1.12. Коливання та хвилi. Динамiка гармонiчних коливань

• Рівняння гармонічних коливань:

x = A cos (ωt+φ),

де x – зміщення точки від положення рівноваги, A – амплітуда, ω – циклічна частота, t – час, φ – фаза коливань.

• Швидкістьточки при гармонічному коливанні:

• Прискоренняточки при гармонічному коливанні:

• Рівняння гармонічного осцилятора:

,

де m – маса матеріальної частинки, k – коефіцієнт квазіпружної сили.

• Повна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання:

.

• Період коливань математичного маятника:

.

• Період коливань пружинного маятника:

,

де k – жорсткість пружини.

• Період коливань фізичного маятника:

,

де L – зведена довжина фізичного маятника, d – відстань центра маси від точки підвісу маятника, J – момент інерції тіла відносно осі коливання.

• Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній дротині:

.

• Рівняння згасаючих (затухаючих) коливань:

,

де β=r/(2m) – коефіцієнт згасання.

• Циклічна частота згасаючих коливань:

,

де – власна циклічна частота коливань.

• Залежність амплітуди згасаючих коливань від часу

,

де А_о – амплітуда коливань у момент часу t=0.

• Логарифмічний декремент згасання:

,

де A(t) й A(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань з різницею у часі на період.

Задачi

381. До пружини пiдвiсили вантаж, внаслiдок чого вона розтяглась на 9,8 см. Яким буде перiод коливань такого маятника, якщо його вивести із стану рiвноваги? [0,63 с].

382. Математичний маятник довжиною 1,5 м встановлено в лiфтi, який пiднiмається з прискоренням 2 м/с². Визначити перiод коливань маятника. Як змiниться перiод коливань, якщо лiфт буде опускатись з таким же прискоренням? [2,3 с; збільшиться у 1,2 рази].

383. Період коливань математичного маятника на Землі дорівнює 2 с. Знайдіть період коливань цього маятника на поверхні Місяця, якщо маса Землі більша у 81 раз, а радіус – у 3,7 рази ніж Місяця. [4,9 с].

384. Маятник довжиною 50 см коливається в кабіні літака. Яким буде його період коливань, якщо: а) літак рухається рівномірно? б) якщо він рухається горизонтально з прискоренням 2,5 м/с²? в) якщо він спускається вниз під кутом 15^о до горизонту? [1,42 с; 1,41 с; 1,44 с].

385. Вiзок, на якому закрiплений маятник з перiодом коливань 1 с, скочується похилою площиною, а потiм їде горизонтальною дiлянкою шляху. Похила площина утворює кут 45° з горизонталлю. Яким буде перiод коливань маятника, коли: а) вiзок скочується похилою площиною; б) їде горизонтальною дiлянкою шляху? Тертя не враховувати. [1,2 с; 1 с].

386. Однорідний стрижень довжиною 1 м виконує коливання у вертикальній площині навколо горизонтальної осі, що проходить через верхній кінець стрижня. Який період цих коливань? Знайдіть період коливань даного стрижня, якщо вісь обертання проходить на 1 см нижче верхнього кінця. [1,2 с; 1,1 с].

387. На кiнцях тонкого стержня довжиною 50 см закрiпленi однаковi вантажi по одному на кожному кiнцi. Стержень з вантажами коливається навколо горизонтальної осi, яка проходить через точку, вiддалену на 20 см вiд одного з кiнцiв стержня. Визначити зведену довжину та перiод коливань такого фiзичного маятника. Масою стержня знехтувати. [1,3 м; 2,3 с].

388. Фiзичний маятник являє собою тонкий однорiдний стержень довжиною 1 м та масою 1 кг. На одному з кiнцiв стержня закрiплена кулька масою 0,5 кг. Маятник виконує коливання навколо горизонтальної осi, яка проходить через той кiнець стержня, де кульки немає. Визначити перiод коливань такого маятника. [1,8 с].

389. На кінцях вертикального стрижня закріплено дві кульки різної маси. Центр маси цієї системи перебуває нижче середини стрижня на 5 см. Знайдіть довжину стрижня, якщо відомо, що період коливань такого маятника відносно горизонтальної осі, що проходить через середину стрижня дорівнює 2 с. Масою стрижня порівняно з масою кульок знехтуйте. [0,45 м].

390. Тонкий обруч, пiдвiшений на гвiздок, вбитий у стiну, коливається у площинi, паралельнiй до стiни. Обчислити перiод коливань такого маятника, якщо радiус обруча 50 см. [1,4 с].

