1.7. Основне рiвняння динамiки обертального руху. Закон збереження моменту iмпульсу

• Момент імпульсуматеріальної точки й твердого тіла відносно нерухомої осі:

;;

• Закон збереження моменту імпульсу системи

;

• Момент сили відносно точки:

.

• Основне рівняння динаміки обертального руху:

.

• Робота зовнішніх силпри повороті твердого тіла на кут:

.

• Миттєва потужність при обертанні тіла:

N = M∙ω.

• Кінетична енергія тіла, що обертається:

Задачi

256. Вал у виглядi суцiльного цилiндра масою 5 кг насаджений на горизонтальну вiсь. На цилiндр намотано шнур, до якого пiдвiшено вантаж масою 1 кг. Не враховуючи тертя в опорi, визначити прискорення, з яким буде опускатись вантаж, якщо його не утримувати. [2,8 м/с²].

257. Через блок у виглядi однорiдного диска деякого радiуса, що має масу 100 г, перекинута невагома нитка, до кiнцiв якої пiдвiшено вантажi масами 100 та 300 г. З яким прискоренням будуть рухатись вантажi, якщо тертя в опорі та мiж ниткою i блоком не враховувати? [4,4 м/с²].

258. На горизонтальну вiсь насаджено маховик та легкий шкiв радiусом 5 см. На шкiв намотали шнур, до кiнця якого прив’язали вантаж масою 0,5 кг. Вантаж, опускаючись рiвноприскорено, пройшов шлях 1,8 м за 3 с. Визначити момент iнерцiї маховика. [0,03 кг∙м²].

259. На горизонтальному столі лежить тіло масою 0,8 кг, яке рухається столом з коефіцієнтом тертя 0,1. До тіла прив’язана невагома нерозтяжна нитка, перекинута через блок масою 1 кг, до іншого кінця якої підвішено інший вантаж масою 0,5 кг, який звішується зі столу. Вважаючи, що блок є однорідним суцільним циліндром, знайти прискорення тіл та силу натягу нитки по обидва боки від блоку. [2,3 м/с²; 2,6 Н; 3,8 Н].

260. На горизонтальному столі лежать два тіла масами 1 кг та 0,5 кг, які можуть ковзати без тертя. Тіла зв’язані невагомою нерозтяжною ниткою. До легшого тіла прив’язана така ж нитка, перекинута через блок, до іншого кінця якої прив’язано вантаж масою 0,3 кг. Блок є тонким кільцем масою 0,2 кг. Вважаючи, що блок обертається без тертя, знайти прискорення тіл, натяг нитки, що зв’язує тіла на столі, натяг нитки на ділянці від тіла до блоку та натяг нитки на ділянці від блоку до вантажу. [1,5 м/с²; 1.5 Н; 2,3 Н; 2,5 Н].

261. Куля радіусом 10 см та масою 5 кг обертається навколо осі симетрії згідно закону . Визначте момент сил, що діє на кулю в момент часуt= 5 с. [0,14 Н∙м].

262. Маховик обертається за законом =A + Bt + Ct², де A=2 рад; В=16 рад/с; С= –2 рад/с². Момент iнерцiї колеса дорiвнює 10 кг∙м². Знайти закон, за яким змiюється потужнiсть. Розрахувати миттєву потужнiсть для моменту часу t=3 с. [; 40 Вт].

263. Маховик, насажений на електродвигун обертається з часттою 1800 об/хв. Після вимкнення електродвигуна, він почав обертатись рівносповільнено і зробивши 20 обертів, зупинився. Знайдіть момент сил гальмування якщо робота сил гальмування дорівнює 40 Дж. Чому дорівнює момент інерції маховика з ротором електродвигуна? [0,32 Н∙м; 2,3 кг∙м²].

264. Вал масою 100 кг та радiусом 50 см обертався з частотою 8 с⁻¹. До цилiндричної поверхнi вала притиснули гальмiвну колодку із силою 50 Н, пiд дiєю якої вал зупинився через 200 с. Визначити коефiцiєнт тертя. [0,13].

265. Колесо, обертаючись рівносповільнено, зменшило частоту обертання від 240 об/хв до 90 об/хв за 1,5 хв. Момент інерції колеса дорівнює 1,8 кг∙м². Знайдіть момент сил гальмування, кутове прискорення та кількість обертів, що здійснило колесо за час гальмування. [18,9 Н∙м; 10,5 рад/с²; 4 об.].

266. За який час тонке однорідне кільце радіусом 20 см без ковзання скотиться з похилої площини довжиною 2 м та висотою 20 см? [2,9 с].

