metodichka sopromat 2 sem

Розв’язання

1)Виразимо геометричні характеристики перерізу стрижня (F, Imax, Imin, imin) через один розмір d.

Площу перерізу даного стрижня знайдемо як різницю площ прямокутника і круглого отвору:

Осьові моменти інерції для прямокутника визначають за формулами:

Осьові моменти інерції круга:

I XKP = IYKP = π × d 4 = 0,049d 4 , 64

де d – діаметр.

21

Осьові моменти інерції перерізу даного стрижня знайдемо як різницю моментів інерції прямокутника і круглого отвору:

Головними осями перерізу є його осі симетрії. Оскільки IX > IY , тоді:

Мінімальний радіус інерції перерізу:

2) Визначимо залежність мінімального радіуса інерції перерізу стрижня ( imin ) від площі перерізу F . Оскільки для заданого перерізу F = 5,215d2, тоді:

3) Виразимо необхідну площу поперечного перерізу з умови стійкості:

Р- стискаюча сила, [Н];

F - площа поперечного перерізу стрижня, [м2];

φ- коефіцієнт поздовжнього гнуття.

22

4)Скористаємося методом послідовних наближень.

Оскільки 0<φ<1 , тоді в першому наближенні візьмемо φ1 = 0,5 .

При цьому

Визначимо максимальну гнучкість стрижня в першому наближенні:

µ- коефіцієнт зведеної довжини стрижня.

Уданого стрижня один кінець закріплений жорстко, а другий - шарнірно, тому µ = 0,7. Тоді (у першому наближенні):

λmax = μ × l £ 0,7 × 5 »

1 117 . imin 0,030

Випишемо з таблиці [Дарков А.В. «Опір матеріалів», табл.13.1] значення коефіцієнта φ при значеннях λ найбільш близьких до 117.

23

За допомогою лінійної інтерполяції знайдемо величину ϕ1T при λ = 117

0,52 − 0,45 ( )

ϕ1T = 0,52 - × 117 - 110 = 0,471. 10

Порівняємо прийняте і табличне значення коефіцієнта поздовжнього гнуття:

ϕ1 - ϕ1T = 0,5 - 0,471 = 0,029 > 0,01.

Оскільки прийняте і табличне значення φ відрізняються більш ніж на 0,01, то необхідно продовжити розрахунок у другому наближенні.

У другому наближенні візьмемо

Тоді

24

За допомогою лінійної інтерполяції знайдемо величину ϕ 2T при λ = 115

0,52 − 0,45 ( )

ϕ 2T = 0,52 - × 115 - 110 = 0,485 . 10

Порівняємо прийняте і табличне значення коефіцієнта поздовжнього гнуття:

ϕ 2 - ϕ 2T = 0,4855 - 0,485 = 0,0005 < 0,01

Оскільки прийняте і табличне значення φ відрізняються менш ніж на 0,01, зупинимо розрахунок на другому наближенні.

Оскільки σ max < [σ ]ϕ , умова стійкості виконується.

Відсоткова розбіжність (недонапруга) становить:

77,52 - 77,6 × 100% = 0,1% < 5% . 77,52

Остаточно візьмемо необхідну площу перерізу стрижня F ³ 12,9 × 10 −3 м2 .

25

6)Знайдемо розмір d.

Оскільки для даного стрижня F = 5,215d 2 , тоді:

Р1,00

Приклад розв’язано.

26

ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ІНТЕГРАЛА МОРА

Інтеграл Мора (формула переміщень) дозволяє визначити переміщення точки системи в напрямі одиничного зусилля X m , викликане дією на систему довільного зусилля X n :

Перемножування епюр – спосіб, що дозволяє замінити обчислення інтеграла Мора на визначення добутків ординат епюр M m і M n .

Перемножування епюр можна виконувати методами Верещагіна або Симпсона.

Метод Симпсона:

27

моменту, який є наслідком дії навантаження.

СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕНІ СИСТЕМИ

Абсолютно необхідні в'язі – найменше число в'язей (реакцій), які не дозволяють стрижню переміщуватися як жорсткому цілому. (На площині таких в'язей три.)

«Зайві» в'язі – накладені на систему понад абсолютно необхідних (тобто такі, які є зайвими, з точки зору забезпечення нерухомості системи).

Ступінь статичної невизначеності – кількість «зайвих» в'язей у системі:

S = 3n – m ,

де n – число незалежних замкнених контурів; m – число одиночних шарнірів.

Незалежний контур – контур, який має хоча б один елемент, що не входить до інших контурів.

Одиночний шарнір – шарнір, який поєднує два елементи.

Кратний шарнір (із кратністю k) – шарнір, який поєднує більше двох елементів (відповідає k одиночним шарнірам).

28

Статично невизначена система – система, у якій внутрішні зусилля неможна визначити з рівнянь статики.

Більшість інженерних конструкцій статично невизначена. Розкривати статичну невизначеність можна лише за допомогою рівнянь переміщень.

Основна система – система, яку можна одержати із заданої статично невизначеної шляхом відкидання «зайвих» в'язей та навантаження.

Еквівалентна система – система, яку можна одержати із заданої статично невизначеної шляхом заміни «зайвих» в'язей силами Х1… Хn.

Метод сил – універсальний метод розкриття статичної невизначеності, що приймає за невідомі сили, які замінюють дію «зайвих» в'язей. Ці сили знаходять з рівнянь переміщень, складених у канонічній формі.

Загальний вид канонічних рівнянь методу сил:

Коефіцієнти канонічних рівнянь δ11… δnn знаходять за допомогою перемножування одиничних епюр M 1 ... M n :

29

Вільні члени канонічних рівнянь 1Р… nР знаходять за допомогою перемножування одиничних епюр на вантажну.

Одиничну епюру гнучих моментів за методом сил будують, прикладаючи до основної системи в напрямі відкинутої «зайвої» в'язі одиничну силу.

Вантажну епюру гнучих моментів за методом сил будують, прикладаючи до основної системи задане навантаження.

Епюру гнучого моменту МХ для статично невизначеної системи за методом сил будують, прикладаючи до основної системи задане навантаження разом із силами Х1… Хn , визначеними з канонічних рівнянь

Деформаційна перевірка полягає у визначенні переміщень точок заданої системи в напрямі «зайвих» в'язей шляхом перемноження одиничних епюр

30