Posibnuk
.pdf>changevar(sqrt(-2*x^2-5*x+9)=t*x-3,%,t);
>simplify(%);
>value(%);
>changevar(t=(sqrt(-2*x^2-5*x+9)+3)/x,%,x);
>Eval(%,x=1/5..4/5);
>value(%);
>evalf(%);
20 |
|
|
|
dx |
|
Приклад 3. Обчислити інтеграл ∫ |
|
|
|
. |
|
x |
x |
2 |
− x −72 |
||
10 |
|
|
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
> Int(1/x/sqrt(x^2-x-72),x);
173
> changevar(sqrt(x^2-x-72)/(x+8)=t,%,t);
>simplify(%);
>value(%);
>changevar(t=sqrt(x^2-x-72)/(x+8),%,x);
>Eval(%,x=10..20);
>value(%);
Тригонометричні підстановки
Ще один універсальний метод обчислення інтегралів
∫R( ax2 +bx + c, x)dx , що містять квадратний тричлен під знаком радикала –
це метод тригонометричних підстановок.
174
Їх три і вони охоплюють всі можливі випадки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
Якщо a < 0, а дискримінант D =b2 − 4ac > 0, вводиться підстановка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
sin t, |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
+ |
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
= arcsin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
b |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
. |
||||||||||
|
2a |
= |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||
|
|
|
cost, |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
= arccos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
1,2 |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Якщо a > 0 , а |
D < 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− D |
tg t, |
|
t |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
= arctg |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
b |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− D |
|
1,2 |
|
|
|
|
2a |
|
|
|||||||||||
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
2a |
= |
− D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ctg t, |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
b |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arcctg |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
− D |
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
2a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Якщо a > 0 , а D > 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, |
|
t1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2a |
sin t |
|
|
|
= arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a x1,2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
2a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
D |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
t1,2 |
|
= arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2a |
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a x1,2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приклад 4. Знайти інтеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−1 x |
− 2x |
|
|
+ 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
При застосуванні методу символьних обчислень в Maple може виникнути проблема складності спрощення виразів, тому в деяких прикладах проміжні дії не у повній мірі співпадають з класичним методом математичного аналізу.
175
>Int(1/sqrt(-2*x^2+25),x);
>changevar(x=-5/sqrt(2)*sin(t),%,t);
>radsimp(%);
>simplify(%,trig);
>simplify(%,symbolic);
>value(%);
>changevar(t=arcsin(-sqrt(2)*x/5),%,x);
>Eval(%,x=-1..1);
>value(%);
Для спрощення виразу типу 1−sin 2 t , використовуємо оператор simplify(%,trig);.
176
Приклад 5. Знайти інтеграл ∫5 |
dx2 |
. |
0 |
2x + 25 |
|
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
В даному прикладі, застосування методу комп’ютерних обчислень в Maple викликало труднощі при спрощенні виразу типу 1 + tg2 t , тому проміжні дії не повністю півпадають з класичним методом. Для перетворення виразу 1+ tg2 t , використовуємо оператор convert(%,cos);. При поверненні до старої
змінної інтегрування виражаємо t з підстановки x = 52 tg t , використовуючи вже відомий оператор solve(x=5*tan(t)/sqrt(2),t).
>Int(1/sqrt(2*x^2+25),x);
>changevar(x=5*tan(t)/sqrt(2),%,t);
>radsimp(%);
>convert(%,cos);
>simplify(%,symbolic);
>value(%);
177
>changevar(t=solve(x=5*tan(t)/sqrt(2),t),%,x);
>Eval(%,x=0..5);
>value(%);
>evalf(%);
Приклад 6. Обчислити інтеграл |
10∫ |
|
dx2 |
. |
|
5 |
x |
2x |
− 25 |
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
>Int(1/x/sqrt(2*x^2-25),x);
>changevar(x=5/sqrt(2)/cos(t),%,t);
>radsimp(%);
>simplify(%,trig);
>simplify(%,symbolic);
178
>value(%);
>changevar(t=(solve(x=5/sqrt(2)/cos(t),t)),%,x);
>Eval(%,x=5..10);
>value(%);
Контрольні завдання 1. Знайти інтеграли від функцій, які містять квадратний тричлен під
коренем квадратним, використовуючи підстановки Ейлера.
