Примеры решения задач
Задача 1. Определить энергию фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.
Решение
Энергия кванта света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую,
где Ei – энергия ионизации атома водорода ( Ei =13,6 эВ); n1 = 1, 2, 3,…- номер орбиты, на которую переходит электрон; - номер орбиты, с которой переходит электрон (т - номер спектральной линии в данной серии).
Для серии Пашена n1 = 3, m = 2, n2 = n1 + m = 3 + 2 = 5.
Подставив числовые значения, найдем энергию фотона:
Ответ: = 0,97 эВ.
Задача 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U = 51 В. Найти длину волны де Бройля.
Длина волны де
Бройля
Решение
Дано:
U = 51 B
mo = 9,1 . 10-31 кг
Кл Кл
-?
где h – постоянная Планка, т – масса электрона, V – скорость. Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющее поле, равна работе этого поля, т.е.
,
откуда
Тогда
Ответ: = 1,71 . 10-10 м.
Примечание. Для решения задачи необходимо сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя Ео.
Таким образом, Wк << Eo, и для решения задачи можно использовать формулы классической механики.
Если , то необходимо учитывать зависимость массы от скорости и пользоваться формулами релятивистской механики.
Задача 3. Кинетическая энергия Wк электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенности, оценить минимальные линейные размеры атома.
Решение
Соотношение неопределенности для координаты и импульса имеет вид
где х – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); р – неопределенность импульса частицы (электрона); - постоянная Планка, деленная на 2.
Из соотношения неопределенности следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью
х = l. (1)
Соотношение неопределенности (1) можно записать в этом случае в виде
.
Откуда
.
Физически разумная неопределенность импульса р, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т.е.
Импульс р связан с кинетической энергией Wк соотношением
Заменим р значением ( такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим
Подставим числовые значения и произведем вычисления:
Ответ: lmin = 6,2 . 10-11 м.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Исходя из первого постулата Бора, вывести формулу, определяющую радиус n-й орбиты электрона в атоме водорода. Вычислить радиусы первых трех орбит.
Ответ: r1 = 0,529 . 10-10 м; r2 = 2,12 . 10-10 м; r3 = 4,77 . 10-10 м.
Задача 2. Зная заряд электрона и радиус орбиты, определить потенциальную, кинетическую и полную энергии электрона, находящегося на первой орбите в атоме водорода.
Ответ: Wп = -27,2 эВ; Wk = 13,6 эВ; W = -13,6 эВ.
Задача 3. Определить длину волны, соответствующую третьей спектральной линии в серии Бальмера.
Ответ: = 4,34 . 10-7 м.
Задача 4. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена).
Ответ: 1 = 1,87 . 10-6 м; 2 = 8,2 . 10-7 м.
Задача 5. Вычислить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый.
Ответ: W = 12,1 эВ.
Задача 6. Определить наименьшее и наибольшее значения энергии фотона в ультрафиолетовой части спектра водорода (серии Лаймана).
Ответ: W1 = 10,2 эВ; W2 = 13,6 эВ.
Задача 7. Атомарный водород, возбужденный светом с определенной длиной волны, при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии. Определить длины волн этих линий и указать, каким сериям они принадлежат.
Ответ: серия Лаймана 1 = 1,216 . 10-7 м; 2 = 1,026 . 10-7 м; серия Бальмера = 6,563 . 10-7 м.
Задача 8. Фотон с энергией 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома?
Ответ: V = 10 6 .
Задача 9. Вычислить длину волны, которую испускает ион гелия Не+ при переходе со второго энергетического уровня на первый. Сделать такой же подсчет для иона лития Li ++.
Ответ: 1 = 0,3 . 10-7 м; 2 = 0,135 . 10-7 м.
Задача 10. Найти энергию Ei и потенциал Ui ионизации ионов Не+ и Li++.
Ответ: гелий Ei = 8,64 . 10-18 Дж = 54 эВ; Ui = 54 В; литий Ei = = 1,95 . 10-17 Дж = 122 эВ; Ui = 122 В.
Задача 11. Вычислить частоты обращения электрона в атоме водорода на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с частотой излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту.
Ответ: частота обращения 8,3 . 1014 и 2,4 . 1014 ; частота излучения 4,6 . 1014 .
Задача 12. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны = 1215 . Определить радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.
Ответ: r = 2,12 . 10-10м.
Задача 13. Определить первый потенциал возбуждения атома водорода.
Ответ: U1 = 10,2 В.
Задача 14. Найти: 1) радиусы первых трех боровских электронных орбит в атоме водорода; 2) скорость электрона на них.
Ответ: r1 = 0,53 .10-10 м; r2 = 2,12 . 10-10 м; r3 = 4,77 . 10-10 м; V1 = = 2,19 . 10 6 ; V2 = 1,1 . 10 6 ; V3 = 7,3 . 10 6 .
