Тема 1.7 Закон больших чисел

Данная тема важна для понимания методов математической статис­тики. Она включает ряд теорем, устанавливающих при определенных ус­ловиях устойчивость частности и средней арифметической (теоремы Бернулли, Чебышева и др.). При изучении каждой из них важно уяснить условия их применимости, а также смысл утверждений, сопровождаемых словами «практически невозможно», «практически достоверно». Особое внимание следует уделить понятию «сходимость по вероятности».

При использовании неравенств Маркова и Чебышева в процессе ре­шения задач необходимо учитывать, что:

1) приведенные неравенства дают не точное значение соответствую­щей вероятности, а лишь ее оценку снизу или сверху (вероятность не меньше (не больше) данного числа);

2) неравенство Чебышева оценивает вероятность отклонения случай­ной величины X от ее математического ожидания М(Х) = а.

Раздел II математическая статистика

Тема 2.1 Вариационные ряды

Прежде чем непосредственно изучать выборочный метод, необходи­мо ознакомиться с простейшей статистической обработкой опытных дан­ных, построением вариационных рядов, вычислением их числовых харак­теристик.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализаци­ей) распределения признака (случайной величины), а его числовые ха­рактеристики - средняя арифметическая х и дисперсия s² - аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины - мате­матического ожидания М(х) и дисперсии σ². Точно так же понятие час­тости (относительной частости) для вариационного ряда аналогично по­нятию вероятности для случайной величины.

Необходимо четко знать формулы вычисления числовых характерис­тик ряда. Более сложные формулы, используемые в упрощенном способе расчета, являются вспомогательными и их сложность объяс­няется переходом в расчетах от рассматриваемых вариантов к условным.

Тема 2.2 Основы выборочного метода

Выборочный метод широко применяется на практике. Однако зна­чение этой темы значительно шире, поскольку концепция выборки ле­жит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результатами наблюдений) и теоретической моделью.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно.

Необходимо знать свойства выборочных оценок: несмешенность, состоятельность, эффективность. Уметь обосновать несмешенность и со­стоятельность выборочных средней и доли. При этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое к выборочной оценке, заключа­ется в том, чтобы ее расстояние относительно оцениваемого параметра было минимальным. Для несмещенной оценки это требование означает ее эффективность. Но даже «наилучшая» оценка является лишь прибли­женным значением неизвестного параметра и, будучи величиной случай­ной, может существенно отличаться от самого параметра.

Поэтому наряду с точечной рассматривают интервальную оценку параметра, т.е. такой числовой интервал, который с заданной доверитель­ной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестное значение пара­метра. Программой предусматривается построение доверительного интер­вала для генеральной средней и генеральной доли собственно-случайных выборок (повторной и бесповторной). Основой являются формулы дове­рительной вероятности для средней и доли.

Необходимо усвоить три типа задач на выборку, сводящиеся к оп­ределению предельной ошибки выборки или границ доверительного ин­тервала, надежности оценки и объема выборки.

Если по условию задачи объем бесповторной выборки значитель­но меньше объема генеральной совокупности, то расчет необходимых ха­рактеристик проводят по формулам для повторной выборки.