1. |
10 |
|
dx |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
dx |
|
10 |
|
|
|
dx |
|
|
|||
а) ∫ |
(x −1) |
|
|
|
, |
|
б) ∫ |
|
|
|
, |
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
|||||||
x |
2 |
|
+ |
|
x |
− x |
2 |
+15x + 25 |
|
2 |
+9x +10 |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
5x +1 |
|
2 |
|
|
1 x x |
|
|
|
|||||||||||
2. |
10 |
|
dx |
|
|
|
5 |
|
|
|
dx |
|
8 |
|
|
|
dx |
|
|
|||||
а) ∫ |
(x +8) |
|
|
, |
б) ∫ |
|
|
|
, |
в) ∫ |
|
|
|
; |
|
|||||||||
x |
2 |
|
+ |
3x + 4 |
x |
− 4x |
2 |
+15x +9 |
x x |
2 |
+ x − 2 |
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
3. |
10 |
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
15 |
|
|
|
dx |
|
|
||||
а) ∫ |
(x − 2) |
|
|
, |
б) ∫ |
|
|
|
, |
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
|||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
−9x |
2 |
+10x + 4 |
x x |
2 |
+ 2x +3 |
|||||||||||||
|
5 |
|
|
−3x +1 |
|
0,5 x |
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||
4. |
5 |
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
10 |
|
|
|
dx |
|
|
||||
а) ∫ |
|
|
|
|
, |
б) ∫ |
|
|
|
, |
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
||||||||
(x −9) |
x |
2 |
|
+ |
5x +9 |
x |
− x |
2 |
− 20x + 49 |
x x |
2 |
+3x − 4 |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
5. |
10 |
|
dx |
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
12 |
|
|
|
dx |
|
|
|||||
а) ∫ |
(x −3) |
|
|
, |
б) ∫ |
|
|
|
, |
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
|||||||||
x |
2 |
|
− |
5x + 4 |
x |
− x |
2 |
+10x +36 |
x x |
2 |
+ 4x −5 |
|||||||||||||
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
6. |
0 |
|
|
dx |
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
15 |
|
|
|
dx |
|
|
||||
а) ∫ |
(2x −1) |
|
|
|
, |
б) ∫ |
|
|
|
, |
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
x |
− x |
2 |
−15x + 64 |
x x |
2 |
−5x −6 |
||||||||||||
|
−5 |
|
|
|
|
−8x +9 |
1 |
|
|
8 |
|
|
||||||||||||
7. |
10 |
|
|
|
dx |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
dx |
|
15 |
|
|
|
dx |
|
|
||
а) ∫ |
(2x +1) |
|
|
|
|
, |
б) ∫ |
|
|
|
|
|
, в) ∫ |
|
|
|
|
; |
||||||
|
4x |
2 |
+5x + |
|
−9x |
2 |
− 25x +16 |
x x |
2 |
−6x −7 |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
−2 x |
|
10 |
|
|
179
23.а) |
8 |
|
|
|
dx |
|
|
, |
б) |
−0,1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
в) |
−10 |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|||||||||
∫ |
(3x − 4) |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
2 |
+10x +16 |
x |
−16x |
2 |
|
|
|
|
|
x x |
2 |
−5x −36 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
−0,9 |
|
|
−15x +1 |
|
−15 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
24.а) |
10 |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
б) |
−1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
, |
в) |
−10 |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|||||||
∫ |
(x + 4) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
25x |
2 |
−15x + 4 |
|
|
−9x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
−6x − 40 |
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
−3 x |
|
|
−30x +16 |
|
−15 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
25.а) |
1 |
|
|
|
dx |
|
|
, |
б) |
−1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
в) |
−10 |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|||||||
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(2x +3) |
x |
2 |
−10x +16 |
|
|
− x |
2 |
|
−18x |
|
|
|
|
x x |
2 |
+5x −14 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
−5 x |
|
|
+ 64 |
|
−20 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
26.а) |
15 |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
б) |
−0,5 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
в) |
15 |
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
||||||||
∫ |
(x +3) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4x |
2 |
− 21x + 25 |
x |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
+ 4x − 21 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
−2 |
|
+15x +36 |
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
27.а) |
10 |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
б) |
−1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
, |
в) |
20 |
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
||||||
∫ |
(4x −1) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16x |
2 |
+12x +1 |
|
x |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
+ 2x − 24 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
−10 |
|
|
−15x + 49 |
|
10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
28.а) |
10 |
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