Задача 15. Вычислить кинетическую энергию электрона, находящегося на п-й орбите атома водорода. Задачу решить для п = 1, 2, 3 и .
Ответ: W1 = 2,18 . 10 –18 Дж = 13,6 эВ; W2 = 5,44 . 10-19 Дж = 3,4 эВ; W3 = 2,42 . 10 -19 Дж = 1,51 эВ; W4 = 0.
Задача 16. Найти: 1) период обращения электрона на первой боровской орбите в атоме водорода; 2) его угловую скорость.
Ответ: Т = 1,43 . 10 –16с; = 4,4 . 10 16 .
Задача 17. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.
Ответ: 1 = 3,65 . 10 –7 м; 2 = 6,56 . 10 –7 м.
Задача 18. 1) Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовой серии спектра водорода. 2) Какую наименьшую скорость должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?
Ответ: = 1,21 . 10 –7 м; V = 1,9 . 10 6 .
Задача 19. Определить потенциал ионизации атома водорода.
Ответ: Ui =13,6 В.
Задача 20. 1) Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появились все линии всех серий спектра водорода? 2) Какую наименьшую скорость должны иметь эти электроны?
Ответ: V = 2,2 . 10 6 ; W = 13,6 эВ.
Задача 21. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?
Ответ: .
Задача 22. Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел три спектральные линии? Найти длины волн этих линий.
Ответ: W = 12,1 эВ; 1 = 1,21 .10 –7 м; 2 = 1,03 .10 –7 м; 3 = 6,56 .10 –7 м.
Задача 23. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?
Ответ: .
Задача 24. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны ?
Ответ: на 2,56 эВ.
Задача 25. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз?
Ответ:
Задача 26. Определить максимальную энергию max фотона серии Бальмера в спектре излучения атомарного водорода.
Ответ: max = 3,4 эВ.
Задача 27. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атома водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?
Ответ: .
Задача 28. Определить наибольшее и наименьшее значения энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серия Лаймана).
Ответ: min = 10,2 эВ; max = 13,6 эВ.
Задача 29. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны = 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.
Ответ: r = 4,75 . 10 –10 м.
Задача 30. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.
Ответ: = 2,55 эВ.
Задача 31. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на основной.
Ответ: = 12,1 эВ.
Задача 32. Определить длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость равна 1000 . Сделать такой же подсчет для протона.
Ответ: 1 = 7,3 . 10 –10 м; 2 = 4 . 10 –13 м.
Задача 33. Электрон движется со скоростью 200000 . Определить длину волны де Бройля, учитывая изменение массы в зависимости от скорости.
Ответ: = 2,7 . 10 –12 м.
Задача 34. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 1?
Ответ: U = 150 В.
Задача 35. Определить длину волны де бройля электрона, если его кинетическая энергия равна 1кэВ.
Ответ: = 0,38 . 10 –10 м.
Задача 36. Найти длину волны де Бройля для протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов в 1 кВ и 1 МВ.
Ответ: 1= 9,07 . 10 –13 м; 2 = 2,86 . 10-14 м.
Задача 37. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
Ответ: = 3,3 . 10 –10 м.
Задача 38. Определить длину дебройлевской волны электрона, находящегося на второй орбите в атоме водорода.
Ответ: = 6,7 . 10 –10 м.
Задача 39. С какой скоростью движется электрон, если дебройлевская длина волны электрона численно равна его комптоновской длине волны?
Ответ: V = 2,12 . 10 8 .
Задача 40. Определить длину дебройлевской волны электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного спектра рентгеновских лучей приходится на длину волны .
Ответ: = 0,6 . 10 –10 м.
Задача 41. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 . 10 –3 Тл. Определить длину волны де Бройля электрона.
Ответ: = 10 –10 м.
Задача 42. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 22,5 В.
Ответ: = 2,58 . 10 –10 м.
Задача 43. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью V = 0,6 с (с - скорость света в вакууме).
Ответ: = 1,76 . 10 –15 м.
Задача 44. На узкую щель шириной 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость 3,65 . 10 8 . Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние между двумя максимумами первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 cм от щели.
Ответ: х = 6 . 10 –5м.
Задача 45. Рассчитать длину волны де Бройля для: а) электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В; б) камня массой 100 г, летящего со скоростью 1 ; в) Земли на своей орбите (Мз = 6 . 1027 кг). Rз-с = 1,51011 м. v = .
Ответ: а) = 10 –10 м; б) = 6,6 . 10 –33 м; в) = 3,6 . 10 –63 м.
Задача 46. Получить в общем виде формулу, выражающую зависимость волны де Бройля от ускоряющего потенциала для релятивистской частицы.
Задача 47. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы дебройлевская длина волны была равна: 1) 1 нм; 2) 1 пм?
Ответ: 1) U = 8,2 . 10-4 В; 2) U = 820 В.
