10 Критерій сумісності системи лінійних рівнянь Необхідні і достатні умови рівності визначника нулю.

. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь

Розглянемо питання про умови сумісності системи.

Нехай задано довільну систему лінійних рівнянь:

(1)

Раніше ми встановили, що система (1) несумісна тоді і тільки тоді, коли із її рівнянь можна скласти комбінацію вигляду

де b – число відмінне від нуля.

Розглянемо дві матриці:

Перша із них складена із коефіцієнтів при невідомих в системі (1) і називається основною матрицею системи (1). Друга отримується із основної приєднанням стовпця вільних членів і називається розширеною матрицею системи (1).

Теорема 1 (Кронекера-Капеллі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці системи.

Доведення.

1. Необхідність умови. Нехай система (1) сумісна і

є довільний її розв’язок. Тоді є розв’язком рівносильного системі (1) векторного рівняння

(2)

де вектори b є векторами-стовпцями розширеної матриці.

Таким чином, справедлива рівність

(3)

яка показує, що вектор b є лінійною комбінацією векторів Розглядаючи А і В як матриці системи векторів-стовпців

А= B=

бачимо, що вони відрізняються тільки вектором b, який, згідно рівності (3), лінійно виражається через всі інші. Значить, rangA=rangB.

2) Достатність умови. Нехай rangA=rangB. Тоді базис системи векторів-стовпців матриці А є також базисом системи векторів-стовпців матриці В. Значить, вектор b лінійно виражається через вектори-стовпці , тобто існують такі скаляри , що Остання рівність означає, що вектор  є розв’язком векторного рівняння (2), а значить і розв’язком рівносильної системи (1).

Теорема доведена.

Висновок 1. Якщо rangA=rangB=n, то система (1) сумісна і має єдиний розв’язок.

Висновок 2. Якщо rangA=rangB<n, то система (1) сумісна і має безліч розв’язків.

Теорема 2. Для існування ненульового розв’язку однорідної системи необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної із коефіцієнтів при невідомих, був менший числа невідомих.

Теорема 3. Будь-яка лінійна комбінація розв’язків однорідної системи є знову розв’язок цієї системи.

Означення. Будь-яка лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), через яку лінійно виражається будь який розв’язок цієї системи, називається фундаментальною (або основною) системою розв’язків.

Теорема 4. Якщо ранг r матриці системи лінійних однорідних рівнянь (4) менший числа невідомих n, то будь-яка фундаментальна система розв’язків системи (4) складається із n-r розв’язків.

Cистема лінійних однорідних рівнянь. Властивості розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь

Система m лінійних рівнянь з n невідомими називається однорідною, якщо всі вільні члени b_i рівні нулеві, тобто якщо система має вигляд:

(1)

Ця система, очевидно, має розв’язок: в якому всі невідомі дорівнюють нулеві. Такий розв’язок називається нульовим або тривіальним (очевидним). Отже, система лінійних однорідних рівнянь завжди сумісна. Будь-який розв’язок однорідної лінійної системи, відмінний від нульового (якщо він є), називається ненульовим, або нетривіальним.

В багатьох випадках виявляється необхідним знати, чи має дана однорідна система лінійних рівнянь ненульові розв’язки.

Теорема 1. Однорідна система, яка має рівнянь менше числа невідомих, зав­жди має ненульові розв’язки.

Теорема 2. Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь утворює арифметичний простір.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

(2)

яка називається неоднорідною лінійною системою.