Umk_TV_2009__MATAN_2

Плотность стандартного нормального распределения имеет вид

Ниже приведен график y = f0(x).

y

f 0(x)

0 x x

Функция распределения случайной величины, имеющей нормальный закон,

может быть представлена в виде несобственного интеграла

часто называют функцией Лапласа, для которой имеются таблицы значений,

широко используемые в статистических исследованиях. Рассмотрим свойства нормального распределения.

Свойство 1. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ, т.е. ~ N(m,σ2 ) . Тогда математическое ожидание равно параметру m, а дисперсия равна σ2 , т.е.

M(ξ)=m; D(ξ)= σ2.

61

Следующее свойство позволяет вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал, используя таблицы значений функции (x) .

Свойство 4. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ, т.е. ~ N(m,σ 2 ). Тогда вероятность попадания случайной

величины ξ в интервал [a,b] можно найти по формуле

В частности, для симметричного интервала относительно m имеет место формула для любого 0 :

Формула (2.36) непосредственно следует из (2.35), в которой надо положить

Свойство 5 (закон трех сигм). Пусть случайная величина ξ имеет нормальное

распределение с параметрами m и σ, т.е. ~ N(m,σ 2 ). Тогда с вероятностью

больше 0,99 значения случайной величины содержатся в интервале

[ m-3σ, m-3σ].

62

таблицы функций (x) находим значение (3) =0,9987. Отсюда следует, что

P( m 3 ) 2 (3) 1 0,997.

2.2.4. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение служит вероятностной моделью для многих явлений. Рассмотрим последовательность n независимых испытаний Бернулли, в

каждом из которых может произойти один из двух исходов. Обозначим через p

вероятность «успеха» в отдельном испытании и - q вероятность «неудачи». Для каждого отдельного испытания i введем случайную величину i , которая может принимать два значения: 1, если испытание закончилось «успехом» и 0, если –

«неудачей». Случайная величина η - число «успехов» при n независимых испытаниях в схеме Бернулли будет равна сумме независимых случайных

значения m=0,2,…,n. Вероятность того, что случайная величина η после завершения всех испытаний примет значение m можно найти по формуле Бернулли

Определение. Случайная величина η имеет биномиальное распределение с

параметрами n и p, если она принимает значения, m=0, 1,…, n с вероятностями по формулам (2.38).

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины,

63

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины i будут

величину, которая определяет число бракованных изделий в коробке. «Успехом» отдельного испытания будем считать наличие в коробке некоторого числа бракованных изделий. Тогда случайная величина может принять значения x1=0, x2=1, x3=2, x4=3 (варианты количества бракованных изделий) и имеет биномиальное распределение. Требуется найти вероятности событий, которые будут соответствовать значениям случайной величины. Последовательно при i=0, 1, 2, 3 из формулы (2.38) получим вероятности для возможных значений этой случайной величины:

Математическое ожидание и дисперсию находим по формулам (2.21) и (2.23) соответственно

M( )=3p, D( )=3 p q .

2.2.5. Распределение Пуассона

Определение. Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром распределения >0, если она принимает значения m= 0,1, 2,…

64

с вероятностями

Пример 2.10. Рассмотрим случайную величину , равную числу покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t0 до T.

Появление покупателей - случайные события и происходят в случайные моменты времени.

Сделаем следующие предположения.

1.Вероятность появления одного покупателя за малый промежуток времени

пропорциональна , т. е. равна

a o( ), а > 0,

где o( ) - бесконечно малая величина при 0 .

2. Если за малый промежуток времени уже произошло одно событие, то условная вероятность появления в этом же промежутке другого события стремится к 0 при 0.

3. События на непересекающихся промежутках времени являются независимыми случайными величинами.

В этих условиях можно доказать, что число покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t0 до T распределено по закону Пуассона с параметром aT.

Вопросы для самопроверки

1.Как вычислить математическое ожидание и дисперсию:

а) для дискретной случайной величины?

б) для непрерывной случайной величины?

2.Как найти плотность вероятности для случайной величины, имеющей равномерное распределение?

3.Что такое нормально распределенная случайная величина?

4.Какие другие законы распределения известны?

