1. Механіка

1.1. Фізичні величини та їх вимірювання

• Фізична величина – це властивість, в якісному відношенні загальна для багатьох фізичних об’єктів (фізичних систем, їхніх станів і процесів, що в них відбуваються), але в кількісному відношенні індивідуальна для кожного об’єкта.

• Значенням фізичної величини називається оцінка фізичної величини за допомогою деякого числа прийнятих для неї одиниць.

• Одиниця фізичної величини – це фізична величина, якій за означенням надано числове значення, що дорівнює одиниці.

• Абстрактне число, яке виражає відношення, значення величини до відповідної одиниці цієї фізичної величини, називають числовим значенням величини.

• Істинне значення фізичної величини – це значення величини, яке ідеальним чином відображає в якісному та кількісному відношеннях відповідну властивість об’єкта.

• Дійсне значення фізичної величини – значення величини, яке знайдене експериментально і настільки наближається до істинного значення, що для даної цілі може бути використаним замість нього.

• Знаходження значень фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів називають вимірюванням. Пряме вимірювання – вимірювання, при якому шукане значення величини знаходиться безпосередньо з дослідних даних. Непряме (посереднє) вимірювання – вимірювання, при якому шукане значення величини знаходять на основі відомої залежності між цією величиною і величинами, які піддаються прямим вимірюванням.

• Похибка вимірювання – відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної величини. Точність вимірюваннявизначається близькістю його результату до істинного значення вимірюваної величини.

• Абсолютна похибка вимірювання – похибка вимірювання, виражена в одиницях вимірюваної величини: x= x_i–X, деX– істинне значення вимірюваної величини; x_i– значення, здобуте у ході одного з вимірювань.

• Відносна похибка – це відношення абсолютної похибки вимірювання до істинного значення вимірюваної величини: .

• Відносну похибкунепрямого вимірюванняпотрібно обраховувати в такій послідовності:

• а) прологарифмувати розрахункову формулу;

• б) знайти від логарифма повний диференціал;

• в) якщо похибка окремих вимірювань входить в результат диференціювання декілька разів, то потрібно згрупувати всі члени, що містять однаковий диференціал і вирази в дужках, які стоять під диференціалом, взяти за модулем; знак dзамінити на; знаки вибирають таким чином, щоб абсолютна величина відносної похибки була максимальною.

• Значущими цифрами наближеного числаaназиватимемо всі його правильні цифри, починаючи з першої зліва, що не дорівнює нулю, до першої сумнівної цифри включно. Усі інші цифри називатимемонезначущими. Записуючи остаточні результати наближених обчислень, незначущі цифри числа відкидатимемо. При цьому кожне число записуватимемо як добуток деякого степеня числа 10 на число, всі цифри якого значущі. Якщо з наближеними числами виконуватимуться обчислення, то в них, крім значущих, треба зберігати ще одну або дві сумнівні цифри.

• При виконанні обчислень часто виникає потребаокруглювати числа. Якщо округлюється наближене чи точне числоaдоnзначущих цифр, то за правилом доповнення числоa замінюють числомa₁зпзначущими цифрами так, щоб похибка округлення не перевищувала половини одиниці розряду, що зберігається, тобто щоб справджувалась умова .

• Якщо додатне наближене число хмаєпправильних значущих цифр, тойого гранична відносна похибкаЕзадовольняє співвідношення: Е≤, де α₁ – перша значуща цифра наближеного числа х.

1. Задачі

1. Знайти добуток наближених чисел 2,67 і 53,2; 134,8 і 23,46; 124,45 і 12,445 виконавши неохідні округлення. Розрахувати похибки. [142,0±0,4; 0,3%; 3162,0±1,8; 0,06%; 1548,8±0,1; 0,008%].

2. Обрахувати значення виразу , виконавши необхідні округлення. Встановити похибки обчислень.[0,67±0,01; 1,7%].

3. Визначити, яка рівність точніша: а₁= або а₂ =

? [ ].

4. Округлюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну і відносну (у відсотках) похибки отриманих наближень: а) 2,12426; б) 1,01015; в) 0,01245; г) 21,0505. [2,12±0,00426; 0,2%; 1,01±0,00015; 1,5·10^–2%; 0,0125±0,00005; 0,4%; 21,1±0,0495; 0,2% ].

5. Визначити абсолютну похибку наступних наближених чисел за їх відносною похибкою: а)x = 12,512; Е= 0,7%; б) x=0,98; Е= 10%; в) х= 406,712; Е= 1%; г) x = 199,01; Е=0,05%. [0,088; 0,10; 4,067; 0,10].

6. Якою буде гранична відносна похибка, якщо замість числа взяти 1,41? [1% ].

