18.Застосування теорії конгруенцій .

Ознаки подільності.

Ознака подільності-це така необх. і дост. умова,при якій число N і число f(N) одночасно або діляться або неділяться на число m. Функція f(N) будується таким чином, що |f(N)|<N.Нехай маємо число в q-ічній системі числення.f(N)=a₀+a₁q+a₂q²+…+a_nqⁿ.a_i{0,1,…q^-1}.Нехай q^k ,девзяті з ПСЛ найменших невідємних. Побудуємо функціюf(N): f(N)=a₀+a₁r₁+a₂r₂+…+a_nr_n. f(N) i N мають однакові остачі, тому f(N)N(m). Тепер побудуємо означення подільності:1) нехай m=2;5.10^k -ознака подільності на 2 і 5. f(N)=а₀N.2) m=3;9. 10^k.f(N)=a₀+a₁+a₂+…+a_n ознака подільності на 3 і

9.3)m=11

якщо різниця між сумою цифр числа,що стоять на парних місцях і сумою цифр числа,що стоять на непарних місцях ділиться на 11, то і число ділиться на 11.4)а=7

Перетворення звичайного дробу в десятковий.

Теорема 1.Нескоротний дріб

(a,b)=1, перетвориться в скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли знамен. b не має простих дільників відмінних від 2 і 5. Доведення. Нехай

b=це число представляється скінченним циклом дробу.

Навпаки нехай =N ,a_-1a_-2a_-k= N+

Теорема 2: нескоротний дріб , у якогоперетвориться у скінченний чистий десятковий період. дріб з числом періодів, депоказує якому10mod b∙10.

Теорема 3. Нескоротний дріб, у якомуb= перетвориться у мішаний десятковий періодичний дріб,з числом цифр до періода , де=max{}і з числом цифр до періода , депоказує якому10mod b₁. Доведення. Дріб

,(a₁, b₁)=1.За теоремою 2 дріб

перетвориться в чистий періодичний десятковий дріб з числом періодів .

,

це означає що кому переносимо на знаків. Отже в періоді будецифр.

Розв’язування діафантофих рівнянь

1.,

2.-є розв’язок ,інакш-не має

19. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею.

Озн: вираз виду , де– поле,– невід’ємні цілі числа, а х– довільний (невідомий) елемент, назмногочленом від однієї змінної. Многочлени будемо позначати f(x), g(x), …Озн: два многочлени наз рівними, якщо вони скл-ся з одних і тих же членів, крім членів з нульовими коефіцієнтами. Нехай маємо м-член (1) і (2). Озн: під сумою двох многочленівf(x), g(x) розуміють такий многочлен , де. Отже, щоб додати два м-члени, треба додати їх відповідні коефіцієнти. Озн: м-членназивається добутком многочленівf(x)*g(x)=h(x), тобто, щоб помножити два многочлена треба кожний член (1) многочлена помножити на кожний член (2) і зібрати подібні члени.

Т-ма. Кільце мн-нів від 1-ї зм. є кільце з 1.

(К[x]; + ; ¯ ; ∙ ;1) – кільце з 1

Теорема про ділення з остачею.

Озн: для будь-яких многочленів пара многочленівp(x), r(x), що має місце рівність f(x)= g(x)*p(x)+r(x), де r(x)=0 або степінь r(x) менше степеня g(x).

Доведення: якщо f(x)=0 або ст. f(x) менше ст. g(x), то f(x)= g(x)*θ(х)+ f(x), де p(x)=θ(х) і f(x)= r(x), якщо ст. f(x)≥ ст. g(x). Нехай . Нехай, деn≥m.віднімемо від f(x) многочлен

так, щоб знищити старший член м-на f(x). отримаємо

.

Очевидно що степінь f₁(x)= n-1, де . Відf₁(x) віднімемо

. Отримаємо .

І тд. Продовжуючи пониження степенів многочленів f₂(x), f₃(x), … поки не отримаємо, що r(x)= θ(х) і ст. r(x) менше ст. g(x). Випишемо всі вище сказані перетворення:

+

…………………………………

_____________________________

де r(x)=0 і ст. r (x) менше ст. g(x). Доведено існування. Доведемо єдність від супротивного:

Нехай f(x)= g(x)*р(х)+ r(x), де r(x)=0 і ст. r(x) менше ст. g(x).

— f(x)= g(x)*р₁(х)+ r₁(x), де r₁(x)=0 і ст. r₁(x) менше ст.g(x).

___________________________

[p₁(x)-p(x)] g(x)=r(x)-r₁(x)

Якщо припустити що p₁(x) і p(x) рівні то остача =0, тоді очевидно доведено, тому нехай p₁(x) і p(x) не рівні і враховуючи, що ст. r(x) менша ст. g(x) і ст. r₁(x) менша ст. g(x) отримаємо ст. (r(x)- r₁(x)) менша ст. g(x), що не можливо. Доведено

Факторіальні кільця.

Кільце К наз. факторіальним, якщо воно є обл.. цілісності і будь-який відмінний від нуля необоротний ел-т(що не є дільником 1) володіє однозначним розкладом на прості множники

Т-ма. Кільце мн-нів від 1-ї зм. над полем Р є евклідовим кільцем, а отже факторіальним кільцем