Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кировоградский государственный педагогический университет им. В. Винниченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

shatyrko-18

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

де	A,B - матриці з сталими коефіцієнтами, 0 стале запізнення.				Поряд з
(6)	розглянуто систему інтервального вигляду

	x(t) (A A)x(t) (B B)x(t ),				(7)
де	A, B - точно невідомі матриці, які приймають свої значення з деяких
симетричних інтервалів
	A aij ,	B bij , i, j
	A aij ,	B bij , i, j		1,n,	(8)
					(8)
	ij aij	ij ,	ij bij ij , i, j 1,n.

Припускається, що система (6) асимптотично стійка. Знаходяться умови, при виконанні яких система (7) також буде асимптотично стійкою. Під час

дослідження використовується квадратична функція Ляпунова V (x) xT Hx ,

де H - симетрична позитивно визначена матриця, яку можна отримати з

розв’язку матричного рівняння Ляпунова

(A B)T H H (A B) C

Здовільною позитивно визначеною матрицею C . Введемо наступні позначення

H( A B ) max H( A B ) ,

aij , bij

A B max A B ,

aij , bij

H(B A) max H(B A) ,

aij

H(B B ) max H(B B ) ,

bij

B B

max

B B

A A

max

A A

bij

aij

Визначення 1. Система (6) називається інтервально стійкою, якщо вона

асимптотично стійка для всіх матриць A, B з інтервалів

(8).

Умови інтервальної стійкості без запізнення, тобто

при

мають

наступний вигляд.

Теорема

4. Нехай

A B - асимптотично

стійка

матриця та

існує

симетрична,

позитивно

визначена матриця

H, при

якій

виконується

нерівність

(A B)T H H(A B) 2

H( A B)

(9)

min

Тоді система без запізнення інтервально стійка.

При наявності запізнення, тобто при 0 умови стають більш жорсткими

й мають вже наступний вигляд.

Теорема

5. Нехай

A B - асимптотично

стійка

матриця та існує

симетрична,

позитивно

визначена матриця

H, при

якій справедлива

нерівність

( A B)T H H ( A B)

min

(10)

H ( A A)

H (B B)

(H ) 0.

Тоді система (6) інтервально стійка при будь-якому відхилені аргументу

Більш того для її довільного розв’язку x(t ) буде виконуватись x(t) , t 0, як тільки x(0) ( ).

( ) / (H ) .

Ці умови можна трошки «пом’якшити» за рахунок малості запізнення. Тоді

вони мають наступний вигляд.

Теорема 6.

Нехай

A B - асимптотично стійка матриця та

існує

позитивно визначена симетрична матриця

при

якій виконується

(9).

Тоді при

0 , де

min (A B )T H H(A B ) 2

H( A B )

H(B B )

A A

B B

(H )

система

(6) буде інтервально стійкою.

Більш того для довільного розв’язку x(t )

буде виконуватися

x(t)

t 0,

як тільки

x(0)

( , ),

де

( , )

A A

B B

(H )

Аналогічні достатні умови інтервальної стійкості отримано й для систем

нейтрального типу


x(t) D x(t ) Ax(t) Bx(t )		(11)
Тут D, A,B матриці з сталими коефіцієнтами, 0 стале запізнення. Разом з
нею розглянемо інтервальну систему вигляду

x(t) (D D)x(t ) (A A)x(t) (B B)x(t ),		(12)

де A, B, D - матриці, які приймають значення з деяких симетричних

інтервалів. Отримано наступні достатні умови інтервальної стійкості систем

вигляду (12).

Нехай

x(t )

x(t)

x(0)

max

x(s)

max

x(t)

s 0

A A

max

A A

B B

max

B B

aij

D D

max

D D

max

(E D) D T H (B B)

max (E D) D T H (B B) ,

ij , ij

(E D) D T H (D D)

max (E D) D T H (B B) ,

( A B)T H D ( A B)T H (E D) D

max ( A B)T H D ( A B)T H (E D) D .

ij , ij , ij

Припускається, що виконано умова «стійкості» різницевого оператора, тобто D D 1 й система без відхилення аргументу


x(t) (E D) 1(A B)x(t)	(13)

асимптотично стійка. В цьому випадку завжди існує функція Ляпунова


квадратичного вигляду	V (x) xT (E D)T H(E D)x,		симетрична	позитивно
визначена матриця H якої, знаходиться з розв’язку матричного рівняння
(A B)T H(E D) (E D)T H(A B) C				(14)
при довільній позитивно визначеній матриці C.
Розглянемо інтервальну систему без запізнення, тобто при 0 .
	1	(A B) ( A B) x(t).		(15)
x(t) (E D) D

Отримано наступні умови інтервальної стійкості системи (12) при

припущенні, що система (11)				асимптотично стійка.
Теорема	7. Нехай	A B		-	асимптотично	стійка	матриця та існує
симетрична	позитивно	визначена			матриця H,	при	якій виконується
нерівність
				L(H ) 0,			(16)
Де
	L(H )		(A B )T H(E D) (E D)T H(A B )

min

2(A B )H D ( A B )T H (E D) D .

