Розв’язуючи рівняння


			H min1,k		2	,

0 1	*			1
	*	max		1

отримаємо

(0) *

max

H min1,

k 2 *

Таким чином в проміжку 0 0 похідна функції Ляпунова

V x, ,t буде

негативно визначеною. Отже припущення невірне і

(t),t V ,

при всіх

t 0. Звідси витікає експоненціальна збіжність (67).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.02.201633.79 Кб40SCHEMES FOR ANALYZING TEXTS. Year 4.doc
#
12.11.201970.81 Кб1schodennik.docx
#
07.05.2019105.47 Кб3Seminaru_МСВР_12_физмат.doc
#
17.02.2016503.3 Кб9seminary-filosofy-32.doc
#
21.08.201941.61 Кб1seminar_4.docx
#
17.02.20161.42 Mб4shatyrko-18.pdf
#
17.02.2016423.94 Кб267shpargalki_po_detskoi_literature.doc
#
18.09.201936.22 Кб3shpori_ped.docx
#
18.09.201930.12 Кб3shpori_ped_1.docx
#
17.02.2016592.9 Кб61ShporOhoronPraci.doc
#
17.02.2016454.14 Кб17Simeyni_zvichayi_ta_obryadi.doc