Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кировоградский государственный педагогический университет им. В. Винниченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Posibnuk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

			3π
29.	а).		∫2	3x−1 cos xdx ,	б).	10∫		(x + 2)2 −6dx ,
			π			1
	в).	20∫(−log72 (6+5x) +3log7 (6+5x))dx,			г). ∫0		(11x −10) arctg(11x −10) ,
		0				−10
			3π
30.	а).		∫2	5x−1 cos(3x − 4)dx ,	б). ∫7			(−x + 7)2 +13dx ,
			π			−3
	в).	16∫(ln 2 (2 + x) − 2 ln(2 + x))dx ,			г). −∫1arctg 11−5xdx .
		1				−5

Завдання 1 підібрано з джерела [5], завдання 2 – з джерела [6].

Питання для самоперевірки

1.Який вигляд має формула інтегрування частинами?

2.Яка команда дає можливість здійснити інтегрування частинами?

3.За допомогою якої команди можна відокремити підінтегральний вираз?

4.Яка команда скасовує всі попередні присвоєння змінним?

Заняття 2 «Інтегрування найпростіших раціональних дробів»

Теоретико-практична частина

Найпростішим дробом називається правильний раціональний дріб одного

з наступних чотирьох		типів:
1).	A		;		2).	A	(n≥2);
	x −a					(x − a)n

3).	Mx + N			;	4).	Mx + N		(n≥2).
	x2 + px + q					(x2 + px + q)n

Тут А, M, N, a, p, q – дійсні числа.

Найпростіші дроби першого і другого типів інтегруються безпосередньо за допомогою основних правил інтегрального числення:

123

x∫2 x1

Adx

d(x − a)

= A(ln | x − a |)

∫

= A∫

;

(x − a)

x − a

−n

n = A∫(x − a)

dx = A∫(x − a)

n−1

(x − a)

d(x − a) =

(1− n)(x − a)

Інтеграл від найпростішого дробу третього типу зводиться до табличних інтегралів шляхом виділення диференціала знаменника в чисельнику дроба і зведення знаменника до суми квадратів:

(Mx + N )dx

d (x2 + px + q) = (2x + p)dx,

x∫

x2 + px + q

Mx + N =

(2x + p) + N −

d(x2 + px + q)

Mp x2

∫

N −

∫

+ px + q

d x

ln(x

+ px + q)

+ N

−

∫

2 x

x +

+ q −

M2 = M2

ln(x2 + px + q) + N −

	1				arctg		2x
					arctg
	q −	p2					4q
	q −
			4
	1					x +		p
						x +	2
						ln	2
						ln
2	q −			p2		x +		p
2	q −		4			x +	2
			4				2

x2 + p − p2 x1

− − q +

+ − q +

p2 x2

p2 4 x1

( 4q − p2 > 0 )

( 4q − p2 < 0 )

Для обчислення інтегралів четвертого типу пропонуємо розглянути відповідний невизначений інтеграл, а в кінці застосувати формулу НьютонаЛейбніца. Виведемо спочатку рекурентну формулу для обчислення інтегралу типу

∫(x2 + a2 )n .

124

Застосуємо до

інтегралу ∫

формулу інтегрування частинами

)

+ a

− k 2x dx

u =

du =

(x2

+ a2 )k

(x2 + a2 )k +1

звідки після очевидних перетворень

v = x

dv = dx,

нового підінтегрального виразу (в чисельнику додається та віднімається a2 ) випливає:

∫

+ 2k ∫

(x2

+ a2 ) − a

dx =

+ a

)

+ a

)

+ a

)

k+1

+ 2k ∫

− 2ka2 ∫

)

2 2

)

k +1

+ a

Позначимо

та Ik +1

тоді із попередньої

∫(x2 + a2 )k

∫(x

+ a2 )k +1

формули випливає

I k =

+ 2kIk

− 2ka2 I k +1 ,

(x2

+ a 2 )k

або

Ik +1

2k −1

Ik .

(1).

2ka2 (x2 + a2 )k

2ka2

Рекурентна формула (1) дає можливість обчислювати інтеграли ∫

+ a

)

з довільним натуральним степенем n = k +1, зведенням його до аналогічного інтегралу зі степенем на одиницю меншим. Після k – кратного інтегрування інтеграл зводиться до табличного.

Аналогічну рекурентну формулу можна отримати для обчислення

інтегралу вигляду ∫

− a

)

J k +1

= −

−

2k −1

J k ,

(2).

2ka2 (x2 − a2 )k

2ka2

125

де J k :=

та

J k +1

∫(x

− a2 )k

∫(x2

− a2 )k +1

Інтеграл

від найпростішого

дробу четвертого типу зводиться до

інтегралів вигляду In або Jn шляхом, аналогічним до указаного вище для інтегралів третього типу, а саме, виділенням в чисельнику диференціала знаменника і зведенням знаменника до суми квадратів.

∫

(Mx

+ N)dx

d (x2 + px + q) = (2x + p)dx,

Mx + N =

(2x + p) + N −

(x + px + q)

d(x2 + px +q)

∫

+ N −

∫

+ px

+q)

+ px +q)

d x +

+ N

−

∫

2 1

− n (x

+ px + q)

n−1

+ q

−

Останній інтеграл зводиться до табличного (n-1) - кратним застосуванням

відповідної формули: (1) – якщо q −

> 0 або (2) – якщо q −

< 0 .