Тоді система (15) інтервально стійка.

Для систем з відхиленням аргументу з довільною післядією справедливе

наступне твердження.

Теорема 8.

Нехай матриця

A B

асимптотично

стійка

та

існує

симетрична позитивно визначена матриця H, при якій виконується

нерівність

(E D) D T H (B B)

L(H ) 2

(1 (H ) )

(E D) D T H (D D)

A A

B B

(17)

(H )

D D

Тоді система

(15) інтервально стійка при будь-якому відхиленні аргументу

0. Більш того, для довільного розв’язку

x(t ) системи (12) при

t 0

буде

x(t)

1 , як тільки

виконуватись

1( ),

2( ),

x(0)

1( ) /

(H ),

L(H ) 2

(E D ) D T H (B B )

(1 (H ))

( )

(E D) D T H (D D )

A A

B B

(H )

D D

(H )

L(H ) 2

(E D ) D T H (B B )

(1 (H )

R min 1,

(E D) D T H (D D

		A A		B B	1
					1

(	(H ) 1)
						.
		1	D D			.
		1	D D

Умови стійкості

(17), які сформульовано в цій

теоремі, допускають

«пом’якшення» наступного вигляду.

Теорема 9. Нехай A B - асимптотично стійка матриця й виконується

умова (16). Тоді при

0 , де

L(H )(1

D D

(E D) D T H(B B

A A

B B

)

(18)

A A

B B

(E D) D T H(D D)

D D

система (12) буде інтервально стійкою.

Більш того для довільного розв’язку

x(t ) буде виконуватись

1 , t 0, як тільки

1( , ) й

2( , ),

x(t)

x(0)

)

A A

L(H )(1

1( , ) min

B B

D D

1 2

(E D) D T H(B B )

A A

B B

(E D) D H(D D)

D D

(H )

( , )

L(H )(1 )(1 )

(E D) D T H(D D)

D D

(H )

L(H )(1 )(1 )

R min 1,

D D

(E D) D T H(D D

(H )

A A

B B

(H )

/ 0 ,

0 1 довільна фіксована стала.

3. Інтервальна стійкість нелінійних систем регулювання з післядією

Розв’язок задач керування в лінійних системах призводить до знаходження функції (скалярної) u(x), при якій замкнена система

x(t) Ax(t) bu(x(t))

повинна бути асимптотично стійкою. Часто ця функція залежить від одного

скалярного аргументу, який являє собою лінійну комбінацію фазових координат, й функція знаходиться в першому та третьому квадратах

площини. Дослідження асимптотичної стійкості систем з функцією керування

u x(t) f (t) ,	(t) c T x(t),
тобто систем

x(t) Ax(t) bf ( (t)), (t) c T x(t),		t 0.

з функцією f ( ), яка лежить в заданому секторі, отримало назву дослідження

«абсолютної стійкості» систем регулювання.

Одним з методів дослідження тут є, так званий, «частотний метод», який отримав розвиток в роботах Якубовича В.А., Геліга А.Х., Леонова Г.А. В

основі метода лежить дослідження поведінки деякої кривої («годографа») в

комплексній площині.

Іншим, альтернативним методом, який отримав розвиток в роботах

Барбашина Е.О., Мартинюка А.А. та інш., є другий метод Ляпунова з функцією вигляду «квадратична форма плюс інтеграл від нелінійності»[2].

Розповсюдження цього метода на системи з запізненням та нейтрального типу отримало в роботах Хусаінова Д.Я., Шатирко А.В.[3].

В цьому параграфі будуть розглядатися нелінійні системи регулювання з

відхиляючимся аргументом запізнюючогося типу. З використанням метода скінченновимірних функцій Ляпунова й умови Разуміхіна Б.С.[4] отримані

достатні умови інтервальної стійкості, які відповідають як довільному

запізненню, так і фіксованому («малому»), що залежить від параметрів системи. Розглянуті два типи систем, так звані системи «прямого» та

«непрямого» регулювання. По суті вони відрізняються виродженістю лінійної

частини, тобто наявністю у неї нульового власного числа. Основні результати, отримані в цьому розділі, опубліковано в роботах [5 – 19]. Цікаві схожі

результати можна знайти в роботі [20].

