Umk_TV_2009__MATAN_2

Построим график функции распределения F(x) дискретной случайной величины

F(x)

1

7

8

4

8

1

8

2.1.3. Непрерывные случайные величины

Кроме дискретных существуют непрерывные случайные величины.

Примером непрерывной случайной величины является расстояние от точки попадания до центра мишени.

Определение. Случайная величина называют непрерывной, если ее

значения целиком заполняют конечный или бесконечный интервал числовой оси.

Определение. Непрерывная случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция f(x), что для любых действительных чисел x функция распределения этой случайной величины F(x)

т. е. функция распределения F(x) этой случайной величины является интегралом с переменным пределом от f(x). Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины такой, что

I

f (х) F (х) .

Рассмотрим пример абсолютно непрерывной случайной величины.

51

Пример 2.5. Равномерное распределение

Случайная величина ξ распределена равномерно на промежутке [a,b], если ее плотность распределения вероятностей задается равенством

и имеет график

y

Построим функцию распределения F(x) этой случайной величины,

используя равенство (2.7). При всех x<a по определению f(x) подынтегральная

Следовательно, функция распределения равномерного закона имеет вид:

52

График функции распределения имеет вид: y

y=F(x)

1

2.1.4. Функция распределения и ее свойства

Для функции распределения F(x) случайной величины ξ имеют место

следующие свойства:

1)Для всех x выполняются неравенства 0 F(x) 1.

2)Функция распределения случайной величины есть неубывающая

4)Функция распределения непрерывна справа F(x+0)=F(x).

5)Вероятность попадания случайной величины в интервал (a,b]

2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства

Плотность распределения вероятностей f(x) удовлетворяет следующим

2) Для всех x плотность распределения вероятностей неотрицательна, т.е. f (x) 0 .

53

3) Вероятность попадания случайной величины в любой интервал [a,b]

равна

b

P(a x b) P(a x b) P(a x b) P(a x b) f (x)dx . (2.13)

a

Это свойство означает, что удаление конечного числа точек из промежутка

[a,b] не влияет на величину вероятности попадания в этот интервал.

График y=f(x) называют кривой распределения. Графически свойство 3)

означает, что вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]

численно равна площади S криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения y=f(x), снизу - осью Ox, вертикальными прямыми x=a и x=b.

Графически свойство 4) означает, что площадь криволинейной трапеции под всей кривой распределения y=f(x) равна 1.

Вопросы для самопроверки

1.Какая величина называется дискретной случайной величиной?

2.Какую случайную величину называют непрерывной?

3.Что такое ряд распределения случайной величины?

4.Сформулируйте определение функции распределения случайной величины и ее свойства.

5.Что такое плотность вероятности случайной величины и ее свойства?

54

2.2.Числовые характеристики случайных величин

2.2.1.Математическое ожидание случайной величины

Закон распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой. Он одновременно указывает и на значение случайной величины и на его вероятность. Однако часто в теории вероятностей и в ее приложениях большую роль играют постоянные числа, которые можно получить, используя законы распределения. В этом параграфе рассмотрим математическое ожидание или среднее значение случайной величины.

Пусть обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений xi на соответствующие им вероятности pi. Будем обозначать математическое ожидание

если числовой ряд сходится абсолютно. Если числовой ряд (2.15) расходится или сходится условно, то в этом случае математическое ожидание случайной

55

если этот несобственный интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание случайной величины не существует.

Пример 2.8. Пусть случайная величина имеет равномерный закон распределения. В этом случае плотность вероятности f(x) имеет вид

Тогда по формуле (2.16) получаем формулу для вычисления математического ожидания равномерно-распределенной случайной величины

Пусть обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения xi x1 x2 ,…, xn,…

pi p1 p2 ,…, pn,… ,

и g(x) – некоторая функция переменной x. Новая случайная величина η = g(ξ)

будет дискретной случайной величиной с рядом распределения

56

4. Мультипликативное свойство. Если случайные величины ,

независимы, то M( )=M( )M( ).

2.2.2. Дисперсия случайной величины

Из определения математического ожидания следует, что оно определяет среднее значение случайной величины. Дисперсия характеризует среднюю величину отклонения значений случайной величины от математического ожидания.

Пусть обозначает дискретную или абсолютно непрерывную случайную величину.

Определение. Моментом второго порядка случайной величины называется математическое ожидание квадрата этой случайной величины, т. е. число M( 2).

Пусть в формулах (2.18) и (2.19) функция g(x)=x2. Тогда для моментов второго порядка случайной величины имеют место формулы

58

Из равенств (2.18), (2.19) для моментов второго порядка следуют формулы для вычисления дисперсии дискретной и абсолютно непрерывной случайных величин соответственно

Дисперсия не существует, если ряд (2.24) или несобственный интеграл (2.25)

расходятся.

Свойства дисперсии

1.Для любой случайной величины выполняется неравенство D( ) ≥ 0.

2.При умножении случайной величины на постоянное число С дисперсия

4. Если случайные величины и независимы, дисперсия их алгебраической

Пусть обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения

В этом случае согласно свойству 3 дисперсия вычисляется по формуле

59

2.2.3. Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение часто используется для описания случайных явлений, в которых на результат измерения влияет большое число независимых случайных факторов.

Определение. Случайная величина ξ имеет нормальное или гауссовское распределение, если ее плотность распределения вероятностей при всех x

Числа m и σ называются параметрами распределения: параметр m может быть любым действительным числом: -∞ < m < +∞, а параметр σ – положительным: σ>0.

Символическая запись ~ N(m,σ2 ) означает, что cлучайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ2.

y

1

2

Отметим некоторые свойства графика этой функции (кривой нормального распределения).

Во-вторых, функция (x) симметрична относительно вертикальной прямой x=m.

В-третьих, асимптотой кривой нормального распределения является ось Ох. Особую роль играет нормальное распределение с параметрами m=0, σ=1, которое часто называют стандартным (или нормированным) нормальным распределением.

60