б) |
1,5 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
в) |
15 |
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
||||||
∫ |
(x + 2) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9x |
2 |
|
|
|
x |
−9x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
+ x −30 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
+8x +1 |
|
|
1 |
|
|
+15x + 4 |
|
10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
29.а) |
10 |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
б) |
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
в) |
−10 |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
||||||
∫ |
(x +9) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
25x |
2 |
− 21x + 4 |
x |
|
− 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
+ 2x −35 |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
+16x +9 |
|
−20 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
30.а) |
10 |
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
б) |
10 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
в) |
−10 |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x +1) 4x |
2 |
+ |
|
x |
− x |
2 |
|
+12x |
|
|
|
|
x x |
2 |
− 2x −99 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
20x +9 |
|
|
1 |
|
|
+ 25 |
|
−20 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2. Знайти інтеграли методом тригонометричних підстановок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∫5 |
|
|
2 |
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
∫5 |
|
2 |
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−1 x |
|
|
− 2x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 x |
|
+16x + 60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
−∫5 |
|
x |
2 dx |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
10∫ |
3x |
2 |
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−10 |
|
+ 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ 6x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
12∫ |
|
|
2 |
dx |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
14∫ |
|
|
2 |
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
x |
|
|
−6x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5x |
|
+10x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
∫0 |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
20∫ |
x |
2 |
|
dx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−8 x |
|
+8x + 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
− 2x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
20∫ |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
20∫ |
|
2 |
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 |
x |
|
−10x + 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
x |
|
+ 4x − 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
−∫2 |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
−∫2 |
x |
2 |
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−8 x |
|
+12x +37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
|
−6x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
∫1 |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
14. ∫7 |
|
x |
2 |
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−8 x |
|
−14x + 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
+8x +15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181
15. |
15∫ |
|
2 |
|
dx |
, |
23. |
12∫ |
|
|
2 |
dx |
, |
|
|
10 |
x |
|
−10x + 21 |
|
2 |
x |
|
|
−6x +34 |
||||
16. |
15∫ |
|
2 |
|
dx |
, |
24. |
16∫ |
|
|
2 |
dx |
, |
|
|
0 |
x |
|
+12x + 20 |
|
7 |
x |
|
|
+8x −9 |
|
|||
17. |
1 |
|
|
|
dx |
, |
25. |
15 |
|
|
|
|
dx |
, |
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
||||||||
|
−5 |
|
−14x +33 |
|
2 |
|
|
−10x +34 |
||||||
18. |
14 |
|
|
|
dx |
, |
26. |
20 |
|
|
|
|
dx |
, |
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
||||||||
|
−5 |
|
+16x + 73 |
|
7 |
|
|
+12x −13 |
||||||
19. |
16 |
|
|
|
dx |
, |
27. |
0 |
|
|
|
|
dx |
, |
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||||
3x |
2 |
|
x |
2 |
|
|||||||||
|
5 |
|
+ 6x −13 |
|
−8 |
|
|
−14x +15 |
||||||
20. |
15 |
|
|
|
dx |
, |
28. |
15 |
|
|
|
|
dx |
, |
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||||
5x |
2 |
|
x |
2 |
|
|||||||||
|
7 |
|
+10x − 44 |
|
4 |
|
|
+16x +15 |
||||||
21. |
14∫ |
|
2 |
|
dx |
, |
29. |
11∫ |
|
2 |
|
|
dx |
, |
|
1 |
x |
|
− 2x +17 |
|
|
2 |
x |
|
|
−14x +33 |
|||
22. |
∫0 |
|
2 |
|
dx |
, |
30. |
15∫ |
|
|
|
2 |
dx |
. |
|
−8 x |
|
+ 4x +13 |
|
|
5 |
5x |
|
+10x + 21 |
Завдання підібрано з джерела [6].
Питання для самоперевірки
1.Який вигляд мають перша, друга т а третя підстановки Ейлера?
2.Які є тригонометричні підстановки для обчислення інтегралів, що містять квадратний тричлен під знаком радикала?
182