1.15. Задачі з механіки на повторення

436. Вертикально вгору стартувала навчальна ракета зі швидкістю 800 м/с. Артилеристи одержали завдання влучити в ракету снарядом, швидкість якого на 15% менша, ніж ракети. Коли слід зробити постріл, якщо місце старту ракети та місце розташування гармати співпадають? [55 с].

437. Від потяга, що рухається горизонтальною ділянкою шляху, зі сталою швидкістю υ_о відчіпляється ¹/₃ маси вагонів. Через який час швидкість цих вагонів зменшиться вдвічі? Вважаючи, що сила тертя пропорційна вазі, а сила тяги стала, знайдіть швидкість головної частини потяга в той же момент часу. [].

438. На гладенькому горизонтальному столі на деякій відстані від вертикальної стіни лежить куля масою т₁. Інша куля, масою т₂ налітає з деякою швидкістю в напрямку від стіни до першої кулі та зіткається з нею. Між кулями відбувається центральний пружний удар. При якому співвідношення мас взаємодіючих куль друга куля після співудару досягне стіни і, пружно відбившись від неї, наздожене першу кулю? [т₁>3т₂].

439. З похилої площини з кутом нахилу до горизонту α зісковзує шайба, яка в кінці спуску вдаряється в перпендикулярну до площини стіну. Вважаючи удар абсолютно пружним, а коефіцієнт тертя рівним μ, знайдіть висоту, на яку підніметься шайба після удару. Початкова висота шайби – h₁. [].

440. На невагомому стержні закріплені кульки масами т та М, як показано на рис.1.44. Стержень шарнірно закріплений в точці О та обертається навколо осі ОО^/ зі сталою кутовою швидкістю ω. Який кут з вертикаллю β описує стержень?[].

441. В однорідній круглій пластині радіусом R на відстані R/2 від центра вирізано квадратний отвір зі стороною а=R/2. Знайдіть центр маси цієї пластинки [].

442. Супутник обертається навколо Землі коловою орбітою радіусом r. У якій пропорції надана йому при запуску енергія розділилась між потенціальною та кінетичною, якщо радіус Землі R? [].

443. На нерухомій осі без тертя обертається важке колесо радіусом R, вся маса М якого зосереджена в ободі (рис.1.45). З колесом жорстко зв’язаний шків радіуса r, на який намотана тонка нерозтяжна нитка, до кінця якої прив’язано вантаж масою т. Яку швидкість матиме вантаж після того як він пройде відстань Н, якщо початково він не рухався? [].

444. Тонка однорідна палична шарнірно закріплена за верхній кінець. Нижня частина палички занурена у рідину з густиною ρ_о, причому рівновага досягається, коли паличка розмішується похило до поверхні рідини, а у рідині перебуває половина її довжини. Яка густина матеріалу палички? [].

445. Порожниста куля відлита із металу густиною ρ₁ плаває на поверхні рідини з густиною ρ₂ так, що занурою є рівно половина її об’єму. Знадіть об’єм внутрішньої порожнини кулі, якщо її маса т. [].

446. Скільки часу необхідно, щоб наповнити водою посудину об’ємом V з водопровідного крана, якщо площа вихідного отвору крана S, а його висота над підлогою – h₂? Рівень води у водонапірній башті підтримується сталим – висотою h₁. [].

447. Тонкий обруч радіусом r без проковзування скочується в яму, що має форму півсфери R (R>>r). На якій глибині ями тиск обруча на стінку ями буде дорівнювати його вазі? [].

448. На прямій, що перпендикулярна до площини тонкого однорідного кільця маси M і радіусу R і проходить через його центр, на відстані x від центру знаходиться частинка масою m. Знайдіть силу, що діє на частинку з боку кільця та взаємну потенціальну енергію частинки і кільця. [].

449. У кабіні літака підвішений маятник. Коли літак летить без прискорення, маятник виконує коливання з частотою ω₀. Якою буде частота ω коливань маятника, якщо літак летить з прискоренням а, напрям якого утворює з напрямом вниз по вертикалі кут α? [].

450. При якій швидкості частинки υ її кінетична енергія буде дорівнювати енергії спокою? [0,87с].

