Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кировоградский государственный педагогический университет им. В. Винниченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Posibnuk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

>changevar(sqrt(-2*x^2-5*x+9)=t*x-3,%,t);

>simplify(%);

>value(%);

>changevar(t=(sqrt(-2*x^2-5*x+9)+3)/x,%,x);

>Eval(%,x=1/5..4/5);

>value(%);

>evalf(%);

20				dx
Приклад 3. Обчислити інтеграл ∫					.
	x	x	2	− x −72
10

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

> Int(1/x/sqrt(x^2-x-72),x);

173

> changevar(sqrt(x^2-x-72)/(x+8)=t,%,t);

>simplify(%);

>value(%);

>changevar(t=sqrt(x^2-x-72)/(x+8),%,x);

>Eval(%,x=10..20);

>value(%);

Тригонометричні підстановки

Ще один універсальний метод обчислення інтегралів

∫R( ax2 +bx + c, x)dx , що містять квадратний тричлен під знаком радикала –

це метод тригонометричних підстановок.

174

Їх три і вони охоплюють всі можливі випадки.

Якщо a < 0, а дискримінант D =b2 − 4ac > 0, вводиться підстановка

sin t,

1,2

= arcsin

1,2

x +

cost,

1,2

= arccos

1,2

Якщо a > 0 , а

D < 0 , то

− D

tg t,

1,2

= arctg

− D

1,2

x +

− D

ctg t,

= arcctg

1,2

− D

1,2

Якщо a > 0 , а D > 0 , то

t1,2

sin t

= arcsin

2a x1,2

x +

t1,2

= arccos

cost

2a x1,2

Приклад 4. Знайти інтеграл ∫

−1 x

− 2x

+ 25

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

При застосуванні методу символьних обчислень в Maple може виникнути проблема складності спрощення виразів, тому в деяких прикладах проміжні дії не у повній мірі співпадають з класичним методом математичного аналізу.

175

>Int(1/sqrt(-2*x^2+25),x);

>changevar(x=-5/sqrt(2)*sin(t),%,t);

>radsimp(%);

>simplify(%,trig);

>simplify(%,symbolic);

>value(%);

>changevar(t=arcsin(-sqrt(2)*x/5),%,x);

>Eval(%,x=-1..1);

>value(%);

Для спрощення виразу типу 1−sin 2 t , використовуємо оператор simplify(%,trig);.

176

Приклад 5. Знайти інтеграл ∫5	dx2	.
0	2x + 25

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

В даному прикладі, застосування методу комп’ютерних обчислень в Maple викликало труднощі при спрощенні виразу типу 1 + tg2 t , тому проміжні дії не повністю півпадають з класичним методом. Для перетворення виразу 1+ tg2 t , використовуємо оператор convert(%,cos);. При поверненні до старої

змінної інтегрування виражаємо t з підстановки x = 52 tg t , використовуючи вже відомий оператор solve(x=5*tan(t)/sqrt(2),t).

>Int(1/sqrt(2*x^2+25),x);

>changevar(x=5*tan(t)/sqrt(2),%,t);

>radsimp(%);

>convert(%,cos);

>simplify(%,symbolic);

>value(%);

177

>changevar(t=solve(x=5*tan(t)/sqrt(2),t),%,x);

>Eval(%,x=0..5);

>value(%);

>evalf(%);

Приклад 6. Обчислити інтеграл	10∫		dx2	.
	5	x	2x	− 25

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

>Int(1/x/sqrt(2*x^2-25),x);

>changevar(x=5/sqrt(2)/cos(t),%,t);

>radsimp(%);

>simplify(%,trig);

>simplify(%,symbolic);

178

>value(%);

>changevar(t=(solve(x=5/sqrt(2)/cos(t),t)),%,x);

>Eval(%,x=5..10);

>value(%);

Контрольні завдання 1. Знайти інтеграли від функцій, які містять квадратний тричлен під

коренем квадратним, використовуючи підстановки Ейлера.