65

Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

В различных областях деятельности возникает необходимость в

обработке различных объемов экспериментальных и статистических данных. Например, такие задачи как упорядочение результатов измерений, выявление закономерностей случайных явлений, расчет надежности сложных технических систем могут быть решены вероятностно-статистическими методами. Математическая статистика базируется на основных понятиях теории вероятностей.

В этом разделе определяется понятие выборки, генеральной совокупности, доверительного интервала, состоятельной и несмещенной оценок. На конкретном примере показано, как промоделировать дискретную случайную величину методом жребия при помощи n случайных чисел и сделать проверку гипотез о совпадении или различии теоретических данных и полученных экспериментальных данных. Кроме того, рассматриваются точечные и интервальные оценки неизвестных параметров. Для более глубокого изучения этой темы студенты должны выполнить лабораторные работы по темам:

1)моделирование дискретной случайной величины методом жребия;

2)точечные и интервальные оценки.

После проделанной работы студент может приступить к выполнению контрольной задачи № 3 и № 4 из методических указаний к выполнению контрольной работы по вычислительной математике, основам теории вероятностей и элементам математической статистики [8].

Основные определения

Для изучения какого-либо явления необходимо его многократно наблюдать в одинаковых условиях, т.е. надо провести серию испытаний (наблюдений).

Предметом математической статистики является изучение случайных величин по

66

результатам наблюдений. При этом выявляемые закономерности, которым

подчиняется исследуемая случайная величина, на физическом уровне

обусловливается реальным комплексом условий, в которых она наблюдается, а на математическом уровне задается соответствующим законом распределения вероятностей.

случайной величины ξ или просто генеральной совокупностью.

Изучение всех элементов генеральной совокупности часто оказывается

невозможным. Тогда рассматривается некоторая ее часть.

Часть генеральной совокупности, по которой делается заключение о

3.2. Систематизация выборки

Пусть х1, х 2, … ,х n - реализация случайной выборки.

Вариационным рядом называется последовательность элементов реализации случайной выборки, расположенных в неубывающем порядке, при этом одинаковые элементы могут повторяться.

Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина ξ дискретна и принимает k различных значений k n , которые обозначим z1, z2 , …, zk .

67

Примечание. В дальнейшем величины, получаемые из опытных данных,

будем обозначать теми же символами, что и теоретические аналоги, со знаком *

вверху.

вероятностью события zi ) называется случайная величина

где μi - частота значения zi , которое принимает случайная величина ( т.е. число

элементов выборки X =( X1, X 2 , ..., X n ),принявших значение zi ). Согласно закону больших чисел, pi* сближается с вероятностью P zi при n ,

т.е. относительные частоты pi* можно рассматривать при больших объемах выборки в качестве приближенных значений (оценок) для неизвестных вероятностей

Статистическим рядом называется последовательность разных значений случайной величины, расположенных в возрастающем порядке, с указанием значений относительных частот. Статистический ряд, как правило, записывается в виде таблицы (табл.3.1).

Важной характеристикой выборки является эмпирическая функция распределения.

68

Эмпирической (выборочной) функцией распределения Fn* (x), построенной по случайной выборке, называется относительная частота события { ξ=< x}:

Чтобы получить значение эмпирической функции распределения при данном значении x для реализации выборки x (x1, , xn ), надо подсчитать значение μ(х) для реализации выборки, т.е. просуммировать значения частот тех

На рис. 3.1 приведен пример эмпирической функции распределения.

69

Рис. 3.1

Эмпирическая функция распределения является приближенным значением (т.е. оценкой) теоретической функции распределения наблюдаемой

случайной величины ξ:

Fn* (x) F (x) .

Пример 3.1. Проводятся измерения деталей с точностью до одного миллиметра. Оказалось, что отклонения диаметров изготовленных деталей от заданного размера составили следующую выборку объема n 20 : 0, -2, -4, 3, 0, 0, -1, 2, -2, -1, 0, -1, 3, 2, 0, -1, -2, 0, -1, 2.

Построить вариационный и статистический ряды, полигон относительных частот, эмпирическую функцию распределения.

Решение. Вариационным рядом заданной выборки будет последовательность: -4, -2, -2, -2, -1, -1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 3, 3.

Статистический ряд представим таблицей (табл.3.2):

Таблица 3.2

70