Posibnuk

7)сolor – встановлення кольору лінії: англійською мовою назва кольору, наприклад, yellow – жовтий, інші.

8)xtickmarks=nx та ytickmarks=ny – число міток по осі Оx та осі Оy.

9)thickness=n, де n=1,2,3… - товщина лінії (по замовчанню n=1).

10)linestyle=n – тип лінії: неперервна, пунктирна і т.д. (n=1 – неперервна та встановлена за замовчанням).

11)symbol=s – тип символа, яким помічають точки: BOX, CROSS,

CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12)font=[f,style,size] – встановлення типу шрифту для виведення тексту: f

задає назву шрифтів: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style

задає стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – розмір шрифту

впунктах pt.

13)labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по осі Оx та ty – по осі Оy.

14)discont=true – вказівка для побудови нескінченних розривів.

За допомогою команди plot можна будувати крім графіків функцій

заданих явно: y=f(x), графіки параметрично заданих функцій: y=y(t), x=x(t). Для цього треба записати таку команду

plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Підключивши попередньо пакет student командою with(student): та ввівши команду підключення бібліотеки readlib(extrema): можна розв'язувати такі задачі:

-пошук екстремумів функції однієї або багатьох змінних – extrema;

-пошук максимумів та мінімумів - maximize та minimize.

Приклад 1. Побудувати графік функції y = x2 −1 Знайти екстремуми функції,

мінімальне та максимальне значення.

Хід розв’язування

>y:=x^2-1;

>plot(y,x=-5..5);

33

>extrema(y,x);

>minimize(y,x);

>maximize(y,x);

Приклад 2. Побудувати графік функції y = cos(x) на відрізку [−π;π] .

Хід розв’язування

>with(plots):

>plot(cos(x),x=-Pi/2..3*Pi/2,y=-1..1);

Указану вище команду можна записати по-іншому:

> plot(cos,-Pi/2..3*Pi/2);

Іноді функція задається на різних проміжках різними формулами.

Хід розв’язування Для того, щоб побудувати графік вказаної функції опишемо процедуру:

> f:=proc(x) if (x>=-1) and (x<=0) then 2*x+3 elif (x>0) and

(x<=1) then x+2 end if end proc;

34

f := proc(x)

if -1 ≤ x and x ≤ 0 then 2×x + 3 elif 0 < x and x ≤ 1 then x + 2 end if end proc

Приклад 4. Побудувати графік функції y = x .

Хід розв’язування Можна було б розв’язати цей приклад аналогічно до попереднього

прикладу. Але в математичному пакеті існує конструкція piecewise,якою легко описати функцію.

> F:=x-> piecewise(x<=0,-x,x>=0,x);

F := x → piecewise( x ≤ 0, −x, 0 ≤ x, x )

> F(x);

> plot(F(x),x=-5..5);

> plot([[-2.5,6.25],[-2,4],[-1,1],[-

0.5,0.25],[0,0],[0.5,0.25],[1,1], [2,4],[2.5,6.25]]);

35

Питання для самоперевірки

1.Яка команда використовується для побудови графіків?

2.Які параметри команди plot ви знаєте?

3.Як знайти екстремуми функції однієї або багатьох змінних?

4.Як здійснюється пошук максимумів функції?

5.Як здійснюється пошук мінімумів функції?

38

ДЕНЬ 2 АЛГЕБРА, АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Заняття 1 «Векторна алгебра»

Теоретико-практична частина Основна частина команд для розв'язування задач лінійної алгебри

міститься в бібліотеці linalg. Тому перед розв'язуванням задач з матрицями та векторами слід підключити цю бібліотеку командою with(linalg);.

Укажемо різні способи задання векторів.

І спосіб

Для задання векторів в Maple використовується команда vector([x1,x2,...,xn]), де в квадратних дужках через кому вказуються координати вектора.

ІІ спосіб

Також можна задати вектор, використовуючи команду array(1..n,[x1,x2,...,xn]); тобто вказати розмірність масиву та перерахувати його елементи в квадратних дужках.

Координату вже заданого вектора x можна отримати в рядку виведення, якщо ввести команду а[n] - де а - вектор, а n - номер координати. Приклад 1. Задати вектори

Хід розв’язування

І спосіб

>with(linalg):

a:=vector([2,3]);b:=vector([1,5]);

ІІ спосіб

> a:=array(1..2,[2,3]);b:=array(1..2,[1,5]);

39

> a[1]; b[2];

Додавання векторів

Знаходження суми двох векторів a та b можна здійснити за допомогою таких команд: evalm(a+b);, matadd(a,b);.

За допомогою команди add можна обчислити лінійну комбінацію векторів a та b : l a+m b, де l, m - скалярні величини, за умови використання формату: matadd(a,b,l,m);.

Обчислення скалярного та векторного добутків

Скалярний добуток двох векторів можна обчислити за допомогою команди dotprod(a,b). Векторний добуток двох векторів обчислюється командою crossprod(a,b). Для знаходження кута між двома векторами використовується команда angle(a,b).

Якщо задана система n векторів, то використовуючи команду basis([a1,a2, ..,an]) можна знайти базис цієї системи.

Щоб знайти норму (довжину) вектора можна використати команду norm(a,2).

Приклад 2. На площині задано два вектори a і b . Довести, що ці вектори утворюють базис площини і знайти координати вектора x = (3,1) у базисі {a,b}.

Хід розв’язування Перевіримо координати векторів на пропорційність:

> a[1]/b[1];a[2]/b[2];

Оскільки координати векторів не пропорційні, то вектори не колінеарні, а тому утворюють базис площини. Кожен вектор однозначно

40

зображається у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, а тому і вектор х може бути однозначно виражений через вектори a та b .

>x:=vector([3,1]);

>matadd(a,b,alpha,beta);

>eq:={x[1]=%[1],x[2]=%[2]};

>solve(eq);

Виконаємо перевірку:

> subs({alpha=2,beta=-1},eq);

Нагадаємо, що команда solve розв'язує вказане рівняння. Команда subs

Хід розв’язування

>x:=vector([-8,-3]); y:=vector([11,-5]); dotprod(x,y); phi:=angle(x,y);

> radsimp(%);

41

> convert(%, units, radians,degrees);

Команда radsimp виконує спрощення виразу з ірраціональностями, а convert - здійснює перетворення вказаних в дужках одиниць вимірювання.

Приклад 4. Чи компланарні три вектори x = (−2,3,1), y =(−3,0,6), z = (1,3,7) ?

Хід розв’язування

>x:=vector([-2,3,1]); y:=vector([-3,0,6]); z:=vector([1,3,7]);

Відомо, що умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю мішаного добутку цих векторів. Мішаний добуток трьох векторів в ортонормованому базисі обчислюється як визначник, складений із координат цих векторів.

>Delta:=<x1,x2,x3>;

>det(%);

Визначник не дорівнює нулю, значить вектори не компланарні.

Контрольні завдання

1. На площині дано 2 вектори u =(1,3) і v =(2,1) . Довести, що вектори u і v

утворюють базис площини і знайти координати вектора xr у базисі {u, v} :

42