8.2. Решение уравнений электродинамики для расчета процесса взаимодействия электронного пучка с электромагнитным полем распределенного резонатора в линейном приближении

8.2.1. Построение модели взаимодействия электронного пучка с полем распределенного резонатора в линейном приближении на основе представления системы в виде эквивалентного контура

Для теоретического описания процессов взаимодействия электронного пучка с СВЧ полем распределенных резонаторов в линейном приближении предлагается использовать модель, в которой РРописывается с помощью некоего эквивалентного параллельного резонансного контура (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Эквивалентный резонансный контур, описывающий распределенный резонатор

Эквивалентный резонансный контур, описывающий распределенный резонатор, характеризуется следующими собственными параметрами:

; (8.2)

; (8.3)

, (8.4)

где R_ш – шунт-импеданс ненагруженногоРР;– характеристический импеданс;Q_ox – собственная «холодная» добротностьРР;₀– собственная частота «холодного»РР;W– энергия, запасенная вРР;P_пот– мощность собственных потерь вРР;U– эффективное напряжение на концахРР.

Соотношения (8.2)–(8.4) заимствованы из теории резонаторов и справедливы для квазистационарных систем, для которых СВЧ напряжение на зазоре может быть определено как

, (8.5)

где E– напряженность поля в зазоре;– ширина зазора.

Условие резонанса в отрезке замедляющей структуры (условие электрической замкнутости системы) определяется соотношением

, (8.6)

где =/v_ф = 2/_з– постоянная распространения волны в ЗС;L– длина отрезка замедляющей системы;v_ф – фазовая скоростьволны в ЗС;  – круговая частота волны; m – число полуволн, укладывающихся на длине L (m = 1, 2, 3...); _з – длина волны в ЗС.

Из соотношения (8.6) легко можно определить собственную частоту конкретного резонатора

₀=mv_ф/L. (8.7)

При условии малых потерь в таком резонаторе СВЧ поле в нем может быть описано полем стоячей волны, например, вида

. (8.8)

Естественно, что в этом случае (особенно при m= 2, 4, 6...) определение СВЧ напряжения на концахРРв соответствии с (8.5) теряет смысл, поэтому эффективное напряжение для случая распределенных резонаторов предлагается определять из соотношения

. (8.9)

Учитывая соотношения (8.7)–(8.8), получаем, что эффективное напряжение в РРимеет вид

. (8.10)

Если же зависимость поля от продольной координаты имеет вид, отличный от (8.8), например, какое-либо экспериментально полученное распределение, то необходимо пользоваться непосредственно соотношением (8.9).

Характеристический импеданс РРс учетом (8.2)–(8.4) и (8.10) можно представить в виде

. (8.11)

Запасенная в распределенном резонаторе энергия W равна сумме энергий падающей и отраженной волн, которые при условии малости потерь в РРможно считать равными по величине

, (8.12)

где W⁺,W^– – энергия прямой и обратной волн вРРсоответственно,W_в– энергия бегущей волны на единицу длины.

Перенос энергии волны в направляющих структурах принято характеризовать групповой скоростью v_гр. Тогда поток мощности бегущей в структуре волны можно определить следующим образом:

P_в = W_вv_гр. (8.13)

С другой стороны, согласно определению сопротивления связи замедляющих структур

, (8.14)

где R_св – сопротивление связи ЗС, характеризующее интенсивность взаимодействия электронного пучка с полем бегущей по структуре волны;E_в – амплитуда бегущей в ЗС волны, которая для полей вида (8.8) может быть выражена через амплитуду стоячей волны резонатора:Е_в =Е₀/2.

Таким образом, используя исходное «резонаторное» определение характеристического импеданса распределенных резонаторов, мы можем определить его через параметры замедляющей структуры, отрезком которой является данный РР.

. (8.15)

Такие параметры замедляющей структуры, как постоянная распространения , сопротивление связиR_св, фазовая и групповая скоростиv_гр ,v_ф, могут быть рассчитаны, исходя из геометрических размеров ЗС, если решено соответствующее дисперсионное уравнение (ДУ) структуры. Вывод дисперсионного уравнения для спиральных ЗС различных модификаций приведен в [32, 33]. ДУ спиральных структур представляет собой громоздкую комбинацию функций Бесселя, образующих трансцендентное уравнение, которое может быть решено численно с помощью различных методов.

