Примеры решения задач

Задача 1. В однородном магнитном поле, индукция которого , в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположены два проводника длиной l каждый, обтекаемые током I. Первый проводник прямой, второй согнут в виде полукольца. Найти силы, действующие на каждый проводник со стороны магнитного поля. Поле направлено перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Дано:

В = 0,1 Тл

I = 20 A

l = 1 м

Решение

По закону Ампера сила, действующая на элемент проводника dl

В данном случае угол для обоих проводников во всех точках равен. Поэтому закон Ампера можно записать в виде

1. Силы, действующие на каждый элемент первого проводника (рис.14.7,а) параллельны между собой. Параллельность элементарных сил позволяет выражение результирующей силы найти интегрированием:

Интеграл берётся по всей длине проводника, при этом I и В постоянны по условию.

;

Н.

2. Для второго проводника силы направлены в разные стороны, поэтому следует искать отдельно проекцию результирующей силы на оси х и y (рис.14.7,б):

где dF_x и dF_y – проекции элементарных сил соответственно на оси х и y. Интегрирование проводится по всей длине проводника. Из рисунка видно, что

где

При переходе от одного элемента полукольца к другому угол  меняется, причём его предельные значения равны

Элемент дуги dl выразим через приращение угла :

dl = d,

где r₀ – радиус полукольца.

В результате, после подстановки и интегрирования, получаем

Выражая радиус полукольца r₀ через его длину и учитывая, что F_x = 0 получаем результирующую силу:

Н.

Таким образом, результирующая сила будет направлена вдоль оси y и будет меньше, чем для прямого проводника.

Ответ: F₁ = 2 H; F₂ = 1,27 H.

Задача 2. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током I₁ = 5 А расположена прямоугольная рамка, обтекаемая током I₂ = 1 А. Найти силы, действующие на каждую сторону рамки со стороны поля, создаваемого прямым током, если длинная сторона b = 20 см параллельна прямому току и находится от него на расстоянии = 5 см, короткая сторонаа = 10 см (рис.14.8).

Дано:

I₁ = 5 A

I₂ = 1 A

а = 10 cм = 0,1 м

b = 20 см = 0,2 м

= 5 см = 0,05 м

F₁ – ? F₂ - ? F₃ - ? F₄ - ?

Решение

Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого тока I

где x – расстояние от тока I до точки, в которой рассматривается поле.

Вектор во всех точках рамки направлен перпендикулярно плоскости рисункаот нас, поэтому во всех точках рамки В любой точке длинных сторон рамки, которые параллельны токуI, индукция магнитного поля постоянна для каждой стороны.

Длинные стороны рамки – прямые проводники, поэтому выражение сил, действующих на вертикальные стороны рамки, можно записать так:

F₁ = I₂ B₁ b; F₂ = I₂ B₂ b,

где В₁ и В₂ – значения индукции магнитного поля прямого тока на расстояниях x, равных и

Тогда

После подстановки численных значений получим

Н;

Н.

Направления сил F₁ и F₂ указаны на рис.14.8.

Вдоль второй (горизонтальной) стороны рамки индукция магнитного поля тока I₁ непрерывно меняется. Рассмотрим некоторый элемент dx стороны, находящийся на расстоянии x от прямого тока (рис.14.8). Сила dF, действующая на этот элемент, направлена вверх и равна

Здесь - текущее значение индукции, определяемое по формуле

При переходе от одного элемента к другому направление элементарных сил dF остаётся неизменным, поэтому

Подставив выражение dF под знак интеграла, получим

Н.

Сила F₄, действующая на вторую горизонтальную сторону рамки, численно равна силе F₃ и направлена в противоположную сторону.

Ответ: F₁ = 4 ^. 10^-6 Н; F₂ = 1,3 ^. 10^-6 Н; F₃ = F₄ = 1,1 ^. 10^-6 Н.

Задача 3. В однородном магнитном поле, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположена плоская круглая рамка, состоящая из N = 10 витков площадью S = 100 см² каждый. В обмотке идёт ток I = 3 А. Каково должно быть направление тока в рамке, чтобы при повороте её на 180⁰ вокруг одного из диаметров силы поля совершили положительную работу? Индукция поля B = 1,8^.10^-5 Тл, (рис.14.9) вычислить величину работы.

Дано:

N = 10 витков

S = 100 см² = 10^-2 м²

I = 3 А

В = 1,8^.10^-5 Тл

А - ?