Задача 48. Определить длины волн де Бройля -частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.
Ответ: 1 = 3,2 . 10 –13 м; 2 = 9 . 10 –13 м.
Задача 49. Протон обладает кинетической энергией Wk = 1 кэВ. Определить величину дополнительной энергии W , которую необходимо ему сообщить для того, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась в три раза.
Ответ: W = 8 кэВ.
Задача 50. Определить длину волны де Бройля для частицы массой т = 1 г, движущейся со скоростью V = 10 . Нужно ли учитывать в этом случае волновые свойства частицы? Почему?
Ответ: = 6,62 . 10 –32 м.
Задача 51. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией Wk = 13,6 эВ (энергия ионизации атома водорода). Сравнить полученное значение с диаметром d атома водорода (найти отношение ). Нужно ли учитывать волновые свойства электрона при изучении движения электрона в атоме водорода? Диаметр атома водорода принять равным удвоенному значению боровского радиуса.
Ответ: = 3,3 . 10 –10 м.
Задача 52. Вычислить длину волны де Бройля для тепловых (Т = 300 К) нейтронов. Следует ли учитывать волновые свойства нейтронов при анализе их взаимодействия с кристаллом? Расстояние между атомами в кристалле принять равным 0,5 нм (масса нейтрона тn = 1,67 . 10 –27 кг).
Ответ: = 1,78 . 10 –10 м.
Задача 53. Определить неточность в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью V = 1,5 . 10 6 , если допускаемая неточность в определении скорости V составляет 10 % от ее величины. Сравнить с диаметром атома водорода и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае (d 10 –10м).
Ответ: х = 7,7 . 10 –10 м.
Задача 54. Определить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию Wmin электрона, движущегося внутри сферической области диаметром d = 0,1 нм.
Ответ: Wmin = 3,8 эВ.
Задача 55. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной «яме» шириной l = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.
Ответ: Wmin = 112,5 эВ.
Задача 56*. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 . 10 –15 м.
Задача 57. Электрон, неопределенность импульса которого не превышает 1 %, движется в электронно-лучевой трубке со скоростью 10 8 . Можно ли в данном случае рассматривать электрон как материальную частицу, т.е. не учитывать его волновые свойства?
Ответ: х = 0,7 . 10 –7 м.
Задача 58. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.
Задача 59. Электрон с кинетической энергией W = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить (в процентах) относительную неточность, с которой может быть определена скорость электрона.
Ответ: 5 . 10 –3 %.
Задача 60. Используя соотношение неопределенностей , оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l 1 . 10 –10 м.
Ответ: = 4 эВ.
Задача 61. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре Wmin = 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, размеры ядра.
Ответ: d = 1,44 . 10 –15 м.
Задача 62. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический (W = 10 эВ) пучок электронов падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью х = а. Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса электрона в двух случаях: а) а = 1 . 10 –8 м; б) а = 1 . 10 –10 м.
Ответ: а) 0,6 %; б) 60 %.
Задача 63*. При какой скорости электрона его дебройлевская длина волны будет равна: а) 5 . 10 –7 м; б) 1 . 10 –10 м? Каким областям спектра электромагнитных волн соответствуют эти длины волн?
Задача 64. При движении вдоль оси х скорость оказывается определенной с точностью Vx = 10 –2 . Оценить неопределенность координаты х: а) для электрона; б) для броуновской частицы массой т 10 –15 кг; в) для дробинки массой т 10 –4 кг.
Задача 65. Исходя из того, что радиус атома имеет величину порядка 10 –10 м, оценить скорость движения электрона в атоме водорода.
Ответ: V 2 . 10 6 .
Задача 66. Положение пылинки массой т 10 –15 г определено с точностью до 10 –6 м. Определить неточность в определении скорости пылинки.
Задача 67*. Во сколько раз дебройлевская длина волны -частицы меньше неопределенности ее координаты х, которая соответствует неопределенности импульса в 1 %?
Ответ: 16 раз.
Задача 68. Если допустить, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная неточность импульса этой частицы?
Ответ: 16 %.
Задача 69. Используя соотношение неопределенностей , найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию Wmin электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l .
Ответ: .
Задача 70. Используя соотношение неопределенностей , оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l .
Ответ: W = 4 эВ.
Задача 71. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовой или классической частицей?
Ответ: х = 38,8 нм.
Задача 72. Определите отношение неопределенности скорости элктрона, если его координата установлена с точностью до 10-5 м, и пылинки массой m = 10-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.
Ответ: .
Задача 73. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определите длину волны де Бройля для протона.
Ответ: = 0,197 пм.
Задача 74. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля для него была равна 1 нм.
Ответ: U = 0,822 мВ.
Задача 75. Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.
Ответ: = 1 нм.
Задача 76. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля = 1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу.
Ответ: m = 1,67210-27 кг.