Umk_TV_2009__MATAN_2

Случайные величины

Перед решением задач по этой теме следует усвоить основные понятия,

связанные со случайными величинами: дискретные и непрерывные случайные величины, законы их распределения; изучить примеры распределений; оценить роль числовых характеристик случайных величин.

Кроме того, следует разобрать приведенные ниже примеры 5.5 – 5.8.

Пример 5.5. Прибор состоит из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых собран из нескольких независимых элементов (рис.5.1),

вероятности отказов которых

р1 = р2 = 0.2, р3 = р4 = р7 = 0.3; р5 = р6 = 0.25, р8 = 0.278.

151

При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А равна С1 = 5 единицам стоимости, блока В – С2 = 10 единицам.

Предполагается, что за определенный период времени Т ни один блок не потребует повторной замены.

Найти случайную величину – стоимость восстановления прибора за период времени Т:

1)построить ряд и функцию распределения,

2)вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,

3)построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Решение.

1. Определим значения случайной величины , которая является дискретной.

Случайная величина «стоимость ремонта» может принимать только четыре значения:

х1 = 0 – ни один блок не потребует замены;

х2 = С1 = 5 – только блок А потребует замену;

х3 = С2 = 10 – только блок В потребует замену;

х4 = С1 + С2 = 15 – оба блока потребуют замену.

Чтобы вычислить вероятность каждого из значений хi, следует сначала найти вероятности выхода из строя блоков А и В.

Обозначим А – выход из строя блока А, Ai – отказ i-го элемента

(i = 1,2,3,4). Блок А откажет, если откажет хотя бы одна из его частей (первая состоит из элементов 1 и 2, вторая – 3 и 4). Первая часть откажет, если откажут оба элемента, т.е. произойдет событие А1А2, вторая - если произойдет А3 А4. По определению суммы событий

А= А1 А2 + А3 А4.

Всилу теоремы сложения вероятностей совместных событий

152

Р(А) = Р(А1 А2 + А3 А4) = Р(А1 А2) + Р( А3 А4) – Р(А1 А2 А3 А4).

В силу независимости событий Аi, получим

Р(А) = Р(А1) ·Р(А2) + Р(А3)· Р(А4) - Р(А1)·Р(А2)· Р(А3) ·Р(А4) =

= 0.2·0.2 + 0.3·0.3 – 0.2·0.2·0.3·0.3 = 0,1264.

Определим вероятность того, что блок А не откажет за время Т (событие А )

Р( А ) = 1- Р(А) = 1-0,1264 = 0,8736.

Обозначим В – выход из строя блока В, а Вi – отказ i-го элемента (i = 5,6,7,8).

Блок В потребует ремонта, если откажут все элементы ветви, состоящей из элементов 5,6 и 7, или элемент 8, а также если откажут все четыре элемента, т.е.

событие В может быть записано следующим образом

В= В5 В6 В7 + В8.

Всилу совместности и независимости событий Вi (i = 5,6,7,8) вероятность

события В определяется формулой

Р(В) = Р(В5) Р(В6) Р(В7) + Р(В8) - Р(В5) Р(В6) Р(В7) Р(В8).

Таким образом,

Р(В) = р5р6р7 + р8 - р5р6р7р8 = 0.25·0.25·0.3+ 0.278- 0.25·0.25·0.3 ·0.278=0,2915.

Найдем вероятность безотказной работы блока В:

Р( В ) = 1 – Р(В) = 1 – 0,2915 = 0,7085.

Найдем вероятности значений случайной величины .

Случайная величина имеет значение х1 = 0, если произойдет событие

А · В (оба блока исправны за время Т). События А , В независимы, поэтому

Р( =0) = Р( А )Р( В ) = 0,8736 · 0,7085 = 0,6189 (ограничение при вычислениях в четвертом знаке после запятой).

Значение х2 = 5 принимается, если отказывает блок А и не отказывает блок В, т.е.

Р( =5) = Р(А)Р( В ) = 0.1264 · 0.7085 = 0.0896.

Р( =10) = Р( А В), так как должен отказать только блок В, т.е.

Р( =10) = 0.8736 · 0.2915 = 0.2547. И последнее значение

153

Р( =15) = Р(А В) = Р(А)Р(В) = 0.1264 · 0.2915 = 0.0368.

Запишем полученные результаты в табл.5.1, которая и будет являться рядом распределения рассматриваемой случайной величины .

0,7

0,3

0,1

Замечание. Просуммировав все вероятности и получив 1, убедимся, что избежали грубых ошибок при вычислениях.

Построим многоугольник распределения (рис.5.2):

по оси абсцисс откладываем значения случайной величины хi;

по оси ординат значения их вероятностей рi.

154

График функции распределения изображен на рис.5. 3.

Рис. 5.3

156

которая является одним из свойств дисперсии (“Дисперсия есть разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания”). Все вычисления удобно записать в табл. 5. 2.

Таблица 5. 2

Процесс вычисления достаточно ясен из самой таблицы. Первые две строки – ряд распределения случайной величины. Третья строка – произведение значений случайной величины на их вероятности; сумма в этой строке и даст математическое ожидание случайной величины согласно формуле (5.1).

Четвертая строка – произведение квадрата значений случайной величины на их вероятности (достаточно умножить элементы третьей строки на элементы

157

первой); сумма их равна математическому ожиданию квадрата случайной величины. Вычитая из этой величины квадрат математического ожидания,

получим дисперсию, извлекая корень квадратный из которой найдем величину,

равную среднему квадратическому отклонению.

Итак, случайная величина “стоимость ремонта” имеет среднее значение

3,547 денежных единиц со среднеквадратическим отклонением 4,8382.

Пример 5.6. Плотность вероятности случайной величины

Показать, что предложенная функция может быть плотностью вероятности некоторой случайной величины . Найти её функцию распределения F(x), математическое ожидание M[ ], дисперсию D[ ], среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания случайной величины в интервал [1,3]. Построить графики плотности вероятности и функции распределения.

Решение. Покажем, что данная f(х) может быть плотностью вероятности.

Действительно, прежде всего, f(х) 0. Проверим выполнение свойства

Следовательно, предложенную функцию можно рассматривать как плотность вероятности.

Найдем функцию распределения F(x) из соотношения

x

F(x)= f (x)dx .

158

Построим графики плотности вероятности и функции распределения (рис. 5.4).

159

Вероятность попадания в интервал [1,3] можно вычислить любым из двух способов, используя либо плотность вероятности, либо функцию распределения.

В первом случае

Во втором случае

P(1 3) = F(3)- F(1)= 0.04 32- 0.04 12=0.32.

Пример 5.7. Функция распределения случайной величины

Показать, что эта функция может быть функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины; найти её плотность вероятности f(x),

математическое ожидание M[ ], дисперсию D[ ], среднее квадратическое отклонение , построить графики функции распределения и плотности

Решение. Чтобы F(x) могла быть функцией распределения непрерывной случайной величины она, во-первых, должна быть определена на всей

пределы функции равны её значениям. Во-вторых, её область значений должна

160