Тема 1.4 Дискретные случайные величины

В этой теме рассматривается одно из фундаментальных понятий те­ории вероятностей — понятие случайной величины. Под случайной ве­личиной понимается переменная, которая в результате испытания в за­висимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно заранее неизвестно). Если говорить более стро­го, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элемен­тарных исходов.

Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения, то есть всякое соотношение, устанавливающее связь меж­ду возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

При решении задач случайная величина, как и случайное событие, подлежит четкому определению по условию. Ее связь со случайным со­бытием заключается в том, что принятие ею некоторого числового зна­чения (т.е. выполнение равенства X = x_i) есть случайное событие, харак­теризуемое вероятностью Р(Х = х_i) = р_i.

Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности на математическое ожида­ние и дисперсию, и их свойства.

Тема 1.5 Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Функция распределения случайной величины - одно из фундамен­тальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсаль­ным описанием любой случайной величины. Функция распределения Р(х) представляет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т.е. Р(х) = Р(Х < х). Необходимо знать свойства функции распределения Р(х) и ее производной φ(х) - плотности вероятнос­ти случайной величины и уметь их изображать графически. Из непрерыв­ных случайных величин особо важное значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределения Р_N(х) через функцию Лапласа ф(x), свойства нормально распределенной случайной величины, правило трех сигм. Важно четко представлять, что нормальный закон, в отличие от других, является предельным законом, к которому при неко­торых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное дей­ствие (сумма) п независимых случайных величин Х₁, Х₂,..., Х_n при п→∞.

Тема 1.6 Двумерные (n-мерные) случайные величины

В этой теме обобщается понятие случайной величины, вводится по­нятие многомерной (n-мерной) случайной величины, условных распре­делений и их числовых характеристик. Так как математические ожида­ния и дисперсии случайных величин X и У недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (X, У), рассматривают­ся ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, которые позволяют выявить степень зависимости между X и У. Завершается тема понятием двумерного нормального закона распределения. Следует обра­тить внимание на то, что в случае двумерного нормального закона зави­симости условных математических ожиданий Мх(У) (или Мy/(х)) от х (или у), т.е. нормальные регрессии У по X (или X по У) всегда линейны, а условные дисперсии Dх(У) (или Dу(Х)) постоянны и не зависят от зна­чений х (или у).