Таким образом, характеристический импеданс эквивалентногоРРконтура может быть определен, если известныгеометрические размеры резонатора и частота возбуждающего сигнала.

8.2.2. Собственная проводимость и собственная добротность распределенного резонатора

Собственная проводимость РРпри представлении его в виде эквивалентного контура (рис. 8.1) может быть определена как

, (8.16)

где g_к– активная часть собственной проводимости контура, определяющаяся потерями (шунт-импедансом);b_к– реактивная часть собственной проводимости контура, определяющаяся запасённой в контуре энергией (реактивным сопротивлением).

; (8.17)

. (8.18)

Для определения собственной добротности распределенного резонатора рассмотрим модель РР, представленную на рис. 8.2.

Будем предполагать, что собственное колебание в анализируемой системе имеет вид стоячей электромагнитной волны

Рис. 8.2. Модель распределенного резонатора

между двумя отражающими элементами, расположенными на расстоянии Lдруг от друга. Стоячая волна представляет собой сумму двух противоположно бегущих волн одинаковой амплитуды и переносящих одинаковую мощность (рис. 8.2). Каждая из волн теряет при прохождении длиныLчасть своей мощности, соответствующей мощности потерь, которую можно записать в виде (см. рис. 8.2)

. (8.19)

Затухание мощности в резонаторе за счет омических потерь происходит по закону e^-2L (2– коэффициент затухания мощности на единицу длины). Таким образом,

. (8.20)

Из мощности волны Р₁e^-2L, распространяющейся по замедляющей системе в направлении вывода энергии, в нагрузку уходитР_вых. Коэффициент отражения волны в месте вывода энергии равен

. (8.21)

Суммарная мощность потерь за период, которая складывается из мощности омических потерь стоячей электромагнитной волны и мощности, уходящей в нагрузку, имеет вид

. (8.22)

С учетом соотношения, связывающего поток мощности в структуре с амплитудой поля бегущей волны и сопротивлением связи (8.14), получаем

. (8.23)

Добротность резонатора пропорциональна отношению полного запаса энергии колебаний при резонансе к потерям энергии за период (см. (8.4)). Запасенная мощность на единицу длины связана с запасенной в резонаторе энергией соотношением (8.13), или, в соответствии с рис. 8.2

, (8.24)

где множитель 2 перед Р₁учитывает, что обе бегущие волны переносят одинаковую мощность. Для нахождения полной энергии, запасенной в резонаторе, нужно умножить (8.24) на длину резонатораL. Подставляя (8.21) и (8.24) в (8.4), получим выражение для добротности распределенного резонатора

. (8.25)

При условии малости собственных потерь в РРи коэффициенте отражения волны от концов резонатора близком к единице,L<< 1 иГ1. Тогда выражение (8.25) будет иметь вид

. (8.26)

Коэффициент затухания также может быть определен, если решено ДУ соответствующей замедляющей структуры.

8.2.3. Проводимость и добротность распределенного резонатора, нагруженного электронным пучком

Если распределенный резонатор нагружен электронным потоком, то это можно интерпретировать так: параллельно контуру на рис. 8.1 включена комплексная электронная проводимость (рис. 8.3).

Эта проводимость может быть записана в виде

, (8.27)

Рис. 8.3. Эквивалентная схема резонатора, нагруженного электронным пучком

где Pе– комплексная электронная мощность взаимодействия;Pеа,Pеr– активная и реактивная электронные мощности взаимодействия соответственно; gе, bе – активная и реактивная электронные проводимости соответственно.

Значение «горячей» добротности РР (добротности резонатора, нагруженного электронным пучком) можно получить, записывая для схемы рис. 8.3 соотношение, аналогичное (8.3). Тогда

, (8.28)

где Q_ог– собственная «горячая» добротностьРР.

Таким образом, активная мощность взаимодействия электронного пучка с полем резонатора приведет к изменению добротности РР. Наличие же реактивной мощности взаимодействия приведет к «горячему» смещению резонансной частотыРР.

