Некоторые типы кривых на плоскости, заданных

в полярных координатах:

Окружность;

Кардиоида;

Спираль Архимеда;

Четырехлепестковая роза ;

Лемниската Бернулли;

параметрически:

Окружность,,;

Эллипс ,,;

Астроида ;,;

Циклоида;,.

4. Аналитическая геометрия в пространстве

4.1. Плоскость . Основные уравнения плоскости

1. Общее уравнение плоскости

, (4.1)

где вектор, перпендику-

лярный плоскости (рис. 4.1).

2. Нормальное уравнение плоскости

, (4.2)

где длина перпендикуляра, опущен-

ного на плоскость из начала координат;

углы, которые этот перпенди-

куляр образует с положительными

направлениями координатных осей

(рис.4.2).

Для приведения общего уравнения

плоскости (4.1) к нормальному виду,

нужно это уравнение умножить на норми-

рующий множитель

, (4.3)

при этом знак нормирующего множителя

должен быть противоположен знаку в уравнении (4.1). Если, то знакможет быть любой.

2. Уравнение плоскости в отрезках на осях

, (4.4)

где отрезки, которые отсекает плоскость на координатных осях.

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точкуи перпендикулярной данному вектору

. (4.5)

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки,,

. (4.6)

. Основные задачи на плоскость

1. Угол между двумя плоскостямииравен углу между нормальными к ним векторами,

. (4.7)

Знак « + » соответствует выбору острого угла, знак « – » – тупого угла.

2. Направляющие косинусы нормали определяются по формулам

;;

. (4.8)

Знак корня берется противоположным знаку свободного члена уравнения (4.1). Если, то знак произволен.

3. Условие параллельности плоскостей

. (4.9)

4. Условие перпендикулярностиплоскостей

. (4.10)

.Расстояние от точки до плоскости

. (4.11)

4.1.1. Решение типовых примеров задания 8 ргр

1.Даны координаты точек,,,. Требуется:

1. Написать уравнение плоскости: а)– проходящей через точкуперпендикулярно вектору;б)– проходящей через точку параллельно векторамив) проходящей через точки .

2. Проверить, выполняется ли условие перпендикулярности плоскостей ,и параллельности плоскостей,;

3. Найти расстояние от точкидо плоскости.

Решение. 1.а) Уравнение плоскости,проходящей через точкуперпендикулярно векторуимеет вид (4.6):

. (1)

В качестве направляющего вектора примем вектор .

Заменив в уравнении пучка плоскостей (1) коэффициенты ,,числами 4,,, и подставляя вместо,,координаты точки, получим уравнение плоскости:

;.

б) Координаты вектора, перпендикулярного вектораминайдем из вычисления их векторного произведения.

Для этого определим сначала координаты проекций вектора

Напишем уравнение плоскости

.

в) Уравнение плоскости, проходящей через точки,,, имеет вид (4.6):

. (3)

Подставив в (3) координаты точек ,,, получим

.

Разложим определитель по элементам первой строки:

., т.е. имеем;;;.

2. Условие перпендикулярности плоскостей изаписывается как

выполняется.

Условие параллельности плоскостей и

– выполняется.

3. Расстояние от точки до плоскости, заданной уравнениемнайдем по формуле

. (4)

Подставляя в уравнение (4) найденные значения коэффициентов ,,,и координаты точкиимеем:

(ед. длины.)

Ответ: 1.а);б);в); 2. Выполняется 3.ед. длины.