7. Виміряне значення опору R = 100,0 Ом. Гранична відносна похибка вимірювання Е = 1,0%. Знайдіть інтервал, в якому знаходиться істинне значення опору. [99,0 Ом ≤ R_i ≤ 101,0 Ом].

8. Знайти значення чисел татак, щоб їхгранична відносна похибка не перевищувала 0,1%. [п≥3,15, т.б. ; п≥3,3, т.б. ].

9. Обчислити значення функції y=1,05 – sin x для наступних значень аргументу: а) х = 10^о; 2) x =70^о45^/. Підрахувати абсолютну та відносну похибки результату. [ 0,876±0,007; 0,76%; 0,106±0,001; 0,53%].

10. Обчислити значення функції y=0,25 + cos x для наступних значень аргументу: а) х = 10^о20^/; 2) x =70^о. Підрахувати абсолютну та відносну похибки результату. [1,23±0,025; 2,02%; 0,59±0,012; 2% ].

11. Довжину відрізка вимірювали з домогою рулетки з ціною поділки 1 см та одержали при цьому результат – 104 см. Запишіть дійсне значення довжини відрізка та оцініть відносну похибку цього вимірювання. [ (104±0,5) см; 0,5%].

12. На терезах з ціною поділки 2 г виміряли масу тіла, одержавши при цьому значення 186 г. Запишіть дійсне значення маси тіла та оцініть відносну похибку цього вимірювання. [(186±1) г; 0,5% ].

13. У результаті вимірювання напруги джерела постійного струму за допомогою потенціометра за деякий незначний проміжок часу отримано ряд рівноточних спостережень у вольтах: 4,004; 4,002; 4,006; 4,007; 4,002. Яке дійсне значення джерела напруги та в яких межах воно перебуває? Оцініть відносну похибку вимірювання. [4,004± 0,0014 В; 0,03%].

14. Штангенциркулем з ціною поділки ноніуса 0,05 мм провели вимірювання товщини деякої пластинки та одержали такий ряд послідовних результатів: 5,15; 5,10; 5,15; 5,20; 5,70; 5,10. Проаналізуйте одержаний результат, знайдіть дійсне значення товщини пластинки та оцініть якість вимірювання. [5,14±0,03 мм; 0,06%].

15. Величина y визначається за формулою y=a(b+c)². Знайти середнє значення величини y та її абсолютну похибку, якщо b=4,110,04; c=3,000,03, а при п’ятикратному вимірюванні значення a отримано: a₁=1,02; a₂=1,01; a₃=0,97; a₄=0,99; a₅=1,03. [а=1,00± 0,02; у=50,55±6,14].

16. Величина y визначається за формулою y=(a+b)/(d–c). Знайти середнє значення величини y та її абсолютну похибку, якщо b=7,00,4; c=3,00,5; d=6,00,6, а при п'ятикратному вимірюванні значення a отримано: a₁=2,13; a₂=1,98; a₃=2,11; a₄=2,00; a₅=2,12. [а=2,07±0,06; у=3,021,26 ].

17. Час вільного падіння маленької кульки визначають експериментально з допомогою електронного секундоміра та одержують такі дані: h₁=2,0 м, t₁=0,638 с; h₂=2,5 м, t₂=0,713 с; h₃=2,8 м, t₃=0,755 с. За цими експериментальними даними знайдіть прискорення вільного падіння та оцініть абсолютну та відносну похибки. [g=(9,83 0,05) м/с²; 0,54%].

18. Для знаходження прискорення вільного падіння маленької кульки визначили експериментально з допомогою електронного секундоміра час, за який кулька пролітає одну й ту ж відстань 2,0 м та одержали такі значення часу t₁=0,635 с; t₂=0,638 с; t₃=0,633 с. За цими експериментальними даними знайдіть прискорення вільного падіння та оцініть абсолютну та відносну похибки, якщо точність секундоміра ∆t=0,001. [(9,920,28) м/с²; 2,8%].

19. Для знаходження об’єму паралелепіда (V), вирізаного із фанери використали два прилади: для вимірювання товщини (h) – мікрометр (ціна поділки ноніуса – 0,01 мм), для вимірювання ширини (а) та довжини (b) – штангенциркуль з ціною поділки ноніуса 0,1 мм. При цьому одержані результати, наведені у таблиці. Знайдіть об’єм цього паралелепіпеда. Виведіть формули для середніх абсолютної та відносної похибок вимірювання. Обчисліть їх та заповніть таблицю. Чи покращилась точність вимірювання об’єму за рахунок використання мікрометра для вимірювання товщини? Як зміниться точність вимірювання товщини, якщо скористатись штангенциркулем? [(2,350,03)∙10⁴ мм³; 1,1% ].

20. Густину конуса знаходять за формулою , визначи-вши його масу , радіус основи та висоту

за допомогою прямих вимірювань. Знайдіть формули для знаходження абсолютної та відносної похибок вимірювання густини конуса. [].