8.2.4. Амплитудное и фазовое условие самовозбуждения генератора

Величина смещения «горячей» резонансной частоты

, (8.29)

где ₀– собственная частота «холодного» резонатора;_г– частота генерации, может быть определена из условия обращения в нуль полной реактивной проводимости контура (условие «баланса фаз» генератора) при₀ =_г. При небольшой величине расстройки

(8.30)

на частоте _гсобственная реактивная проводимость эквивалентного контура в соответствии с (8.29) может быть представлена в виде

. (8.31)

С учетом (8.22) условие «баланса фаз»

(8.32)

приводит к следующему выражению для «горячей» резонансной частоты распределенного резонатора

. (8.33)

Условие обращения в нуль суммарной активной проводимости нагруженного электронным пучком распределенного резонатора (условие «баланса амплитуд») определяет совместно с (8.32) параметры, при которых происходит самовозбуждение РР

. (8.34)

Видно, что при выполнении условия (8.34) собственная «горячая» добротность РР(8.28) формально стремится к бесконечности.

Таким образом, мы получили условия самовозбуждения распределенного резонатора, нагруженного электронным пучком (8.33), (8.34). В этих уравнениях эквивалентные параметры РР, такие, как характеристический импеданс, добротность, собственная частота колебаний, могут быть с помощью соотношений (8.7),(8.15), (8.26) выражены через параметры замедляющей структуры, из которой изготовлен РР. Параметры же, например, спиральной ЗС могут быть рассчитаны, исходя из конструктивных характеристик структуры: ее геометрии, материалов, используемых при изготовлении спирали, опорных элементов и кожуха материалов.

Для расчета стартового тока генерации, а также частоты, на которой будет самовозбуждаться распределенный резонатор, нагруженный электронным пучком, необходимо в соотношениях (8.33), (8.34) определить действительную g_eи мнимуюb_eчасти проводимости электронного пучка. Эти величины, согласно (8.27), могут быть выражены через активную и реактивную мощности взаимодействия пучка с полемРР.

Величина комплексной электронной мощности взаимодействия, по определению, может быть найдена из соотношения [31]

, (8.35)

где E(z) – распределение собственного поля в резонаторе, например, вида (8.8);I_(z) – величина переменной составляющей тока электронного пучка.

Соответственно активная и реактивная мощности взаимодействия могут быть определены как реальная и мнимая части выражения (8.35)

;. (8.36)

Для определения амплитуды стационарных колебаний в резонансном генераторе можно воспользоваться соотношением, выражающим баланс активных мощностей в произвольной точке вдоль длины пространства взаимодействия

, (8.37)

где Р_потопределяется соотношением (8.3), т. е. активная составляющая мощности, отдаваемая электронным потоком СВЧ полю, частично идет на покрытие омических потерь в стенках резонатора, а частично – в нагрузку.

Воспользовавшись (8.31), можно получить также несколько иную форму записи условия «баланса фаз»

. (8.38)

8.2.5. Комплексная амплитуда переменной составляющей тока электронного пучка при взаимодействии с полем РР

Уравнение, описывающее эволюцию переменной составляющей плотности тока электронного пучка при взаимодействии с полем заданной конфигурации, может быть получено из уравнения движения электрона в заданном поле (8.39) и уравнения непрерывности (8.40), выражающего закон сохранения заряда в дифференциальной форме. Будем рассматривать случай бесконечно широкого электронного потока, т. е. рассмотрим систему в одномерном приближении. Все параметры в таком приближении зависят только от двух переменных – времени tи продольной координатыz(t)

, (8.39)

, (8.40)

где еиm_e– заряд и масса электрона соответственно;v– скорость электрона,; и– плотность заряда и тока в электронном пучке соответственно.

Линеаризуя уравнения (8.39) и (8.40) с использованием метода малых возмущений и предполагая гармоническую зависимость от времени всех переменных величин, получаем уравнение, описывающее эволюцию переменной составляющей плотности тока электронного пучка при взаимодействии с полем заданной конфигурации E_ и собственным полем пространственного зарядаE_пз

, (8.41)

где – постоянная распространения электронов пучка; – постоянная распространения волн пространственного заряда пучка;– квадрат плазменной частоты пучка;n_b– плотность электронов в пучке.

Полученные выражения, как отмечалось выше, найдены в предположении бесконечно широкого электронного потока, которому отвечает волновое число _b. В случае пучков с ограниченным поперечным сечением под_bпринято понимать так называемое редуцированное волновое число

_b’ =R_b, (8.42)

где R– коэффициент редукции, учитывающий уменьшение плазменной частоты пучка ограниченного поперечного сечения по отношению к бесконечно широкому электронному пучку.

