1.2.3. Кiнематика криволiнiйного руху

• Тангенціальне прискорення визначає зміну швидкості за модулем:

• = (Δ_τ/Δt)= d_τ/dt,

де Δυ_τ − зміна швидкості за модулем.

• Нормальне або доцентрове прискореннявизначає зміну швидкості за напрямком:

a_n = (Δ_n/Δt)= d_n/dt,

де Δυ_n–зміна швидкості за напрямком.

• Абсолютне значення цих прискорень:

a_τ = dυ_τ/dt, a_n = υ²/R, а = √( a_τ² + a_n²),

де R–радіус кривизни в даній точці траєкторії.

Задачi

56. Рух матерiальної точки задано рiвнянням (t)=(10-5t²)+10t. Знайти вирази (t) та (t) при t=2 c. [11,2 м/с; 10 м/с²].

57. Рух точки кривою задано рiвняннями х=t³ та y=2t. Записати рiвняння траєкторiї точки, знайти її швидкiсть та повне прискорення у момент часу t=0,5 с. [; 3,2 м/с; 6 м/с²].

58. Визначити повне прискорення точки на дiлянцi кривої з радiусом кривизни 3 м, якщо на цiй дiлянцi швидкiсть її дорівнює 2 м/с, а тангенцiальне прискорення – 0,5 м/с². [1,3 м/с²].

59. Колом радiуса 8 м рухається точка. У деякий момент часу її нормальне прискорення рiвне 4,9 м/с², при цьому вектори повного і нормального прискорень утворюють кут 60°. Знайти лінійну та кутову швидкості й тангенцiальне прискорення точки в даний момент часу. [6,3 м/с; 0,8 рад/с; 14,4 м/с²].

60. Точка починає рiвноприскорений рух iз стану спокою та обертається у площинi ху за годинниковою стрiлкою. Центр кола міститься у початку системи координат. При t=0 точка має координати х=0; y=2 (м). При t=2 c координати точки стають х=2; у=0 (м), а швидкiсть її складає 14 м/с. Знайти кутову швидкiсть, тангенцiальне та нормальне прискорення. [7 рад/с; 7 м/с²; 98 м/с²].

61. Точка рухається колом радiуса 10 м за законом r=–t² +20t+1. Знайти повне прискорення точки в момент часу t=5 с. [10,2 м/с²].

62. Штучний супутник вивели на колову орбiту висотою 200 км вiд поверхнi Землi. Прискорення вiльного падiння на цiй висотi складає 9,2 м/с². Знайти швидкiсть супутника та перiод його обертання. [7,8 км/с; 1,5 год].

63. Мiсяць обертається навколо Землi орбiтою, близькою до колової, радiусом 385 000 км, перiод обертання складає 27,3 доби. Знайти величину прискорення Мiсяця при руховi навколо Землi. [35,4 км/год²].

64. Визначити середню лiнiйну та кутову швидкостi штучного спутника Землi, якщо перiод його обертання складає 106 хв., середня висота польоту – 1200 км. [35,4 км/год²].

65. У скільки разів кутова швидкість хвилинної стрілки годинника більша від добового обертання Землі? [у 24 рази].

66. Знайдіть лінійну швидкість обертання точок земної поверхні на широті Києва (φ=51^о). [293 м/с].

67. Автомобіль в’їзджає на ділянку дороги із закругленням радіусом 1 км з початковою швидкістю 15 м/с та проїзджає шлях 600 м за 30 с. Знайдіть швидкість та прискорення в кінці цього шляху. [25 м/с; 0,7 м/с²].

68. Швидкість точок робочої поверхні шліфувального диску не повинна перевищувати 100 м/с. Знайдіть граничну частоту обертання диска діаметром 40 см та визначте нормальне прискорення точок круга, найбільш віддалених від осі обертання. [80 с^–1; 5·10⁴ м/с].

69. Шків радіусом 50 см приводять в обертальний рух з допомогою шнура, намотаного на шків. Кінець шнура тягнуть з прискоренням 0,1 м/с². Знайдіть прискорення нижньої точки шківа через 2 с після початку обертання. [0,13 м/с²].

70. З якою швидкістю повинен рухатись літак на екваторі зі сходу на захід, щоб пасажирам літака здавалось, що Сонце на небі залишається нерухомим? [1675 км/год].

