13 Питання.. Квадратичні форми

Означення. Квадратичною формою від n невідомих х₁, х₂, ..., х_n називається сума, кожний член якої є або квадратом однієї з невідомих, або добутком двох різних невідомих, помножених на деякий коефіцієнт. Для цих коефіцієнтів застосуємо такі позначення: коефіцієнт при позначимоа_іі, коефіцієнти при добутку для— як. Тоді маємо, а член.

Використовуючи введені позначення, квадратичну форму можна записати у вигляді: .

З коефіцієнтів а_ij можна скласти квадратну матрицю порядку. Ця матриця є симетричноюі називаєтьсяматрицею квадратичної форми f, її ранг називається рангом квадратичної форми. Якщо , то квадратична форма називаєтьсяневиродженою, якщо —виродженою.

Означення. Квадратична форма f від n невідомих х₁, х₂, ..., х_n з дійсними коефіцієнтами називається додатно визначеною, якщо при будь-яких дійсних значеннях цих невідомих, хоча б одне з яких відмінне від нуля, ця форма набуває тільки додатних значень.

Квадратична форма має канонічний вигляд, якщо

Квадратична форма має нормальний вигляд, якщо а

Розглянемо векторний простір V_n. Введемо в цьому просторі ще одну дію над векторами, яка називається скалярним добутком.

Якщо в лінійному векторному просторі V_n для векторів іввести скалярний добуток, що має такі властивості:

1) ; 2)

3) , то лінійний векторний простір перетворюється на евклідів векторний простір.

Два вектори іназиваютьсяортогональними, якщо .

Розглянемо систему ортогональних векторів . Для неї виконується умова, коли. Тоді справджується твердження:

Будь-яка ортогональна система ненульових векторів лінійно незалежна.

Нехай — лінійно незалежна система векторів у евклідовому просторіV_n. Побудуємо для неї систему векторів , яка була б ортогональною.

Покладемо . Далі побудуємоза формулою, де — деяке невідоме число. Доберемо його так, щоб виконувалась умова ортогональності:. Отже, . Звідки.

Нехай таким чином побудовано ортогональну систему з s векторів . Згідно з процедурою ортогоналізації наступний вектор буде лінійною комбінацією попередніх векторів у вигляді

.

Вектор буде ортогональним до всіх векторів системи . Якщо. Продовжуючи цей процес, побудуємо ортогональну систему зk векторів . Система ортогональних векторів лінійно незалежна, тому для векторного просторуV_n будь-яка ортогональна система з n векторів утворює ортогональний базис цього простору.

Вектор називаєтьсянормованим, якщо виконується рівність .

Якщо будь-який вектор , тоі цей вектор можна пронормувати, використовуючи формулу:. Справді,.

Матриця, складена з таких векторів, називається ортогональною. Слід зазначити, що лінійне перетворення, яке відповідає ортогональній матриці, називається ортогональним. Можна показати, що ортогональне лінійне перетворення залишає незмінною суму квадратів квадратичної форми.

13.Квадратичні форми та їх застосування.З-н інерції квадр.Форм.(к.Ф)

Озн1.У пр-рі задана лін.форма,якщо кожному в-ру х постав.у відпов.число f(x),так x→ f(x),викон.2 аксіоми:

х,у є V, αєР, 1)f(x+y)=f(x)+f(y).2) f(αx)= αf(x).

Озн2. Задано А(,) є білінійною формою від в-ів х та у, якщо при фіксован.у, А(,)-є л.ф.від,і навпаки,тобто викон.4 акс: 1)А(х₁+х₂;у)=А(х₁,у)+А(х₂,у). 2)А(αх,у)= αА(х,у). 1.1)А(у₁+у₂;х)=А(у₁,х)+А(у₂,х).1.2) А(βу,х)= Аβ (х,у).

Озн3. Б.ф.наз.симетричною.якщо А(х,у)=А(у,х)

Озн4. Нехай А(х,у)-симетр.б.ф.,тоді А(х,х),яка отрим.,якщо покласти у=х,наз.квадр.формою.