Выражение для коэффициента редукции приведено, например, в [9] и имеет вид

, (8.43)

где а– радиус пучка;b’ – радиус пролетной трубки дрейфа;– постоянная распространения волны;I_0a =I₀(a);I_1b’ =I₁(b’);K_0a =K₀(a);K_1b’ =K₁(b’) – функции Бесселя.

Далее везде при расчетах будем под _b понимать редуцированное волновое число_b^ в случае пучков ограниченного сечения и ранее определенное волновое число_b для бесконечно широкого электронного пучка.

Из уравнения (8.40) и закона Кулона в дифференциальной форме divD =можно получить соотношение

, (8.44)

интегрируя которое, получаем выражение для переменной составляющей поля пространственного заряда пучка (постоянную составляющую мы считаем скомпенсированной неподвижными ионами)

. (8.45)

Тогда, подставив это значение E_пзв уравнение (8.41), мы можем записать уравнение, которое показывает, как изменяется плотность тока пучка при воздействии на него внешнего электромагнитного поля

. (8.46)

Решением однородного дифференциального уравнения, соответствующего (8.46) и описывающего эволюцию плотности тока пучка в отсутствие внешнего поля, будет являться суперпозиция двух волн пространственного заряда, которые принято называть быстрой и медленной (БВПЗ и МВПЗ) в зависимости от соотношения их фазовой скорости и скорости пучка.

Например, фазовая скорость:

для БВПЗ; (8.47)

для MВПЗ. (8.48)

Вид частного решения неоднородного уравнения (8.46) в этом случае получаем, выбирая положения начала координат z₀ = 0

, (8.49)

где учтено, что , – ускоряющее напряжение электронной пушки.

Общее решение исходного уравнения (8.46) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения с соответствующими постоянными распространения и частного решения неоднородного уравнения (8.49) [34]

_(8.50)

При этом амплитуды БВПЗ A₁ и МВПЗA₂ должны определяться условиями начальной модуляции тока пучка. Первое граничное условие, очевидно, имеет вид

, (8.51)

где i_0 – начальная модуляция плотности тока пучка.

Для получения второго граничного условия воспользуемся уравнением непрерывности (8.40)

, (8.52)

где v_0 – начальная модуляция скорости пучка.

Подставляя (8.50) в (8.51) и (8.52) и решая полученную систему уравнений относительно A₁ иA₂, получаем

;. (8.53)

Таким образом, переменная составляющая плотности тока пучка в соответствии с (8.50) и (8.53) представляет собой сумму быстрой и медленной волн пространственного заряда, амплитуды которых обусловлены наличием начальной модуляции электронного пучка, и добавочного члена, описывающего изменения плотности тока пучка под действием внешнего поля. Влияние внешнего СВЧ поля может также быть учтено отдельно для БВПЗ и МВПЗ.

Окончательно решение уравнения (8.46) с начальными условиями (8.51), (8.52), описывающее эволюцию переменной составляющей плотности тока электронного пучка под действием собственного пространственного заряда и внешнего СВЧ поля, дается соотношением

(8.54)

Пользуясь полученным соотношением (8.54) мы можем определить также переменную составляющую скорости электронов пучка



+ .(8.55)

Таким образом, выражение (8.54) позволяет определить в общем виде переменную составляющую плотности тока i_ как функцию координатыz, если заданы:

1) переменные составляющие плотности тока i_и скорости электроновv_приz= 0;

2) зависимость напряженности внешнего СВЧ поля от продольной координаты z.

Переменная составляющая тока электронного пучка I_(z) определяется изi_(z) при помощи умножения на площадь поперечного сечения пучка. Для цилиндрического электронного пучка радиусаr_b

. (8.56)

Вычисление активной и реактивной проводимости электронного пучка в распределенном резонаторе проводится следующим образом.

