3.2. Прямая линия на плоскости

Прямую линию на плоскости относительно системы прямоугольных декартовых координат можно задать различными способами и в результате получить различные виды уравнения прямой.

.Общим уравнениемпрямой на плоскости называется уравнение вида

. (3.7)

. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом , (3.8)

г

Рис. 3.1

деугловой коэффициентом прямой,

угол наклона прямой к положительному

направлению оси ,величина отрезка,

отсекаемая прямой на оси (рис.3.2).

. Уравнение прямой в отрезках на осях

, (3.9)

где отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 3.2).

.

Рис. 3.1

Уравнениепрямой, проходящей через две точкии

. (3.10)

.Нормальное уравнение прямой

, (3.11)

где длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала

координат, угол, отсчитываемый от положительного направления оси

против часовой стрелки до перпендикуляра(рис. 3.2).

. Задачи на прямую линию

1. Если прямые заданы общими уравнениями и , тоугол между двумя прямыминаходится по формуле

. (3.12)

Если прямые заданы уравнениями

и,

(рис. 3.3) то формула (3.12) принимает вид

, (3.13)

где ,,угол, отсчи-

тываемый от прямой до прямойпо

часовой стрелке.

Условие параллельности прямых

или. (3.14)

Условие перпендикулярностипрямых

или. (3.15)

2. Точка пересечения двух прямых, заданных общими уравнениями

;. (3.16)

3. Уравнение пучка прямых

Пучком прямых, проходящих через заданную точку называют совокупность всех прямых, проходящих через эту точку

. (3.17)

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых имеет вид

. (3.18)

Здесь параметр неопределен.

4. Расстояние от данной точки до прямой

. (3.19)

3.2.1. Решение типовых примеров задания 5 РГР

1. Даны координаты вершин треугольника :, ,.Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнение стороныи ее угловой коэффициент; уравнение стороны; 3) уголв градусах;4) уравнение высоты и ее длину; 5) уравнение медианыи координаты точки, пересечения этой медианы с высотой; 6) уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно стороне.

Решение.1. Расстояниемежду точкамииравно

.

В нашем случае ,и длина стороны

15 ед. длины.

2. Запишем уравнение прямой, проходящей черези

;..

Решив последнее уравнение относительно у, находим:

;, откуда.

Подставив в (3.10) координаты точек и, получим уравнение:

;.

Искомый образован прямымии , коэффициенты которых ,,,. Подставив значения угловых коэффициентов в (3.12), получим

; рад или.

4. Высота перпендикулярна стороне. Чтобы найти ее угловой коэффициент, воспользуемся условием перпендикулярности прямых

.

Подставив в уравнение пучка прямых координаты точки и найден-ный угловой коэффициент, получим уравнение высоты

.

Длину высоты найдем как расстояние от точкидо прямойпо формуле (3.19), где,,,,

(ед. длины).

5. Найдем координаты точки , принадлежащей медиане:

.

Подставив в (3.10) координаты точек и, находим уравнение медианы:

;.

Координаты точки пересечения высотыи медианынайдем, учитывая, что в данном случае,,;,,

;;.

6. Так как искомая прямая параллельна стороне , то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой_:

.

Треугольник ,высота, медиана,прямаяи точкаМпостроены в системе координатхОуна рис.3.4.

Рис. 3.4