267. Неоднорідний циліндр радіусом 20 см та масою 30 кг скочується похилою площиною з кутом нахилу 20^о та довжиною схилу 5 м. Знайдіть момент інерції циліндра, якщо його швидкість в кінці спуску дорівнює 4 м/с. [1,3 кг∙м² ].

268. Куля скочується без ковзання похилою площиною, що утворює кут 30^о з горизонтом. Нехтуючи тертям, знайдіть час руху кулі, якщо відомо, що її центр мас при цьому понизився на 20 см. [0,5 с].

269. Однорідний стержень довжиною 1 м підвішено за верхній кінець. Яку швидкість слід надати нижньому кінцю стержня, щоб він виконав повний оберт навколо осі обертання? [7,7 м/с].

270. Тонкий однорідний стержень висотою 50 см поставили вертикально на стіл. Яку швидкість матиме при падінні на стіл середина та верхній кінець стержня? [1,9 м/с; 3,9 м/с].

271. Тонкий прямий стержень довжиною 1 м закрiпили до горизонтальної осi, яка проходить через один з кiнцiв. Стержень вiдхили на кут 60° вiд положення рiвноваги та вiдпустили. Визначити лiнiйну швидкiсть нижнього кiнця стержня у момент проходження через положення рiвноваги. [3,8 м/с].

272. Людина стоїть на лавi Жуковського та ловить рукою м’яч масою 0,2 кг, який летить у горизонтальному напрямку зi швидкiстю 20 м/с. Траєкторiя м’яча проходить на вiдстанi 0,8 м вiд вертикальної осi обертання. З якою кутовою швидкiстю почне обертатись лава з людиною, яка пiймала м’яч, якщо сумарний момент iнерцiй лави та людини складає 8 кг∙м². [0,4 рад/с].

273. На лавi Жуковського обертається з частотою 1 с^-1 людина, яка тримає у руках стержень довжиною 2 м та масою 8 кг, розташований вертикально взовж осi обертання лави. Як змiниться частота обертання лави, якщо людина поверне стержень у горизонтальне положення? Сумарний момент iнерцiї людини та лави 8 кг∙м². [0,75 рад/с].

274. Платформа у виглядi диска радiусом 2 м та масою 200 кг обертається за iнерцiєю з частотою 2 с⁻¹.У центрi платформи стоїть людина масою 80 кг. Яку лiнiйну швидкiсть буде мати людина вiдносно пiдлоги примiщення, якщо вона перейде на край платформи? [2,2 м/с].

275. На краю горизонтальної платформи у виглядi диска радiусом 2 м стоїть людина масою 60 кг. Платформа може обертатись навколо вертикальної осi, яка проходить через її центр. З якою частотою буде обертатись платформа, якщо людина йтиме по краю диска зi швидкiстю 1 м/с вiдносно платформи, а маса платформи 200 кг. [1,8 хв^–1].

276. У центрі лави Жуковського масою 100 кг, яка обертається з частотою 30 об/хв стоїть чоловік масою 80 кг. Яку роботу він повинен виконати, щоб перейти на край лави, якщо її діаметр дорівнює 2 м? [612 Дж].

277. Тонкий однорідний стрижень масою 0,5 кг та довжиною 1 м може вільно обертатись відносно осі, що проходить через точку О (рис. 1.19), яка знаходиться на відстані l/4 від верхнього кінця стрижня. У верхній кінець стрижня влучає пластилінова кулька масою 200 г, яка летить перпендикулярно стрижню зі швидкістю 5 м/с та прилипає до нього. Знайдіть початкову лінійну швидкість другого кінця стрижня. [ 2,3 м/с].

278. Свинцевий стрижень довжиною 1 м та масою 10 кг закріплено вертикально за один із кінців. В середину стрижня вдаряє куля масою 20 г, що летіла в горизонтальному напрямку зі швидкістю 500 м/с та застряє в ньому. На який кут відхилиться стрижень? Яку початкову швидкість при цьому матиме вільний кінець стрижня? [31^о; 1,5 м/с].

279. Гіроскоп обертається зі швидкістю 3000 об/хв. Під дією зовнішньої гальмівної сили він зупиняється, зробивши 6000 обертів. При цьому робота сил гальмування дорівнювала 60 Дж. Знайдіть момент інерції гіроскопа та момент гальмівних сил. [1,2∙10^–3 кг∙м²; 1,6 мН∙м].

280. Маятник Максвелла представляє собою масивний диск радіусом R та масою т, насажений на тонкий стержень радіусом r, підвішений на двох нитках, що намотуються на стержень (рис.1.20). Коли маятник відпускають, то він виконує обертально-поступальний рух у вертикальній площині. Нехтуючи силами опору та моменту інерції осі, знайдіть прискорення поступального руху маятника та силу натягу нитки. [].