Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 5 см, если за 1 минуту совершается 150 колебаний, начальная фаза колебаний 45⁰.

Ответ: см.

Задача 2. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости? х = Asin t.

Ответ: .

Задача 3. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебания по уравнению , проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

Ответ: t = 1 с.

Задача 4. Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с. Найти максимальные значения скорости и ускорения колеблющейся точки.

Ответ: ; .

Задача 5. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, 3 ^.10^-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, 1,5 ^.10^-3 Н. Написать уравнение движения тела, если период колебаний 2 с и начальная фаза 60⁰.

Ответ: м.

Задача 6. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени: 1) с; 2) с; 3) с, где Т – период колебаний? Начальная фаза колебаний равна нулю. х = Asin t.

Ответ: 1)

Задача 7. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: 1) , где А – амплитуда колебаний? Начальная фаза колебаний равна нулю.

Ответ: 1)

Задача 8. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 3 ^.10^-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на точку действует сила 2,25 ^.10^-5 Н?

Ответ: х = 1,5 ^.10^-2 м.

Задача 9*. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями м и м.

Ответ: А = 4,6 ^.10^-2 м,  = 0,35  рад.

Задача 10. Написать уравнение результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний, направленных по одной прямой и заданных уравнениями м и м.

Ответ: м.

Задача 11. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний = 3 см и = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если 1) колебания совершаются в одном направлении, 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Ответ: 1) А = 7 см; 2) А = 5 см.

Задача12*. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях м и м. Найти траекторию движения точки.

Ответ: . Это окружность радиусом 2 м.

Задача 13. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания.

Ответ:  = 0,0023 с^-1.

Задача 14*. Уравнение затухающих колебаний дано в виде м. Найти скорость колеблющейся точки в момент времени: 0, Т, 2 Т, 3 Т, 4 Т.

Ответ: = 7,85 ; = 2,88 ; = 1,06 ; = 0,39 ; = 0,14 .

Задача 15*. Математический маятник длиной 24,7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Логарифмический декремент затухания: 1)  = 0,01; 2)  = 1.

Ответ: = 120 с; = 1,22 с.

Задача 16*. Математический маятник длиной 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на 5 см, а при втором (в ту же сторону) на 4 см. Найти время релаксации.

Ответ:  = 6,4 с.

Задача 17. Амплитуда колебания математического маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания. Сколько полных колебаний сделает при этом маятник?

Ответ:  = 0,0023, N = 301.

Задача 18. За время 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в пять раз. Найти коэффициент затухания и время релаксации.

Ответ:  = 0,1 с^-1,  = 10 с.

Задача 19*. Тело массой 10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой 7 см и коэффициентом затухания 1,6 с^-1. Начальная фаза равна нулю. На тело подействовала внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания, уравнение которых см. Найти: 1) уравнение собственных колебаний, 2) уравнение внешней периодической силы.

Ответ: см; Н.

Задача 20. Материальная точка массой 0,01 кг совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом 2 с и начальной фазой, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки Дж. Найти: 1) амплитуду колебаний; 2) наибольшее значение силы, действующей на точку; 3) написать уравнение колебаний.

Ответ: А = 0,045 м, F = 4,44 Н, м.

Задача 21. Материальная точка массой т = 5 г совершает гармонические колебания с частотой  = 0,5 с^-1. Амплитуда колебаний А = 3 см. Найти: 1) скорость точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу, действующую на точку; 3) полную энергию колеблющейся точки.

Ответ: V = 8,2 ^.10^-2 , F = 1,49 ^.10^-3 Н, W = 2,2 ^.10^-5 Дж.

Задача 22. Точка колеблется гармонически. Амплитуда колебаний А = 5 см, циклическая частота = 2 с^-1, начальная фаза . Определить ускорение точки в момент, когда ее скорость V = 8 .

Ответ: а = 0,12 .

Задача 23. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Наибольшее смещение точки 10 см, наибольшая скорость 20 . Написать уравнение колебаний и найти максимальное ускорение точки.

Ответ: х = 0,1 sin 2 t м; а = 0,4 .

Задача 24. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки х = 5 см, скорость V = 0,2 и ускорение а = 0,8 . Начальная фаза колебаний . Найти: 1) амплитуду; 2) циклическую частоту; 3) период колебаний; 4) фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.

Ответ: А = 0,07 м; = 4 с^-1; Т = 1,57 с; рад.

Задача 25. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки х = 5 см. При увеличении фазы в два раза смещение точки стало = 8 см. Найти амплитуду колебаний.

Ответ: А = 8,3 см.

Задача 26. Материальная точка массой т = 0,05 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид (м). Найти силу, действующую на точку: 1) в момент, когда фаза колебаний  = 30⁰; 2) в положении наибольшего отклонения точки.

Ответ: Н; 0,125 Н.

Задача 27. Материальная точка массой т = 0,1 г колеблется согласно уравнению м. Определить максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии точки.

Ответ: Н, Дж.

Задача 28. Материальная точка массой т = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид см. Найти возвращающую силу в момент t = 0,1 с и полную энергию точки.

Ответ: F = 0,747 Н, W = 0,125 Дж.

Задача 29. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид см. В момент, когда на точку действовала возвращающая сила Н, точка обладала потенциальной энергией Дж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу колебания .

Ответ: t = 0,463 с,  = 0,927 рад.

Задача 30. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время , считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

Ответ: = 15 мин.

Задача 31. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника  = 0,003. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

Ответ: N = 231.

Задача 32*. Гиря массой т = 0,5 кг подвешена к пружине жесткостью k = 20 и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания  = 0,004. Сколько колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза? За какое время t произойдет это уменьшение?

Ответ: N = 173, t = 172 с.

Задача 33. Тело массой т = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления.

Ответ: r = 9,16 .

Задача 34. Материальная точка колеблется согласно уравнению , где А = 5 см и  = с^-1. Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу t.

Ответ: 1) t = 4 c; 2) t = рад.

Задача 35. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону , м. Определите полную энергию Е этой точки.

Ответ: Е = 15,8 мДж.

Задача 36. Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила F_max, действующая на точку, равна -0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колебаний равен 4 с, а начальная фаза .

Ответ: , м.

Задача 37. Определите отношение кинетической энергии Т точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебаний.

Ответ: .

Задача 38. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия T_max груза составляет 0,8 Дж.

Ответ: k = 250 .

Задача 39. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А₁ = 4 см и А₂ = 8 см имеют разность фаз  = 45. Определите амплитуду результирующего колебания.

Ответ: А = 11,2 см.

Задача 40. Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60, равна А = 6 см. Определите амплитуду А₂ второго колебания, если А₁ = 5 см.

Ответ: А₂ = 1,65 см.

Задача 41. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = = 5 см составляет . Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

Ответ: , см.

Задача 42. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями , см и , см. Определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

Ответ: 1) А = 5,54 см; 2)  = ; 3) , см.

Задача 43. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями и , где А, В и  - положительные постоянные. Определите уравнение траектории точки, вычертите ее с нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.

Ответ: , по часовой стрелке.

Задача 44. Амплитуда затухающих колебаний маятника за t = 2 мин уменьшилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания .

Ответ:  = 5,7810^-3 с^-1.

Задача 45. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.

Ответ: .