Задача 5.

Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока, изображенная на рис. 5.1, содержит два источника ЭДС и один источник тока. Параметры источников и сопротивления всех ветвей цепи известны. Требуется: а) преобразовать источник тока в эквивалентный источник ЭДС; б) составить систему уравнений для определения токов во всех ветвях цепи, используя 1-й и 2-й законы Кирхгофа; в) записать полученную систему уравнений в матричной форме.

Рис. 5.1.

Решение:

а) Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС:

В результате получим схему, показанную на рис. 5.2. Произвольно выбираем и показываем на схеме направления токов.

б) Согласно первому закону Кирхгофа, .

Согласно второму закону Кирхгофа, .

Рис. 5.2.

Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для двух узлов (1, 2) и трех контуров I, II и III:

Подставляем числовые значения:

в) Составляем матрицу Z коэффициентов в уравнениях по законам Кирхгофа:

Матрица токов:

Матрица ЭДС:

Система уравнений в матричной форме будет иметь вид:

,

или в сокращенной форме,

Решение этого уравнения будет иметь вид:

,

где – обратная матрица к матрице .

Задача 6.

Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока, изображенная на рис. 5.1, содержит два источника ЭДС и один источник тока. Параметры источников и сопротивления всех ветвей цепи известны. Требуется: а) составить систему уравнений для определения контурных токов; б) составить систему уравнений для определения узловых напряжений; в) написать, как определить токи в ветвях, если известны контурные токи, если известны узловые напряжения.

Рис. 5.1.

Решение:

а) Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС:

В результате получим схему, показанную на рис. 5.2. Произвольно выбираем и показываем на схеме направления токов в ветвях и контурных токов.

Составляем систему уравнений по методу контурных токов. В общем виде:

Определим параметры системы уравнений:

– контурные токи, которые необходимо найти.

Рис. 5.2.

Суммы сопротивлений, входящих в контуры:

Z₁₁ = R + R = 3 + 3 = 6 Ом;

Z₂₂ = R + R + jX_L = 3 + 3 + j2 = 6 + j2 Ом;

Z₃₃ = R + R = 3 + 3 = 8 Ом

Общие сопротивления для контуров:

Z₁₂ = Z₂₁ = –R = –3 Ом;

Z₁₃ = Z₃₁ = 0;

Z₂₃ = Z₃₂ = –R = –3 Ом.

Суммы ЭДС, входящих в контуры:

Подставив найденные коэффициенты, получим:

Из контурных токов можно найти токи в ветвях цепи следующим образом:

б) Составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов. В общем виде:

Принимаем узел 3 за базовый. – узловые потенциалы, которые необходимо найти. Определим параметры системы уравнений:

Y₁₁ = 1/R + 1/R + 1/jX_L = 1/3 + 1/3 + 1/j2 = 0,667 – j0,5 Cм;

Y₂₂ = 1/R + 1/R + 1/jX_L = 1/3 + 1/3 + 1/j2 = 0,667 – j0,5 Cм;

Y₁₂ = Y₂₁ = –1/jX_L = j0,5 Cм;

J₁₁ = –E₁/R – E₃/R = –j5/3 + j9/3 = j1,333 A;

J₂₂ = –E₂/R = j10/3 = j3,333 A.

Подставив полученные коэффициенты, получим:

Из узловых напряжений можно найти токи в ветвях цепи следующим образом:

Задача 8.

Трехфазная цепь (рис. 8.1) состоит из трехфазного генератора, вырабатывающего симметричную систему фазных ЭДС Е_ф и симметричной активной (осветительной) нагрузки. Цепь имеет нейтральный провод. Исследуются два режима работы: а) симметричный режим, при котором сопротивления всех фаз одинаковы Z_A=Z_B=Z_C=R, а сопротивление нейтрального провода Z_Н=0; б) один из несимметричных режимов работы цепи, при котором одно из фазных сопротивлений приемника отключено или замкнуто накоротко. Определить: 1) комплексные действующие значения токов и напряжений всех трех фаз приемника и напряжение между нейтральными точками генератора и приемника; 2) показания всех амперметров и вольтметров электромагнитной системы, включенных в цепь; 3) построить векторную диаграмму токов и напряжений цепи; 4) как изменяются показания амперметров и вольтметров при данном несимметричном режиме работы по сравнению с симметричным режимом.

Е_ф = 58 В; R = 5 Ом;

режим I – обрыв фазы В без нейтрального провода Z_В = ∞, Z_A = Z_С = R, Z_Н = ∞.

Рис. 8.1

Решение:

а) Симметричный режим работы

1) Определим фазные ЭДС:

Определяем комплексные сопротивления фаз:

Определяем фазные (они же линейные) токи:

Ток в нейтральном проводе, а также напряжение между нейтральными точками генератора и приемника при симметричном режиме работы равны нулю.

Комплексные действующие значения напряжений фаз приемника:

2) Определяем показания амперметров:

;

показания вольтметров:

3) Строим векторную диаграмму:

Масштаб напряжений 15 В/клетка, масштаб токов 5 А/клетка

б) Режим обрыва фазы В без нейтрального провода

Рис. 8.2.

1. Схема для несимметричного режима работы показана на рис. 8.2.

Определим фазные ЭДС:

Определяем комплексные проводимости фаз:

Определяем комплексное действующее значение узлового напряжения:

Определяем линейные токи:

Комплексные действующие значения напряжений фаз приемника:

2) Определяем показания амперметров:

;

показания вольтметров:

3. Строим векторную диаграмму:

Масштаб напряжений 10 В/клетка, масштаб токов 5 А/клетка

4) Сравнивая показания приборов при различных режимах работы цепи, определяем, что токи и напряжения в фазах А и С при несимметричном режиме составляют 0,87 от их значений при симметричном режиме.