1.9.2. Сили тяжіння. Гравітаційне поле. Закони Кеплера
Закон всесвітнього тяжіння
,
F– сила взаємного притягання двох матеріальних точок; G – гравітаційна стала; m – маси взаємодіючих матеріальних точок; r – відстань між ними. G=6,67∙10–11 Н∙м2/кг2.
Прискорення вільного падіння на висоті h
/
Напруженість гравітаційного поля, створюваного планетою масою М (планета вважається сферою):
.
Потенціальна енергія взаємодії двох точок масами т1 та т2, що перебувають на відстані r:
.
Третій закон Кеплера:
.
Задачі
З допомогою ракети тіло підняли на висоту 500 км. Яке прискорення вільного падіння на цій висоті? З якою швидкістю слід кинути це тіло в напрямку, перпендикулярному до земного радіуса, щоб воно описало коло навколо Землі? Яким буде період обертання тіла навколо Землі? [8,45 м/с2; 7,6 км/с; 1,6 год].
Якої мінімальної швидкості слід надати ракеті, що знаходиться на поверхні Землі, щоб віддалити її на відстань, рівну радіусу Землі? [7,9 км/с].
Ракета, запущена вертикально вгору, піднялась на висоту 1500 км і почала падати. Який шлях ракета пройде за першу секунду падіння? [3,2 м].
Ракета, що летіла над поверхнею Землі на висоті 350 км внаслідок проблем з гальмівною системою різко зупиняється та починає падати. З якою швидкістю ракета впаде на Землю? [2,6 км/с].
Знайдіть першу та другу космічні швидкості поблизу поверхні Місяця. [1,68 км/с; 2,37 км/с].
Радіус Землі у 3,66 рази більший радіуса Місяця, а середня густина Землі більше середньої густини Місяця у 1,66 рази. Знаючи прискорення вільного падіння на поверхні Землі, знайдіть прискорення вільного падіння на поверхні Місяця. [1,61 м/с2].
Радіус метеорита 100 км, а його середня густина дорівнює 3 г/см3. Знати параболічну швидкість ракети поблизу даного метеориту. [130 м/с].
На якій відстані від центра Землі повинно знаходитись тіло, щоб сили його притягання до Землі та Місяця взаємно компенсувались? [3,4∙108 м].
Найближчий супутник Марса знаходиться на відстані 9,4∙106 м від центра планети і рухається зі швидкістю 2,1 км/с. Знайдіть масу Марса. [6,2∙1023 кг].
Період обертання комети Галлея навколо Сонця 76 років. Мінімальна відстань, на якій вона проходить від Сонця дорівнює 180 Гм. Знайдіть максимальну відстань, на яку комета віддаляється від Сонця. Радіус орбіти Землі прийняти рівним 150 Гм. [5,3∙1010 м].
Знайдіть середню густину Землі, знаючи гравітаційну сталу, радіус Землі та прискорення вільного падіння на Землі. [5,5∙103 кг/м3].
Дві однакові кульки із однакового матеріалу дотикаються одна до другої. Як зміниться потенціальна енергія їх гравітаційної взаємодії, якщо масу кульок збільшити в тричі? [35/3].
Штучний супутник Землі рухається навколо неї коловою орбітою. У скільки разів гравітаційна потенціальна енергія супутника більша його кінетичної енергії? [у 2 рази].
Знайдіть потенціал гравітаційного поля тонкого однорідного стрижня масою 10 кг та довжиною 1 м у точці, що знаходиться на одній прямій зі стрижнем на відстані 20 см від його найближчого кінця. [1,2∙109 м2/с2].
Знайдіть потенціал гравітаційного поля тонкого однорідного диска радіусом 1 м та масою 10 кг в точці, розташованій на осі диска на відстані 1 м від нього. [5,5∙1010 м2/с2].