2.3.1. Решение типовых примеров задания 3 ргр

1. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторахи, если:

а);;;;;

б);.

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна модулю их векторного произведения (2.13):

.

Найдем векторное произведение векторов и

а)

.

Значит, площадь параллелограмма

(кв.ед.).

Ответ:7 кв.ед.

б) Если вектора заданы своими проекциями на оси координат, то в этом случае их векторное произведение вычисляется по формуле (2.12)

.

Площадь параллелограмма в этом случае

(кв. ед.)

Ответ:7 кв.е.д.;кв. ед.

2.4. Смешанное произведение трех векторов

.Смешанным произведением трех векторов,иназывается число, являющееся произведением вектораскалярно на вектор:

или(2.15)

Если вектора заданы своими координатами, то смешанное произведе-ние трех векторов равно определителю третьего порядка, который состоит из соответствующих координат перемножаемых векторов

. (2.16)

. Свойства смешанного произведения

1. Если в смешанном произведении поменять местами любые два множителя, то смешанное произведение изменит знак на противоположный

.

2. Вектора ,,компланарнытогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

. Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль смешанного произведения

равен объему параллелепипеда,

построенного на векторах ,и

отнесенных к общему началу:

. (2.17)

. Приложение.Объем треугольной

пирамиды, (тетраэдра) построенных на векторах

,,равен

Рис. 2.6

. (2.18)

. Условие компланарности. Необходимым и достаточным условиемкомпланарности трех векторов ,,является равенство нулю их смешанного произведения:

.

2.4.1. Решение типовых примеров задания 4 ргр

Пример 2.3.Вычислить объем тетраэдра

и площадь грани, если;

;;.

Решение. Сделаем схематический рисунок

(2.7). Объем тетраэдра, согласно (2.18)

.

Найдем вектора ;

;

.

Тогда объем тетраэдра

=(куб. ед.).

Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построен-ного на векторахи. Обозначим векторное произведениечерез. Тогда модуль векторавыражает площадь параллелограмма

.

(кв. ед.).

Ответ.куб. ед.;кв.ед.

3. Аналитическая геометрия на плоскости

3.1. Длина и направление отрезка. Деление отрезка а заданном отношении. Площадь треугольника.

Длина отрезка на плоскости

(рис. 3.1), заданного координатами своего

начала и концарана

. (3.1)

Если начало отрезка совпадает с

началом координат, то формула (3.1) при-

нимает вид

. (3.2)

Пустьи– углы, составляемые отрезком с положительным направлением осейи, тогда

;(3.3)

Координаты точки, делящей отрезокв отношении, находятся по формулам

;. (3.4)

Если точка делит отрезокпополам, тои координаты равны;. (3.5)

Если число отрицательное, то точканаходится на продолжении отрезкаи деление называется внешним.

Площадь треугольника с вершинами,,вычисляется по формуле

. (3.6)

Если, следуя от ки, площадь обходится против часовой стрелке, то числоположительное, в противном случае – отрицательное.