Umk_TV_2009__MATAN_2

Полигон относительных частот этого распределения изображен на рис.3.2.

Рис. 3.2

Для полученного статистического ряда вычислим значения эмпирической функции распределения, используя формулу (3.3)

График этой функции представлен на рис. 3.3.

71

i , заменяют средней точкой zi zi 12 zi .

Таблица 3.3

построенный ряд не был громоздким и в то же время позволял выявить

которая дает нижнюю оценку величины k . В качестве значения k следует брать ближайшее целое число.

Группированный статистический ряд наглядно можно изобразить в виде гистограммы. Для ее построения на оси абсцисс откладывают разряды i

длиною h , и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник. В

результате получают ступенчатую фигуру, которую называют гистограммой.

а площадь гистограммы частот численно равна объему выборки, т.е.

73

k

mi n . (3.5) i 1

При построении гистограммы относительных частот:

высота i–го частичного прямоугольника равна отношению относительной

Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения наблюдаемой случайной величины ξ.

Гистограмма изображена на рис. 3.4.

Рис. 3.4

74

3.3. Точечные оценки параметров распределения

На практике часто удается предсказать или оценить с помощью гистограммы вид распределения наблюдаемой случайной величины ξ с точностью до неизвестного параметра a (или нескольких параметров). Одной из основных

задач математической статистики является нахождение оценки (приближенного значения) неизвестного параметра по имеющейся выборке.

Параметром распределения a случайной величины называется любая

числовая характеристика этой случайной величины (математическое ожидание,

дисперсия и т.п.) или любая константа, явно входящая в выражение для функции

или плотности распределения.

Если параметр a неизвестен, то его точечной оценкой называется произвольная функция элементов выборки

Реализацию оценки, т.е. значение оценки для наблюдавшейся в эксперименте

реализации выборки, принимают за приближенное значение неизвестного параметра a an* (x1, x2 , , xn ).

Из соотношения (3.8) видно, что an * как функция случайных величин

сама также является случайной величиной. Закон распределения оценки an*

зависит от вида функции g , числа наблюдений и значения оцениваемого параметра.

75

Ясно, что существует много разных способов построения точечной оценки,

ине всякая зависимость g X может давать удовлетворительную оценку

неизвестного параметра a . Рассмотрим некоторые свойства, которыми должна обладать оценка, чтобы ее можно было считать хорошим приближением к неизвестному параметру.

Требование несмещенности означает, что выборочные значения оценок,

полученных в результате повторения выборок, группируются около оцениваемого параметра.

Следующая теорема устанавливает достаточные условия состоятельности оценки an* параметра a .

76

Теорема. Если при n M an* a и D an* 0, то оценка an* параметра a является состоятельной.

Состоятельность оценки означает, что, при достаточно большом объеме

выборки с вероятностью близкой к единице, отклонение оценки от истинного значения параметра меньше ранее заданной величины.

Обычно в качестве меры точности оценки an* используется среднеквадратическая ошибка (среднее значение квадрата ошибки)

значения оценки около оцениваемого параметра. Поэтому всегда желательно,

чтобы ошибка оценки была по возможности малой. Используя свойства математического ожидания, нетрудно получить

Для несмещенных оценок

то есть их мерой точности является дисперсия.

Несмещенная оценка параметра a называется его эффективной оценкой,

77

D D 2 которой неизвестны. В качестве оценок для этих характеристик было предложено использовать выборочное среднее

Рассмотрим некоторые свойства оценок математического ожидания и дисперсии.

1. Вычислим математическое ожидание выборочного среднего:

Следовательно, выборочное среднее является несмещенной оценкой для m .

2. Напомним, что результаты наблюдений – независимые

случайные величины, каждая из которых имеет такой же закон распределения, как

Сравнивая (3.16) с определением свойства состоятельности (3.11), видим, что оценка X является состоятельной оценкой математического ожидания M .

78

3. Найдем дисперсию выборочного среднего:

сравнению с любой другой оценкой математического ожидания. Для других законов распределения ξ это может быть и не так.

Действительно, используя свойства математического ожидания и формулу (3.17),

найдем

79

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, оценку (3.14) нужно исправить,

Отметим, что формулы (3.14) и (3.19) отличаются лишь знаменателем, и при больших значениях n выборочная и несмещенная дисперсии отличаются мало.

Однако при малом объеме выборки n 30 следует пользоваться соотношением

(3.19).

Для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины используют так называемое “исправленное” среднее квадратическое отклонение,

которое равно квадратному корню из несмещенной дисперсии: S S 2 .

80