Д О Д А Т К И

Додаток 1. Фундаментальні фізичні сталі

Назва величини	Позначення			Значення величини
Універсальні сталі
Швидкість світла у вакуумі	с		299 692 458 мс−1
Магнітна стала	0		4·10−7 Гн/м = 12,566 370 614 10−7 Гн/м
Електрична стала	0		8,854 187 817 10−12 Фм−1
Гравітаційна стала	G		(6,672 59  0,000 85)10−11 м3кг−1с−2
Стала Планка	h		(6,626 0755  0,000 0040)10−34 Джс
Стала Дірака			(1,054 572 66 0,000 000 63)10−34 Джс
Електромагнітні сталі
Елементарний заряд	е		(1,602 177 33  0, 000 000 49)10−19 Кл
Магнетон Бора	В		(9,274 0154  0, 000 0031)10−24 ДжТл−1
Ядерний магнетон			(5,050 7866  0,000 0017)10−27 ДжТл−)1
Атомні сталі
Стала Рідберга	R∞		10 973 731,534  0,013 м−1
Борівський радіус	a0		(0,529 177 249  0,000 000 024)10−10 м
Атомна одиниця маси	а.о.м.		1,66∙10−27 кг
Електрон
Маса  cпокою електрона	me			(9,109 3897  0,000 0054)10−31 кг
Відношення заряду електрона до його маси	e/m			(-1,758 819 62  0,000 000 53)1011 Клкг-1
Класичний радіус електрона	re			(2,817 940 92  0,000 000 38)10−15 м
Магнітний момент електрона	e			(928,477 01  0,000 31)10−26 ДжТл−1
Протон
Маса спокою протона	mp			(1,672 6231  0,000 0010)10-27 кг
Нейтрон
Маса спокою нейтрона	mn			(1,674 9286  0,000 0010)10−27 кг
Фізико-хімічні сталі
Стала Авогадро		NA			(6,022 1367  0,000 0036)∙1023 моль−1
Стала Фарадея		F			96 485,309  0,029 Клмоль-1
Універсальна (молярна) газова стала		R			8,314 510  0,000 070 Джмоль−1К−1
Стала Больцмана		k			(1,380 658  0,000 012)10−23 ДжК−1
Молярний об’єм ідеального газу за нормальних умов (Т=273,15 К, =101325 Па)		Vm			(22,414 10  0,000 19)10−3 м3/моль
Стала Стефана-Больцмана					(5,670 51  0,000 19)10−8 Втм−2К−4
Стала у законі зміщення Віна		b			(2,897 756  0,000 024)10−3 мК

Додаток 2. Деякі характеристики Сонця, Землі, Місяця

Фізичні параметри	Сонце	Земля	Місяць
Маса, кг	1,97·1030	5,96·1024	7,33·1022
Радіус, м	6,95·108	6,37·106	1,74·106
Середня густина, кг/м3	1,4·103	5,5·103	3,4·103
Середня відстань від Землі, м	1,5·1011		3,8·108

Додаток 3. Густина речовин ρ, кг/м³

Гази при нормальних умовах (Т_о = 273,15 К; р_о = 1,01∙10⁵ Па)

Азот	1,250	Кисень	1,43
Водень	0,09	Метан	0,72
Вуглекислий газ	1,98	Неон	0,90
Гелій	0,18	Повітря	1,29

Рідини при +20 ^оС

Бензол	879	Скипидар	858
Вода ( t =+4 °С)	1000	Спирт етиловий	789
Вода (t = 100 oС)	958	Спирт метиловий	792
Гас	800	Толуол	870
Гліцерин	1260	Ртуть	13596

Тверді тіла при +20 ^оС (∙10³, кг/м³)

Алюміній	2,7	Олово	7,2
Залізо	7,8	Сталь лита	7,8
Латунь	8,3	Свинець	11,3
Лід (0 °С)	0,91	Срібло	10,5
Мідь	8,9	Цинк	6,9
Нікель	8,6	Чавун	7,3
Літій	0,54	Вольфрам	19,0

Додаток 10. Пружні властивості твердих тіл

(Е − модуль Юнга (модуль поздовжньої пружності), Па; G − модуль зсуву, Па; μ − число Пуассона; σ_м − межа міцності, Па)

Матеріал	Е∙1010	G∙1010	μ	σм∙108
Алюміній	6,1−7,4	2,2−2,6	0,33	0,98−3.90
Залізо коване	20−22	6,9−8,3	0,28	3,90−5,90
Сталь	20−22	7,8−8,1	0,28	4,9−15,7
Чавун	7,4−17,6	4,9	0,23−0,27	1,17−1,27
Латунь	7,8−9,8	2,6−3,6	0,3−0,4	0,98−1,27
Мідь	1,0−13	3,8−4,7	0,31−0,40	1,56—4,41
Свинець	1,5−1,7	0,54	0,44	0,0196
Гетинакс	1,0−1,7
Текстоліт	0,14−0,28

Додаток 15. Формули інтегрування

Додаток 16. Деякі сталі числа й наближені формули

Сталі числа	Наближені формули (при х < 1)
= 3,1416	(1 ± х)n ≈ 1, де 1 ± пх
2= 9,8696	ех ≈ 1 + х
= 1,7725	ln (1 + х) ≈ х
е = 2,7183	sin х ≈ х
lg е = 0,4343	cos х ≈ 1−х2/2
ln 10 = 2,3026	tg х ≈ х