1.2.4. Рух тiл у полi тяжiння

• Прискорення тіл, які перебувають під дією лише сили тяжіння, напрямлений вертикально вниз тадля розв’язку задач і може прийматись g= 9,8 м/с².

• Основні кінематичні рівняння у цьому випадку набувають вигляду:

А) при русі вертикально вниз

υ_у = υ_o + gt; y = y_o + υ_ot +;

Б) при русі вертикально вгору

υ_у = υ_o – gt; y = y_o + υ_ot –.

• Рух тіла, кинутого під кутомдо горизонту, описують такими величинами:

а) закон руху взовж горизонтальної осі

x = υ_oxt; де υ_ox= υ_o cos =const,

де υ_ox –проекція вектора початкової швидкості на вісьох;

–кут, що утворює вектор початкової швидкості з віссю х.

б) закон руху вздовж вертикальної осі

y = υ_oyt – ; υ_oy= υ_o sin .

Задачi

71. М’яч кидають вертикально вгору з початковою швидкiстю 15 м/с. Якої висоти досягне м’яч та скiльки часу вiн пробуде в повiтрi? [11,5 м; 1,5 с].

72. Гелiкоптер злiтає вертикально вгору зi швидкiстю 8 м/с; на висоту 120 м iз його вiкна викидають вантаж. Через який час вантаж впаде на землю? [5,8 с].

73. З даху високого будинку вертикально вниз кинули спочатку один камiнь (υ_о=0), а через 1 с – другий. На якiй вiдстанi перебуватимуть каменi один вiд одного, коли швидкiсть другого досягне значення 24,5 м/с? [29,4 м].

74. Камiнь падає з висоти 490 м. Який шлях пройде камiнь за останню секунду свого падiння? [93 м].

75. З якої висоти упало тiло, якщо останнiй метр свого шляху воно пройшло за 0,1 с? [5,6 м].

76. Вертикально вгору з початковою швидкiстю 20 м/с кинуто камiнь. Через 1 с пiсля цього кинуто другий камiнь з такою ж швидкiстю. На якiй висотi зустрiнуться каменi? [19,2 м].

77. З якою початковою швидкiстю вертикально вгору кинули м’яч, якщо на висотi 10 м вiн був двiчi з iнтервалом часу 1,3 с? [15,3 м/с].

78. З балкона будинку в горизонтальному напрямку кинули м’яч. Через 2 с вiн упав на землю на вiдстанi 40 м вiд будинку. Визначити початкову та кiнцеву швидкостi м’яча. [20 м/с; 28 м/с].

79. Лiтак летить зi швидкiстю 540 км/год на висотi 3,6 км та повинен скинути вантаж у цiль. За який час до проходження над цiллю та на якiй вiдстанi вiд неї необхiдно скинути вантаж? [27 с; 4050 м].

80. Камiнь кинуто з вишки в горизонтальному напрямку з початковою швидкiстю 30 м/с. Визначити швидкiсть, тангенцiальне та нормальне прискорення каменя у кiнцi другої секунди пiсля початку руху. [35,8 м/с; 5,4 м/с²; 8,2 м/с²].

81. Снаряд випущено пiд кутом 45° до горизонту з початковою швидкiстю 500 м/с. Яка дальнiсть польоту та максимальна висота пiдняття снаряда? [25,2 км; 6,25 км].

82. Спортсмен штовхає ядро з початковою швидкiстю 14 м/с пiд кутом 45° до горизонту. На якій відстані ядро впаде на землю, якщо воно вiдривається вiд руки спортсмена на висотi 2,2 м. [21,6 м].

83. Під яким кутом необхідно кидати м’яч у спортивному залі висотою 10 м з початковою швидкістю 20 м/с, щоб він не вдарився об стелю. Якою буде дальність польоту м’яча? [<30^o; 17 м].

84. Снаряд вилетiв зі ствола гармати пiд кутом 45° до горизонту й двiчi був на однiй i тiй же висотi через 10 та 60 с пiсля вильоту. Визначити початкову швидкiсть снаряда та максимальну висоту пiдняття. [490 м/с; 6 км].

85. Кулька падає з висоти 3 м вертикально на похилу площину з кутом нахилу до горизонту 30° та пружно вiдскакує. На якiй вiдстанi вiд мiсця падiння вона знову удариться об площину? [12 м].