9 N-вимірні вектори і операції над ними. Арифметичний векторний простір

Нехай Р—довільне числове поле. Числа цього поля будемо позна­чати ма­ли­ми латинськими буквами. Нехай n—фіксоване натуральне число.

Означення 1. Будь-яка упорядкована система n чисел із поля Р називається n-вимірним вектором; числа називаються його коорди­на­тами (компонентами).Символічноn-вимірний вектор будемо записувати так:.

Число n називається розмірністю вектора а.

Означення 2. Два n-вимірні вектори і називаються рівними між собою (пишуть: а=b) тоді і тільки тоді, коли їх відповідні компоненти рівні, тобто ,, …,.

Розглянемо тепер множину F_n всіх n-вимірних векторів з координа­тами із поля Р

Означення 3. Сумою векторів і на­зива­ється вектор і позначаєтьсяс=а+b.

Означення 4. Під добутком числа на векторро­зуміють вектор

Якщо вектор помножити на , то матимемо вектор, який називається протилежним до а і позначається через

Означення 5. Множина F_n всіх n-вимірних векторів з координатами із поля Р, з введеними діями додавання векторів і множення вектора на число, нази­вається n-вимірним арифметичним простором над полем Р.

.Лінійна залежність і лінійна незалежність скінченої системи векторів, властивості

Нехай:— довільна система векторів із простору Fn.

Означення 1. Сума виду , де P, –поле називається лінійною комбінацією системи векторів Скаляри називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.

Означення 2. Множина всіх лінійних комбінацій векторів системи називається лінійною оболонкою цієї системи і позначається черезL().

Означення 3. Множина векторів однієї розмірності називається лінійно залежною, якщо існують такі скаляри , серед яких хоча б один не дорівнює нулю, що задовольняють рівності :.

Означення 4. Множина векторів ,…, називається лінійно незалежною, якщо рівність

,можлива тільки при .

Розглянемо властивості лінійної залежності і незалежності системи векторів.

Властивість 1. Система векторів, яка містить нульовий вектор, лінійно за­лежна.

Властивість 2. Система векторів — лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоч один із векторів цієї системи являється лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, а сис­тема векторів

лінійно залежна, то вектор b лінійно виражається через вектори і причому єдиним чином.

Властивість 4. Система векторів лінійно залежна, якщо яка-небудь її підсистема лінійно залежна.

Властивість 5. Якщо іто

Властивість 6. Якщо то система векторів лінійно залежна.

Базис і ранг скінченої системи векторів

Нехай , -довільна система векторів простору Fn.

Означення 1. Довільна лінійно незалежна підсистема системи векторів (1) називається базисом цієї системи, якщо кожний вектор системи (1) являється лінійною комбінацією векторів підсистеми.

Теорема. Скінчена система векторів, яка містить хоч один ненульовий вектор, має базис. Будь-які два базиси даної скінченої системи векторів складаються з однакового числа векторів.

Означення 2. Рангом скінченої системи векторів називається число векторів, які входять до якого-небудь базиса системи.

Теорема. Нехай ранг системи векторів

дорівнює рангу системи векторів

. (5)

Тоді вектор b можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів системи (4).

Доведення. Теорема, очевидно, справедлива, якщо ранги систем (4) і (5) дорівнюють нулю. Припустимо, що ранг r системи (4) відмінний від нуля і - базис системи (4). Так як, за умовою, ранг системи (5) також дорівнюєr, то її підсистема лінійно залежна. За наслідком 3, звідси слідує, що

Значить,

тобто існують такі скаляри що

Лема. Ранг системи векторів не зміниться, якщо до цієї системи приєднати будь-який вектор, який являється лінійною комбінацією векторів даної системи.

Наслідок леми. Ранг системи векторів не зміниться, якщо до цієї системи приєднати нульовий вектор. Ранг не зміниться, якщо викреслити із системи нульовий вектор.