3.1. Системи прямого регулювання. Довільне запізнення

Розглянемо систему керування, яка описується диференціальними рівняннями вигляду

		c T x(t).
x(t ) Ax(t ) bf ( (t )), (t)		c T x(t).	(19)
Припустимо, що матриця A	асимптотично стійка,		а нелінійна функція
одного аргументу f ( ) лежить	в заданому	секторі	першої й третьої чверті
системи координат, а саме
0 f ( ) k 2, k 0.			(20)

Асимптотична стійкість нульового розв’язку		x(t) 0 системи (19)		при
довільній функції	f ( ), що задовольняє умові		(20), отримала назву
абсолютної стійкості.	Припустимо, що матриця	A	точно не відома,	а її

елементи приймають значення з конкретних наперед заданих інтервалів, й система має вигляд

		.
					(t) cT x(t),
		x(t) (A A)x(t) bf ( (t)),			(t) cT x(t),	(21)
де
		A aij ,
		A aij ,	aij	aij ,	i, j 1,n.	(22)
Система	(19)	називається інтервально			стійкою, якщо система	(21)
абсолютно	стійка	при довільних матрицях			A, що задовольняють умовам

(22).

Для дослідження інтервальної стійкості системи (19) будемо

використовувати функцію Ляпунова вигляду «квадратична форма плюс інтеграл від нелінійності». Ця функція дає гарні результати при дослідження абсолютної стійкості систем з точно заданими параметрами [2].

	(x )
V0 (x) xT Hx	f ( )d ,	(x) cT x.	(23)
	0

Позначимо min(.), max (.) мінімальне й максимальне власні числа відповідних

позитивно визначених матриць й введемо наступні позначення

~	min (H ),				0,
min (H )			(H kcc T /2),
			(H kcc T /2),
	min
~						T	/2),
~	max (H kcc						/2),
max (H )				(H ),	0,
		max		(H ),	0,
		max
~		~			~
(H ) max (H )/ min (H ).

Введемо наступні векторні й матричні норми

0,
0,	(24)
	(24)

1/2

x(t )

x 2 (t )

i 1

max

(AAT ) 1/2 ,

max A

aij

x t	max	x(t s)	,
x t	max	x(t s)	,
	s 0

ij , i, j 1,n .

Для повної похідної функції

Ляпунова (23)

силу

системи (19)

виконується наступна нерівність

V0 (x(t)) (xT (t), f ( (t)))C A,H, (xT (t), f ( (t))T ,

де

AT H HA

( AT I )c

C A, H ,

( AT I )c

bT c

Мають місце наступні умови абсолютної стійкості [2, 20 – 22], тобто

асимптотичної стійкості в цілому нульового розв’язку x(t) 0		системи (19) при
довільній функції f ( ), що задовольняє умові (20).
Теорема 10. Нехай існує позитивно визначена матриця		H і скаляр ,
такі,	що
	~
	min(H ) 0 й min(C A,H, ) 0.
Тоді	система без запізнення (19) абсолютно стійка.

Для інтервальної стійкості системи без запізнення справедливим є наступний результат.

Теорема 11. Нехай існує позитивно визначена матриця H і скаляр такі, що

~	і min(C A, H, ) 0
min(H ) 0

й виконується нерівність

A min(C A,H, )(2H c ) 1.

Тоді система (19) інтервально стійка.

Доведення. Як витікає з умов теореми 11, функція Ляпунова (23) є

позитивно визначеною. Обчислимо повну похідну цієї функції в силу системи

(21). Отримаємо

x(t) xT (t), f (t) C A,H, C A,H,

xT (t), f (t) T ,

де

H H A

C A,H,

З властивостей симетричних позитивно визначених матриць витікає, що

min C A, H , C A, H ,

min C A, H , max C A, H ,

Й нерівність

min C A, H, max C A, H,

Гарантує негативну визначеність повної похідної функції Ляпунова вздовж

розв’язків інтервальної системи (21). Якщо виконується нерівність

min C A, H , 2 H c A

то попередня нерівність буде виконуватися й поготів. Таким чином при виконанні умов теореми існує додатно визначена функція Ляпунова, повна похідна якої в силу системи буде негативно визначеною. А це гарантує

абсолютну стійкість інтервальної системи при збуреннях, що задовольняють

обмеженням теореми.