391. Фiзичний маятник являє собою стрижень довжиною 1 м та масою 6 кг iз закрiпленим до одного з кiнцiв обручем дiаметром 50 см та масою 2 кг. Горизонтальна вiсь маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього. Визначити перiод коливань маятника. [2,1 с].

392. Однорідна кулька підвішена на нитці довжиною, що рівна радіусу кульки. У скільки разів період коливань такого фізичного маятника відрізняється від періоду коливань математичного маятника такої ж довжини підвісу? [у 1,05 разів більший].

393. М’яч радіуса 15 см та масою 400 г при ударі об стінку деформується (рис.1.40). При цьому деформація м’яча x<<R. Вважаючи надлишковий тиск повітря в м’ячеві ∆р= 0,5 МПа сталим та нехтуючи пружністю оболонки м’яча, знайдіть час удару м’яча об стінку. [2,9∙10^–3 с].

394. На рис. 1.41 показана рівновага математичного маятника довжиною підвісу 1 м з додатковою горизонтальною пружиною жорсткістю 10 Н/м. Знайдіть період коливань такої системи, якщо маса тіла т= 100 г. [0,6 с].

395. Знайдіть період коливань рідини в U-подібній трубці постійного перерізу (рис.1.42), якщо висота рідини в ній Н = 50 см. (h – коливання висоти рідини). [1,4 с].

396. Амплітуда згасаючих коливань маятника за 5 хв зменшилась у двічі. За який час, рахуючи від початкового моменту, амплітуда зменшиться у 8 разів? [15 хв].

397. Логарифмічний декремент згасання коливань маятника дорівнює 0,003. Знайдіть кількість повних коливань, які повинен виконати маятник, щоб його амплітуда зменшилась у три рази. [366].

398. Визначити логарифмічний декремент коливальної системи, для якої резонанс спостерігається при частоті менше власної v = 10 кГц на ∆v = 10 Гц. [0,2].

399. Тiло масою 5 кг виконує згасаючі коливання та за 50 с тiло втратило 60% своєї енергiї. Визначити коефiцiєнт опору. [9,16∙10^–2 кг/с].

400. Пружинний маятник жорсткiстю пружини 10 Н/м та масою вантажу 100 г виконує вимушенi коливання у в’язкому середовищi з коефiцiєнтом опору 2∙10^–2 кг/с. Визначити коефiцiєнт згасання та резонансну амплiтуду, якщо амплiтудне значення змушувальної сили 10 мН. [0,1 с^–1; 0,05 м].

401. Поперечна хвиля поширюється вздовж пружного шнура зi швидкiстю 10 м/с. Перiод коливань точок шнура дорiвнює 0,8 с, амплiтуда 2 м. Визначити довжину хвилi, фазу коливань, змiщення, швидкiсть та прискорення точки, яка міститься на вiдстанi 10 м вiд джерела хвиль у момент часу t = 3 c. [8 м; 15,7 рад; –2 м; 0 м/с; 98,6 м/с].

402. Поперечна хвиля поширюється вздовж пружного шнура зi швидкiстю 6 м/с. Перiод коливань точок шнура дорiвнює 1,2 с, амплiтуда – 0,5 м. Визначити довжину хвилi, фазу коливань, змiщення, швидкiсть та прискорення точки, яка міститься на вiдстанi 2 м вiд джерела хвиль в момент часу t =5 c. [7,2 м; 22,7 рад; 0,22 м; 2,4 м/с; 6 м/с²].

403. На вiдстанi 5 м вiд джерела плоскої хвилi частотою 500 Гц перпендикулярно до її променя розташована стiна. Визначити вiдстань вiд джерела хвиль до точок, у яких будуть два першi вузли та дві пучностi стоячої хвилi, яка виникає внаслiдок складання бiжучої та вiдбитої вiд стiни хвиль. Швидкiсть хвилi 300 м/с. [min: 5 м; 4,7 м; max: 4,85 м; 4,55 м].

404. Двi точки розміщені на вiдстанi 1 м на прямiй, вздовж якої поширюється хвиля зi швидкiстю 20 м/с. Перiод коливань дорiвнює 0,1 с. Знайти рiзницю фаз коливань у цих точках. [1,3 рад].

405. Різниця фаз коливань двох точок середовища, які містяться на відстані 20 см, рівна π/4. Знайдіть швидкість хвилі, якщо частота коливань 50 Гц. [80 м/с].