1.	10		dx								10				dx			10				dx
	а) ∫	(x −1)							,		б) ∫						,	в) ∫						;
			x	2			+					x	− x	2	+15x + 25					2		+9x +10
	2								5x +1		2							1 x x
2.	10		dx								5				dx			8				dx
	а) ∫	(x +8)								,	б) ∫						,	в) ∫					;
			x		2		+		3x + 4			x	− 4x		2	+15x +9			x x		2	+ x − 2
	0										1							1
3.	10		dx								1				dx			15				dx
	а) ∫	(x − 2)							,		б) ∫						,	в) ∫						;
			x		2								−9x		2	+10x + 4			x x		2	+ 2x +3
	5						−3x +1				0,5 x							5
4.	5		dx								2				dx			10				dx
	а) ∫									,	б) ∫						,	в) ∫						;
		(x −9)	x		2		+		5x +9			x	− x	2	− 20x + 49				x x		2	+3x − 4
	0										1							1
5.	10		dx								2				dx			12				dx
	а) ∫	(x −3)								,	б) ∫						,	в) ∫						;
			x		2		−		5x + 4			x	− x	2	+10x +36				x x		2	+ 4x −5
	5										1							2
6.	0			dx							2				dx			15				dx
	а) ∫	(2x −1)								,	б) ∫						,	в) ∫						;
					x	2						x	− x	2	−15x + 64				x x		2	−5x −6
	−5							−8x +9			1							8
7.	10				dx						−1					dx		15				dx
	а) ∫	(2x +1)								,	б) ∫							, в) ∫						;
				4x				2	+5x +				−9x		2	− 25x +16			x x		2	−6x −7
	0									1	−2 x							10

179

а)

б)

∫

(x − 4)

15x +16

а)

б)

∫

(2x −3)

+ 7x +

10.а)

б)

∫

(x −5)

−

9x +16

11.а)

б)

∫

(3x −1)

−15x + 25

12.а)

б)

∫

(x −6)

− 40x +

13.а)

б)

∫

(3x − 2)

16x

+10x

14.а)

б)

∫

(x −7)

+15x +

15.а)

б)

∫

(3x + 2)

−35x +36

16.а) ∫

б)

(x −8)

4x +1

17.а)

б)

∫

(3x + 4)

+ 7x + 4

18.а)

б)

∫

(x + 7)

−

8x +1

19.а)

б)

∫

(4x +3)

+10x +

20.а)

б)

∫

(x + 6)

−

3x + 4

21.а)

б)

∫

(3x +1)

+ 7x +1

22.а)

б)

∫

(x +5)

−

10x +9

−0,2

в)

;

∫

−16x

−0,5

−10x +1

+3x + 2

−0,1

в)

;

∫

− 25x

x x

−0,5

−15x +1

+5x + 6

в)

;

∫

−9x

+ 25x

x x

+ 25

+ 6x +8

0,8

в)

;

∫

− 4x

x x

0,2 x

− 27x + 25

+ 7x +10

в)

;

∫

− 4x

+ 25x

x x

+36

+8x +12

1,5

в)

;

∫

−16x

x x

0,5 x

+ 20x +9

+10x + 21

−1

в)

;

∫

− x

x x

−4 x

+10x + 64

−5x − 24

в)

;

∫

− x

x x

+ 20x + 25

−6x − 27

0,6

в)

;

∫

− 25x

x x

0,1 x

+15x +1

−7x −30

−0,5

в)

;

∫

− x

+ 21x

x x

−1,5

+36

+ 2x −8

, в)

;

− ∫

∫

−30x + 25

x x

+ x

−2 x −16x

−12

в)

;

∫

− 4x

+ 28x

x x

+36

− x − 20

в)

;

∫

− 4x

+30x

x x

+ 25

− 2x − 24

в)

;

∫

−9x

+32x

x x

+ 25

−3x − 28

−0,1

в)

−10

;

∫

− 25x

−0,8

− 20x +1

−15 x

− 4x −32

180

23.а)

б)

−0,1

в)

−10

;

∫

(3x − 4)

∫

+10x +16

−16x

x x

−5x −36

−0,9

−15x +1

−15

24.а)

б)