Розглянемо далі систему диференціальних рівнянь з інтервальними

коефіцієнтами й запізнюючимся аргументом вигляду

.x(t )

(t )

(A A)x(t ) (B B )x(t ) bf ( (t )),	(25)
cT x(t )

Елементи матриць

B приймають значення з фіксованих інтервалів

A aij ,

aij

ij , i, j 1,n,

(26)

B bij ,

bij

ij , i, j 1,n.

Отримаємо умови інтервальної стійкості системи з запізненням (25).

Позначимо поверхню рівня функції Ляпунова V

(x) через V

, тобто

x Rn :V

(x) ,

x Rn :V

(x) ,

(H ) , 2

L1 (H , ) min (C A B, H , ) 1

C A B, H ,

( A B)

H ( A B)

( ( A

Ic)

(27)

_ Hb

( ( A B)

Ic)

Справедливі наступні твердження, які дають достатні умови інтервальної

стійкості систем з запізненням.

Теорема 12. Нехай існує додатно визначена матриця

скаляр

такі що

і L1(H, ) 0.

min(H )

Тоді при

( 1

2 )

L1(H , )

(28)

система з запізненням

(25)

буде

інтервально (робастно)

стійкою

при

довільному відхиленні аргументу

Крім того, для розв’язку

x(t ) системи

, t 0 як тільки

( ),

(28) буде виконуватися

x(t)

x(0)

де

( ) / (H ).

Доведення. Запишемо інтервальну систему з запізненням (25) у вигляді

x(t )

bf (t ) B B x(t ) x(t )

x(t ) A B A B

(t ) c T x(t)

йзнову обчислимо повну похідну функції Ляпунова V0 (x) вигляду (23) в силу

перетвореної системи.

Отримаємо

V x(t) x (t), f (t) C A B, H , C A B, H , * * x(t), f (t) T 2 H B B x(t) x(t ) ,

де

C A B, H ,
				T	1
	A B H H A B					A B c
	A B H H A B				2	A B c
					2		.
	1						.
	1		T	T
		c		A B		0
	2	c		A B		0
	2

Нехай існує додатно визначена матриця H і скаляр , при яких виконується нерівність

A B min C A B,H, 2H c 1

Тоді матриця C A B,H, C A B,H, також є додатно визначеною і для повної похідної функції Ляпунова V0 (x) в силу інтервальної системи з запізненням буде виконуватись

V x(t )

min

C A B,H, 2

x(t )

H B B

x(t ) x(t )

Оскільки функція V0 (x) має вигляд (23), то для неї виконується наступна

двостороння нерівність

min H

(x) max H

визначені в (24). Позначимо

де функції max H

, min H

( )

min(H ).

(H )

Якщо початкові умови розв’язку x(t ) вибрані таким чином, щоб

x(0)

( ),

тоді x(t) V , t 0.		Покажемо, що це буде виконуватись і при t 0. Нехай
0
це не так і існує T 0,		при якому x(T ) V .			Тоді, як витікає з двосторонніх
				0
нерівностей, для функції Ляпунова буде виконуватись
~	x(T )		2	V0 x(T ) V0	~		2
~			2		~		2
min H					x(T ) max H	x(T )		.

Звідси отримаємо, що


x(T )		~	x(T )	.
		~
	H

Підставимо отриману залежність в оцінку повної похідної функції Ляпунова. Отримаємо

x(T )

C A B,H, 2

V 0

min

x(T )

H B B

x(T )

Й, якщо параметри системи такі, що виконуються умови (28) теореми 12, тоді

повна похідна функції V0 x(t) при t T є негативно визначеною. Таким чином припущення невірне і розв’язок x(t ) залишається в області V0 при всіх t 0. Асимптотична стійкість витікає з негативної визначеності похідної в цій області.

Покажемо, що асимптотична стійкість має експоненційний характер. Для цього використаємо неавтономну функцію Ляпунова, яку отримаємо з V0 (x)

додаванням експоненційної складової, а саме

	V x,t e tV	0	(x),	0.
		0
Відповідно через V , ³	V , позначимо поверхню рівня функції Ляпунова

V x,t і область в розширеному фазовому просторі Rn R, яку вона обмежує

V ,	x,t :V x,t ,			V ,		x,t : V x,t , 0.
Твердження 1.	Нехай існує 0 таке,							що інтегральна крива x(t),t в
розширеному фазовому просторі R n R знаходиться в V , . Тоді
							1	t
			/		~		1		, t 0.
					~
		x(t)		min	H	e	2
				min