1.6. Момент інерції. Теорема Штейнера

• Момент інерціїматеріальної точки й твердого тіла:

• J_i = m_i r²_i; J = .

• Теорема Штейнера (момент інерції тіла відносно будь-якої осі, що не проходить через центр мас тіла):

J = J_o + md²,

де J_о момент інерції тіла відносно осі, яка паралельна даній і проведена через центр мас, d – відстань між осями.

• Моменти інерції деяких однорідних твердих тіл правильної геометричної форми:

Тіло	Моменти інерції відносно різних осей
	;
	; ; При с→0 одержується прямокутна пластина
	;
	;
	;
	; при

Задачi

241. Двi кульки масами m та 2m (m = 20 г) закрiпленi на тонкому невагомому стержнi довжиною 50 см. Визначити момент iнерцiї вiдносно осi, перпендикулярної стержню і яка проходить через кiнцi стержня (у двох випадках) та відносно осі, що проходить через центр маси системи. [0,01 кг∙м²; 0,005 кг∙м²; 0,033 кг∙м²].

242. Три маленьких кульки масами 20 г кожна розташованi у вершинах рiвностороннього трикутника зi стороною 20 см та скрiпленi невагомими стержнями. Визначити а) момент iнерцiї системи вiдносно осi, яка перпендикулярна до площини трикутника і проходить через одну iз його вершин; б) відносно осі, що лежить у площині трикутника та співпадає з однією із його медіан. [3,9∙10^–4 кг∙м²; 4∙10^–4 кг∙м²].

243. Визначити момент iнерцiї тонкого однорiдного стержня довжиною 1 м і масою 1 кг вiдносно осi, перпендикулярної до стержня і яка проходить через: а) його кiнець; б) його середину. [ кг∙м²; кг∙м²].

244. Знайти момент iнерцiї тонкого однорiдного кiльця радiусом 50 см, масою 500 г вiдносно осi: а) яка перпендикулярна до площини кiльця та проходить через центр мас; б) яка лежить в площинi кiльця та проходить через центр мас. [0,125 кг∙м²; 0,063 кг∙м²].

245. Знайдіть момент інерції мідного циліндра радіусом 10 см та висотою 5 см відносно вісі циліндра. [0,07 кг∙м²].

246. Знайти момент iнерцiї плоскої однорiдної прямокутної пластини масою 1 кг вiдносно осi, яка збігається з однiєю із її сторiн, якщо довжина другої сторони дорiвнює 50 см. [0,083 кг∙м²].

247. Визначити момент iнерцiї тонкої плоскої пластини зi сторонами 10 та 40 см i масою 100 г вiдносно осi, яка проходить через центр мас пластини паралельно до меншої сторони. [1,3∙10^–3 кг∙м²].

248. Знайти момент інерції плоского рівнобедреного прямокутного трикутника зі стороною 0,2 м і масою 1 кг відносно осі, що співпадає з однією із його сторін. [ 6,7∙10^–3 кг∙м²].

249. Знайдіть момент інерції сталевої кулі радіусом 20 см відносно осі, що проходить через її центр маси. [6,3 кг∙м²].

250. Обчисліть момент інерції конуса масою 10 кг, радіусом основи 10 см відносно осі, що паралельна до осі симетрії та лежить на відстані подвійного радіуса від неї. [0,43 кг∙м²].

251. Виведіть формулу для знаходження моменту інерції пустотілого циліндру масою т, зовнішнім радіусом R та внутрішнім – r. [].

252. Молекула кисню складається із двох атомів Оксигену масою 5,3∙10^–26 кг. Момент інерції цієї молекули відносно осі, що проходить через її центр маси перпендикулярно відрізку, що з’єднує атоми дорівнює 1,9∙10^–46 кг∙м². Знайдіть відстань між атомами Оксигену. [1,2∙10^–10м ].

253. Куля масою т та радіусом R обертається навколо осі, що проходить через центр її мас. У скільки разів збільшиться момент інерції кулі, якщо вона почне обертатись відносно осі, яка паралельна до першої і розміщена на відстані 5R. [63,5 рази].

254. Куля масою 2 кг і радіусом 10 см, закріплена на кінці тонкого стержня масою 1 кг та довжиною 1 м. Вісь обертання проходить через вільний кінець стрежня перпендикулярно до нього. Знайдіть момент інерції цієї системи для двох випадків: а) коли кулю вважають матеріальною точкою, маса якої зосереджена в центрі кулі; в) коли не нехтувати розмірами кулі. [2,75 кг∙м²; 2,76 кг∙м²].

255. В однорiдному диску, що початково мав масу 2 кг та радiус 50 см вирiзано круглий отвiр радіусом 10 см, центр якого міститься на вiдстанi 20 см вiд осi диска. Знайти момент iнерцiї утвореного тiла вiдносно осi, яка перпендикулярна до площини диску та проходить через його центр. [0,25 кг∙м²].