−1

в)

−10

;

∫

(x + 4)

∫

25x

−15x + 4

−9x

x x

−6x − 40

−3 x

−30x +16

−15

25.а)

б)

−1

в)

−10

;

∫

(2x +3)

−10x +16

− x

−18x

x x

+5x −14

−1

−5 x

+ 64

−20

26.а)

б)

−0,5

в)

;

∫

(x +3)

∫

− 21x + 25

− x

x x

+ 4x − 21

−2

+15x +36

27.а)

б)

−1

в)

;

∫

(4x −1)

∫

16x

+12x +1

− x

x x

+ 2x − 24

−10

−15x + 49

28.а)

б)

1,5

в)

;

∫

(x + 2)

∫

−9x

x x

+ x −30

+8x +1

+15x + 4

29.а)

б)

в)

−10

;

∫

(x +9)

∫

25x

− 21x + 4

− 4x

x x

+ 2x −35

+16x +9

−20

30.а)

б)

в)

−10

∫

(x +1) 4x

− x

+12x

x x

− 2x −99

20x +9

+ 25

−20

2. Знайти інтеграли методом тригонометричних підстановок.

∫5

−1 x

− 2x +5

−5 x

+16x + 60

−∫5

2 dx

10∫

−10

+ 4x +5

+ 6x + 7

12∫

10.

14∫

−6x +10

+10x + 6

∫0

11.

20∫

−8 x

+8x + 20

− 2x −8

20∫

12.

20∫

−10x + 24

+ 4x − 21

−∫2

13.

−∫2

−8 x

+12x +37

−10

−6x +5

∫1

14. ∫7

−8 x

−14x + 45

+8x +15

181

15.	15∫		2		dx	,	23.	12∫			2		dx	,
	10	x		−10x + 21				2	x				−6x +34
16.	15∫		2		dx	,	24.	16∫			2		dx	,
	0	x		+12x + 20				7	x				+8x −9
17.	1				dx	,	25.	15					dx	,
	∫				dx			∫					dx
	∫	x	2					∫	x		2
	−5	x		−14x +33				2	x				−10x +34
18.	14				dx	,	26.	20					dx	,
	∫				dx			∫					dx
	∫	x	2					∫	x		2
	−5	x		+16x + 73				7	x				+12x −13
19.	16				dx	,	27.	0					dx	,
	∫				dx			∫					dx
	∫	3x		2				∫	x		2
	5	3x			+ 6x −13			−8	x				−14x +15
20.	15				dx	,	28.	15					dx	,
	∫				dx			∫					dx
	∫	5x		2				∫	x		2
	7	5x			+10x − 44			4	x				+16x +15
21.	14∫		2		dx	,	29.	11∫		2			dx	,
	1	x		− 2x +17				2	x			−14x +33
22.	∫0		2		dx	,	30.	15∫				2	dx	.
	−8 x			+ 4x +13				5	5x				+10x + 21

Завдання підібрано з джерела [6].

Питання для самоперевірки

1.Який вигляд мають перша, друга т а третя підстановки Ейлера?

2.Які є тригонометричні підстановки для обчислення інтегралів, що містять квадратний тричлен під знаком радикала?

182

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.02.20162 Мб480Podolyak-L_G_-Psikhologiya-Vischoyi-shkoli.doc
#
17.02.201679 Кб11Politichna_psikhologiya_37_grupa__1.doc
#
01.07.20252 Мб2Posibnik_MVR_V_DOT_06.doc
#
17.02.20162 Мб85Posibnik_OKG.doc
#
17.02.20161 Мб76Posibnik_Pascal.pdf
#
17.02.20162 Мб31Posibnuk.pdf
#
09.11.20181 Мб3Posibnyk_Technology_10_5-6.doc
#
01.07.2025200 Кб1Prakt_chast_Pit_1-30.docx
#
17.02.2016248 Кб26prakt_zan_MNM_2012-2013.pdf
#
30.11.2018114 Кб16Praktichne_zanyattya.doc
#
14.11.2019285 Кб5praktichni_-_MODUL_3 (1).doc