2. Групи , приклади груп , найпростіші в-ті груп.Підгрупи, озн, і критерії. Гомоморфізми та ізоморфізми груп

Алгебра – це не порожня множина з заданій на ній набором операцій, що задовольняють деякій системі аксіом. Одним із часткових випадків алгебр є група.

Означення 1. Алгебра G = < A, · , ^–1> з двома основними операціями – бі­нарною операцією (·) і унарною операцією ( ^–1 ) – називається групою, якщо її ос­новні операції задовольняють аксіомам:

1. асоціативний закон:  a,b,c  A [(ab)c = a(bc)];

2. існування одиничного (нейтрального) елемента:

 e  A,  a  A [ ae = ea = a];

3. існування оберненого (симетричного) елемента:

 a  A,  a ^–1  A [a a ^–1 = a ^–1 a = e].

Означення 2. Алгебра G = <A, · ,^–1 > називається абелевою або комутати­вною, якщо бінарна операція (·) комутативна, тобто

 a,b  A [ab = ba].

Приклади. 1. Алгебра < Z, + , – > є адитивна абелева група, так як мно­жина Z цілих чисел замкнута відносно бінарної операції додавання. Ця операція комутативна і асоціативна. В множині Z є нейтральний відносно додавання еле­мент 0. Для кожного елемента a Z в множині Z існує симетричний (протилеж­ний) елемент – а.

2. Алгебра < Q \ {0},· , ^–1 > є мультиплікативна абелева група. Дійсно, мно­жина раціональних чисел без нуля замкнута відносно дії множення, ця операція комутативна і асоціативна, в цій множині є нейтральний відносно множення еле­мент 1, кожний елемент цієї множини має симетричний (обернений) елемент а^–1.

3. Алгебра < {1, –1}, · , ^–1 > є мультиплікативна абелева група. Дійсно, на множині {1, –1} визначена операція множення : 11 = 1; 1(–1) = –1; (–1)1= –1;

(–1)(–1) = 1. Ця операція асоціативна і комутативна. В цій множині є одиничний елемент 1 і для кожного елемента – обернений елемент : (1) ^–1=1; (–1)^–1= –1.

4. Множина всіх парних чисел відносно додавання, тобто алгебра < {2n | n  Z }, + , – > є адитивна абелева група.

5. Алгебра < {0}, + , – >, де {0} – множина, яка складається із одного числа 0 , очевидно, є адитивна абелева група.

Властивості.

1. У добутку a₁ a₂ …a_n дужки можна розставляти довільно (зберігаючи по­рядок слідування співмножників).

2. Нейтральний елемент єдиний

3. Правила скорочення.

а·b=a·c b= c (ліве скорочення);

b·a=c·a b = c (праве скорочення).

5. Існування розвязків рівнянь.

а х = b, (4)

y a = b, (5)

для  а, b  A.

Означення 4. Алгебра Р= < H, · , ^–1 > називається підгрупою групи

G= < A, · , ^–1 >, якщо:

1) H  A;

2)  a, b  H [a·b  H];

3)  a  H [a ^–1  H].

Отже, підмножина Н групи G являється підгрупою цієї групи, якщо Н являється групою відносно групової бінарної операції.

Приклади підгруп.

1. Всю групу G можна розглядати як підгрупу самої себе.

2. Множина {e}, яка складається з одного нейтрального елемента е групи G, буде підгрупою G.

3. Група Z являється підгрупою адитивної групи Q раціональних чисел.

4. Адитивна група всіх парних чисел буде підгрупою адитивної групи Z всіх цілих чисел.

Гомоморфізми та ізоморфізми груп Розглянемо дві групи: G = < A, · , ^–1 >; G₁ = < A₁,  , ^–1 >.

Означення 1. Гомоморфізмом або гомоморфним відображенням групи G в групу G₁ називається будь-яке відображення φ групи G в групу G₁, яке задовольняє умові

 a,b  G [φ(ab) = φ(a)  φ (b)].

Означення 2. Ізоморфізмом або ізоморфним відображенням групи G в групу G₁ називається будь-яке відображення  групи G в групу G₁, яке задоволь­няє умовам:

1.  а, b  G [  (ab) =  (a)   (b)];

2.  а, b  G [  (a) =  (b)  a = b ].

Теорема. При будь-якому ізоморфному відображенні групи G в групу G₁ нейтральний (одиничний) елемент e групи G відображається в нейтральний (одиничний) елемент е₁ групи G₁, і будь-яка пара взаємно симетричних (обернених) елементів а і а^–1 групи G відображається в пару взаємно симетричних (обернених) елементів а₁ і а₁^–1групи G₁.

Доведення. Нехай φ – довільний ізоморфізм групи G в групу G₁. Нейтраль­ний елемент е групи G відображається в нейтральний елемент е₁ групи G₁. Справді,

Аналогічно,

Отже, φ(е) буде нейтральним елементом групи G₁, тобто φ(e) = e₁.

Для кожного елемента аG обернений йому елементa a^–1G відобража­ється в обернений до елемента φ(a), тобто φ(a^–1)=φ(a)^–1. Це виходить з того, що

е₁=φ(е)=φ(а·а^–1)=φ(а)·φ(а^–1),

звідки φ(а^–1)=φ(а)^–1.