Приклад 1. Знайти інтеграл ∫

2x −5

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Проміжні дії виконуються нескладно:

>restart:

with(student): Int(1/(2*x-5),x); changevar(t=2*x-5,%,t); simplify(%);

value(%); changevar(t=2*x-5,%,x);

126

Приклад 2. Знайти інтеграл ∫(2xdx−5)3 .

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Проміжні дії мають вигляд:

> Int(1/(2*x-5)^3,x);

changevar(t=2*x-5,%,t);

simplify(%);

value(%);

changevar(t=2*x-5,%,x);

127

Приклад 3. Обчислити інтеграл ∫0		dx	.
	2
−5 x		−10x + 21

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцева відповідь:

> int(1/(x^2-10*x+21),x=-5..0);

Проміжні дії пропонуємо у вигляді:

>Int(1/(x^2-10*x+21),x=-5..0);

>p:=integrand(%);

>denom(%);

>completesquare(%);

>sort(%);

>zam:=sqrt(op(1,%));

>changevar(z=zam,Int(p,x=-5..0),z);

128

>simplify(%);

>value(%);

Оператор denom виділяє знаменник дробу, оператор сompletesquare - виділяє повний квадрат. Оператор sort встановлює такий порядок доданків, при якому на першому місці стоїть доданок старшого степеня.

0			dx
Приклад 4. Обчислити інтеграл ∫			dx
				.
	(x	2	3	.
−5	(x		−10x + 21)

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат:

>int(1/(x^2-10*x+21)^3,x=-5..0); evalf(%);

Проміжні дії:

>Int(1/(x^2-10*x+21)^3,x);

>j:=array(1..3);

>j[1]:=Int(1/(x^2-10*x+21),x);

129

> for k from 1 to 2 do j[k+1]:=(-(x-5)/2/k/2^2/(x^2- 10*x+21)^k)-(2*k-1)/2/k/2^2*j[k] end do;

>value(%);

>Eval(%,x=-5..0);

>value(%);

>evalf(%);

Спочатку вводиться масив інтегралів j. Перший з них задається простим присвоюванням, а другий та третій за рекурентною формулою в циклі for k from 1 to 2 do. Оскільки на початку розв’язування межі інтегрування відкинули, то після знаходження результату підставляємо межі інтегрування, використовуючи оператор Eval. Видно, що відповіді в кінцевому результаті та проміжних діях відрізняються формою запису, тому для перевірки розв’язку використовується оператор evalf, який представляє результат числом.

130

Приклад 5. Обчислити інтеграл	22∫		(5x −3)dx	.
			2
	10	(x	−10x + 21)

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат:

> int((5*x-3)/(x^2-10*x+21),x=10..22);

Проміжні дії:

>Int((5*x-3)/(x^2-10*x+21),x=10..22);

>id:=integrand(%);

>d:=diff(denom(%),x);

>zam:=d/lcoeff(d);

>changevar(z=zam,Int(id,x=10..22),z);

>simplify(%);

>expand(%);

131

>value(op(1,%))+changevar(s=z^2,op(2,%),s);

>value(%);

Заміна змінних у цьому прикладі зроблена методом виділення похідної оператором diff знаменника denom в чисельнику підінтегрального виразу. Також використано оператор lcoeff, який визначає коефіцієнт при старшому степеню многочленна.

Виконання value(op(1,%))+changevar(s=z^2,op(2,%),s); який перший інтеграл обчислює, а в другому виконує заміну, треба слідкувати. Доданки можуть бути поміняні місцями, тоді треба поміняти місцями номери доданків, які знаходяться в операторах op(1,%) та op(2,%).

Приклад 6. Обчислити інтеграл	22∫			5x −3		dx .
		(x	2		3
	10			−10x + 21)

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат:

>int((5*x-3)/(x^2-10*x+21)^3,x=10..22); evalf(%);

Проміжні дії:

>Int((5*x-3)/(x^2-10*x+21)^3,x=10..22);

>m:=3;

132

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20253.5 Mб0Pogorilko_V_F__red__Konstitutsiyne_pravo_Ukrayi...doc
#
01.05.20255.12 Mб0Pogorilko_V_F__red__Konstitutsiyne_pravo_Ukrayi...doc
#
17.02.201678.85 Кб9Politichna_psikhologiya_37_grupa__1.doc
#
17.02.20161.9 Mб80Posibnik_OKG.doc
#
17.02.20161.49 Mб75Posibnik_Pascal.pdf
#
17.02.20162.5 Mб30Posibnuk.pdf
#
09.11.20181.46 Mб3Posibnyk_Technology_10_5-6.doc
#
30.11.2018114.18 Кб12Praktichne_zanyattya.doc
#
14.11.2019285.18 Кб4praktichni_-_MODUL_3 (1).doc
#
17.02.2016306.69 Кб24praktichni_-_MODUL_3.doc
#
17.02.201623.63 Кб9praktichni_TsZ.docx