Будем считать, что поле в распределенном резонаторе описывается стоячей волной вида (8.8). Подставляя такую стоячую волну в выражения (8.54) и (8.55) и проводя интегрирование, получаем следующие выражения для переменных составляющих тока и скорости электронного пучка

(8.57)

. (8.58)

8.2.6. Активная и реактивная проводимости электронного пучка в распределенном резонаторе

Для определения активной и реактивной проводимости электронного пучка в распределенном резонаторе необходимо выполнить интегрирование в соответствии с (8.35), подставив в это уравнение переменную составляющую тока пучка в соответствии с (8.57) и распределение поля в виде (8.8). При этом необходимо принять во внимание соотношение (8.6), несколько упрощающее полученное громоздкое выражение. Вычислив комплексную мощность взаимодействия электронного пучка с полем распределенного резонатора, разделим действительную и мнимую части, а затем по формулам

; (8.59)

(8.60)

определим активную и реактивную проводимости пучка в РР.

Полученные таким путем выражения будут выглядеть следующим образом:

_(8.61)

_(8.62)

где – проводимость невозмущенного пучка.

8.2.7. Условия самовозбуждения распределенного резонатора, пронизываемого электронным пучком

Подставляя полученные соотношения для активной и реактивной проводимостей пучка в условия «баланса фаз» (8.33) и «баланса амплитуд» (8.34), получаем условия, которые определяют самовозбуждение резонатора. Для того чтобы определить стартовый ток генерации I_ст, необходимо решить трансцендентное уравнение (8.34), подставив в него (8.61), (8.62), относительно_b. Затем стартовый ток определяется по формуле

. (8.63)

Возможен также менее строгий, но более наглядный способ, позволяющий избежать решения трансцендентного уравнения, и который можно использовать для предварительных оценок. Для его реализации необходимо заранее определить зависимости g_e/G₀от различных параметров пучка и распределенного резонатора по формуле (8.61), построить соответствующие графики и, задавшись каким-либо конкретным значениемg_e/G₀, определить стартовый ток по формуле

. (8.64)

Из соотношения (8.64) видно, что уменьшить стартовый ток генерации можно, увеличивая сопротивление связи, добротность РРи добиваясь максимального значения отношенияg_e/G₀.

Частоту, на которой самовозбудится РР, можно в соответствии с (8.16) и (8.33) определить по формуле

. (8.65)

Из (8.65) видно, что максимальное абсолютное значение реактивной проводимости пучка приводит к максимальному отклонению частоты самовозбуждения от собственной частоты резонатора.

На рис. 8.4, 8.5 приведены зависимости относительной активной проводимости пучка g_e/G₀от соотношениямежду фазовой скоростью прямой волны вРРи скоростью электронов пучка. Отрицательные значенияg_e/G₀соответствуют отрицательной мощности взаимодействия пучка с волной, т. е. в этом случае пучок передает энергию волне. Из рисунков видно, что при некоторомпроисходит максимально эффективное преобразование энергии пучка в энергию СВЧ волны. Соответствующие значенияg_e/G₀будут определять минимальный стартовый ток генерации.

На рис. 8.6, 8.7 приведены зависимости относительной реактивной проводимости пучка b_e/G₀от соотношениямежду фазовой скоростью прямой волны вРРи скоростью электронов пучка.

Рис. 8.4. График зависимости активной составляющей относительной электронной проводимости от отношения V₀ /V_ф при различных значениях числа полуволн, укладывающихся в резонаторе N (I₀ = 0,001 А)

Рис. 8.5. График зависимости активной составляющей относительной электронной проводимости от отношения V₀ /V_ф при различных значениях I₀ (N = 3): 1 – I₀ = 0,001 А, 2 – I₀ = 0,005 А, 3 – I₀ = 0,01 А, 4 – I₀ = 0,05 А, 5 – I₀ = 0,1 А, 6 – I₀ = 0,05 А, 7 – I₀ = 1,0 А

Рис. 8.6. График зависимости реактивной составляющей относительной электронной проводимости от отношения V₀ /V_ф при различных значениях N (I₀ = 0,001 А)

Рис. 8.7. График зависимости реактивной составляющей относительной электронной проводимости от отношения V₀ /V_ф при различных значениях I₀ (N = 3): 1 – I₀ = 0,001 А, 2 – I₀ = 0,005 А, 3 – I₀ = 0,01 А, 4 – I₀ = 0,05 А, 5 – I₀ = 0,1 А, 6 – I₀ = 0,05 А, 7 – I₀ = 1,0 А