Umk_TV_2009__MATAN_2

быть [0;1]. Действительно, все значения F(x) принадлежат интервалу [0,1],

Из всего сказанного следует, что предложенная функция может быть функцией распределения непрерывной случайной величины.

Плотность вероятности найдем из соотношения f(x)=F (x). Заметим, что

F(x) задана разными выражениями в области её определения, следовательно, и f(x) также будет описана разными выражениями на этих интервалах

Построим графики f(x) и F(x) (рис.5.5)

Рис.5.5

Найдем математическое ожидание:

161

Пример 5.8. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в интервал [-2;-1]. Построить кривую плотности вероятности этой случайной величины.

Решение

1. По виду формулы плотности вероятности определяем, что случайная величина распределена по нормальному закону, для которого плотность

162

2. Найдем вероятность попадания заданной случайной величины в интервал [-2,-1]. По свойствам функции распределения вероятность попадания случайной величины в интервал α; β

(α η β) F(β) F(α) ,

где F(x) – функция распределения случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины функция распределения F(x) может быть

выражена через её нормированную функцию Ф(х) формулой:

Функция Ф(х) табулирована (см. табл. В приложения).

Таким образом

Для решаемой задачи: α 2, β 1, m 1.5, =0,5 т.е.

Учитывая, что Ф(-х)=1- Ф(х), и найдя в табл.В приложения Ф(1)=0.8413,

получим

Р( 2 -1)=2Ф(1)-1=0,6826.

163

3. Построим кривую плотности вероятности. Для этого на графике построим сначала кривую нормированной плотности вероятности (на рис. 5.6

растянем по оси абсцисс в σ раз (т.е. максимум увеличится в два раза).

Получим пунктирную линию 2. И, наконец, сдвинем по оси абсцисс на величину m влево, т.е. в данном случае максимум графика будет в точке х=-1,5.

Окончательный результат на рисунке изображен сплошной линией.

Рис. 5.6

Пример 5.9. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону,

если P{X>60}=0,98 и P{X<90}=0,84.

Решение. Для определения искомых числовых характеристик следует найти параметры распределения предлагаемой случайной величины, так как для нормально распределенной случайной величины математическое ожидание совпадает с параметром m, а среднее квадратическое отклонение с параметром

σ. Для этого воспользуемся формулой, выражающей вероятность попадания случайной величины в данные в условиях интервалы через функцию распределения. Преобразуем задания в условии задачи равенства:

из P{x>60}= 0,98 получим р{х 60} = 1- р(х>60) = 1-0,98. Отсюда

164

P{x 60}=0,02.

По формуле (5.5) преобразуем левую часть , получим

F(60)= Ф( 60 m )= 0,02.

Теперь по таблицам Ф(х) (табл. В приложения) необходимо найти значение х,

при котором Ф(х) равняется 0,02. Такого значения в таблице нет, это означает,

т.е. Ф( m 60 )= 0,98.

По табл.В приложения находим, что Ф(х)= 0,98 соответствует

значению х=2,056, т.е. m 60 = 2,056.

Элементы математической статистики

165

Перед тем как приступить к решению второй половины третьей задачи,

следует изучить такие понятия, как: выборка, случайные числа; случайные

числа распределенные по определенному закону; эмпирические

(экспериментальные) ряд и функция распределения; оценки параметров распределения; метод жребия моделирования дискретной величины; критерии Пирсона оценки достоверности гипотезы; доверительные вероятности и интервалы. Следует разобрать примеры 5.10, 5.11.

Коротко рассмотрим, в чем заключается метод жребия моделирования дискретной случайной величины. Пусть событие А может произойти с вероятностью р, и пусть очередное значение случайного числа – ri (случайное число – значение непрерывной случайной величины, равномерно распределенной в интервале [0,1]). Если ri р , то оно принадлежит интервалу

0, p , поэтому считаем, что событие А наступило. Если ri р, то считается, что

событие А не наступило.

Поскольку значения случайной величины ни что иное как случайные

события, процедура моделирования дискретной случайной величины с

заданным законом распределения аналогична моделированию случайного события.

Пусть дискретная случайная величина задана теоретическим

рядом распределения.

Присваиваем случайной величине значение х1, если значение случайного числа ri p(х1), значение х2, если p(х1)<ri p(х1)+p(х2), т.е. в общем случае, если

распределения, приведенным в табл. 5.3.

166

1. Построить модель этой случайной величины для партии из 25 приборов

(методом жребия получить её 25 значений); найти экспериментальные ряд и

функцию распределения, построить их графики.

2. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего

квадратического отклонения.

3. С помощью критерия Пирсона оценить соответствие

экспериментального распределения теоретическому при уровнях значимости

1=0.01, 2= 0.05.

Решение. 1. Приступим к построению модели данной случайной величины. Этот процесс будем осуществлять методом жребия с помощью случайных чисел rj, т.е. значений случайной величины равномерно распределенной в интервале 0,1 . Эти значения приведены в табл.Д

заключается в том, чтобы определить какое значение будет принимать случайная величина в зависимости от попадания случайного числа в интервал.

примет значение:

0, если rj 0.6189,

5, если 0.6189 rj <0.7085,

10, если 0.7085 rj < 0.9631,

15, если ri = 0.9631.

Для удобства использования правило можно свести в табл. 5.4 или изобразить на рис. 5.7.

Таблица 5. 4

167

Приложения. Для того, чтобы начало было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Допустим, он родился 9 марта. Поэтому начнем с

9-й строки 3-го столбца. Это число 67, следовательно, r1 = 0.67, оно принадлежит второму интервалу 0.619;0.708 , поэтому х1 = 5. Таким образом,

найдена стоимость ремонта первого прибора. Аналогично моделируются стоимости остальных приборов. Далее случайные числа будем выбирать двигаясь, например, по строкам влево или вправо. Второе число 43, т.е. r2 = 0.43,

оно из интервала 0;0.619 , поэтому х2=0. Сведем процесс нахождения реализаций в табл. 5.5.

168

Найдем экспериментальный ряд распределения, для чего подсчитаем частоты mi, равные числу приборов с данной стоимостью ремонта, т.е. числу появлений значений хj, вычислим их относительные частоты, т.е. оценки

Построим экспериментальные многоугольник распределения и функцию распределения (рис. 5.8). Для наглядности сравнения теоретической и экспериментальной кривых построим штриховыми линиями теоретические кривые.

169

Рис. 5.8

2. Найдем оценки числовых характеристик. Для вычисления оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения воспользуемся формулами:

Поскольку формулы (5.9) и (5.10) дают смещенную оценку дисперсии,

несмещенную оценку найдем по формуле

170