Озн5. А(х,у) наз.полярною до А(х,х) к.ф.

Б.ф.однозначно визнач.своєю к.ф, А(х,х).

Озн6. К.ф.наз.додатно-визначеною,якщо для будь-якого ненульового в-ра, х≠0, А(х,х)>0

Т-ма1. Нехай в n- вимірн.пр-рі V задана к.ф.

А(х,х)=,(1)тоді у пр-рі V існує базис{e₁…. e_n }в якому ця к.ф.має вигляд(канон.вигляд) А(х,х)=λ₁ х₁² +…+ λ_n х_n² ,де (x₁…. ,x_n )-коорд.в-ра х в новому базисі.

Озн7. К.ф.наз. канонічною,якщо вона має вигляд

А(х,х)=

I.Зведення к.ф.до канон.виду трикутним перетв.Метод Якобі Є n-вимір.пр-р, в якому задано базис, в-р х = (x₁…. ,x_n ) і к.ф.Матриця к.ф- м-ця(аij) і для неї викон.наст.умови:

∆₁ =а₁₁ ≠0; ∆₂ =≠0; ∆_n≠0; (2)

Т-ма: Нехай в базисі{e₁…. e_n } має вигляд (1) м-ця к.ф, і викон.умова (2), тоді існує базис В={e₁….e_n},в якому к.ф.(1) запис.так:

А(х,х)= ∆₀ /∆₁ х₁² +∆₁ /∆₂ х₂² +∆_n-1 /∆_n х_n² ,де ∆₀ =1, (x₁…. ,x_n )-коорд.в-ра х в базисі {e₁…. e_n }.базис В визнач.так:

e₁ =α₁₁ e₁ =( α₁₁ ,0…0)

e₂ =α₂₁ e₂ + α₂₂ e₂ =( α₂₁ , α₂₂ ,0…0)

e_n =α_n1 e₂ + α_n2 e₂ + α_nn e_n .

II.Зведення к.ф.до головних осей. Є n-вимір.вект.пр-р, із скал.множн.,тоді дов.в-р х має n-коорд.Є к.ф.виду (1), та (2).

Озн8. Індексом к.ф.-кіл-ть відємних квадратів(коеф) у канон.аба норм.виду.к.ф.

Є к.ф.,їй відпов.деяка симетр.м-ця,існує така невиродж.м-ця Т, м-ця зводиться до діагон.вигляду.Перетв.має задовол.умову ортогон-ті.

Т-ма: Будб-яка к.ф. від (х,х) з дійсними коеф.від n-невідомих можна звести до ортогон.вигляду за допом.ортогон.перетворення.

Т-ма:Число відємних коеф.при квадратах корд.в канон.вигляді к.ф=кількості змін.знаків у посл-ті визначників 1, ∆₁ , ∆₂ , ∆_n-1, ∆_n .Якщо всі ∆₁ ,..._, ∆_n >0,то к.ф.є.додатно-визначеною.

Т-ма(Умова Сильвестра-дод.визнач.к.ф): Нехай А(х,у)-біл.симетр.форма і {e₁….e_n}-базис в n-вимір.пр-рі.Для того,щоб к.ф. А(х,у)-була дод.-визнач.необх.і дост.,щоб визначн.(гол.мінори) всі були >0.

Т-ма(з-н інерції к.ф):Якщо к.ф.2-ма різними способами зведена до нормального вигляду,то к-сть додат.коеф-ів, так само як і кіл-ть відємних коеф.та кіл-ть нульових коеф.в обох випадках однакова.Ця т-ма ствердж.,що не тільки ранг та індекс є інваріантами к.ф.,а к-сть додат, нульових коеф(ранг і індекс залежить від м-ці к.ф). А(х,х)=λ₁х₁² +…+ λ_nх_n² Інваріанти залежать від м-ці к.ф.(аij)~(bij) мають єдине характеристичне р-ня.