1. Линейная алгебра

1.1. Определители. Вычисление определителей

.Определителем 2-го порядка называется выражение вида

.

Определителем 3-го порядка называется число выражение вида

.

Определителем го порядка называется выражение вида

.

Общее обозначение элементов определителя , гденомер строки,номер столбца,, то есть элементнаходится на пересеченииой строки иго столбца.

Диагональ, соединяющая левый верхний угол определителя с нижнем правым углом главной, а диагональ, соединяющая правый верхний угол с нижним левым углом определителя – побочной.

. Вычисление определителей.

1. Определители2-го порядка вычисляются по формуле

(1.1)

Пример 1.1. Вычислить определитель

Решение. .

2. Вычисление определителей3-го порядкапо правилу Саррюса или правилу треугольников.

При вычислении определителя 3-го порядка по правилу Саррюса к нему приписываются два первых столбца.Произведения элементов, лежа-щих на диагоналях, параллельных главной, берутся со знаком «», а эле-ментов, лежащих на диагоналях, параллельных побочной – со знаком «».

(1.2)

Определители 3-го порядка можно вычислять по правилу треугольников.

Произведения элементов, расположенных на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со знаком «», а элементов, расположенных на побочной диагонали и в вер-шинах треугольников с основаниями параллельными ей, – со знаком «».

Пример 1.2. Вычислить определитель

а) по правилу Саррюса;б) по правилу треугольников.

Решение. а) Вычислим определитель по правилу Саррюса

.

б) Вычислим определитель по правилу треугольников

.

3. Вычисление определителей разложением по элементам строки (или столбца).

а) Минором соответствующим элементуопределителяго порядканазывается определительго порядка, который получается из определителяпутем вычеркиванияй строки иго столбца, на пересечении которых находится элемент.

б) Алгебраическим дополнением элементаопределителяназывается его минор, взятый со знаком, т.е.

.

в) Всякий определитель равен сумме произведений элементов неко-торой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Например, разложение определителя 3-го порядка по элементам первой строки имеет вид

(1.3)

.

Пример 1.3. Вычислить определители разложением по элементам первой

строки: .

Решение.Разложим определители по элементам первой строки:

.

1.2. Матрицы и их свойства

.Матрицейразмераназывается прямоугольная таблица, состоящая из элементов, содержащаястрок истолбцов. Каждую такую таблицу заключают в круглые скобки или двойные вертикальные черточки и обозначают какой-либо большой буквой латинского алфавита.

Например,

, или.

В сокращенной записи матрица обозначается

; или;;.

Числа называются элементами матрицы, индексобозначает номер строки, а- номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Матрица, в которой число рядков равно числу столбцов, называется квадратной.

Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называют главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним – побочной диагональю матрицы.

. Умножение матриц.

1. Операция умножения вводится только для согласованных матриц. Матрица называетсясогласованной с матрицей , если количество столбцов матрицыравно количеству строк матрицы.

Заметим, что из согласованности матрицы с не следует согла-сованность матриц с.

Произведением двух матриц и,заданных в определен-ном порядке (– первая,– вторая) называется матрица, каждый элемент которойравен сумме произведений элементовой строки

матрицы на соответствующие элементыго столбца матрицы:

где ;.

Пример 1.4. Вычислить произведение матриц , если

; .

Решение.

,

где

;

.

Таким образом, окончательно имеем:

.

. Транспонирование матрицы

Транспонировать матрицу значит поменять местами строки и столбцы матрицы с сохранением их нумерации. Транспонированная матри-ца обозначается.

Например, ,.

. Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной матрице называется такая квадратная матрица, обозначаемая, которая удовлетворяет равенствам

и.

Для нахождения обратной матрицы , необходимо сначала вычис-лить определитель матрицыи убедится, что матрица невырожденная, затем записать транспонированную матрицу, далее, все эле-менты транспонированной матрицы заменить их алгебраическими допол-нениями, а затем полученное выражение разделить на определитель

. (1.4)