7.2 Физические основы усиления и генерации свч колебаний в пучково-плазменных системах

7.2.1 Неустойчивость пучково-плазменных систем

Поиски новых методов генерирования, усиления и преобразования сверхвысокочастотных колебаний и широкое развитие работ по исследованию плазмы, привели к возникновению нового направления в электронике сверхвысоких частот - плазменной электронике СВЧ. Плазма имеет хорошие высокочастотные свойства. Во-первых, с помощью плазмы можно передавать и канализировать электромагнитные волны; во-вторых, плазма обладает резонансными свойствами, и электронный плазменный резонанс имеет место в широком диапазоне сверхвысоких частот; в-третьих, большой интерес представляют сильно выраженные нелинейные свойства плазмы; в-четвертых, плазма проницаема по отношению к электронному потоку. Однако, определяющим и наиболее интересным свойством с точки зрения усиления и генерирования СВЧ колебаний является неустойчивость системы плазма - электронный пучок в широком диапазоне изменения параметров пучка и плазмы, т.е. способность к самопроизвольному нарастанию возникающих в системе возмущений. С энергетической точки зрения пучково-плазменные неустойчивости обусловлены неравновесностью распределения частиц по скоростям за счёт быстрого электронного потока и стремлением высвободить этот избыток свободной энергии над термодинамически равновесной плазмой. Данные неустойчивости приводят к нарастанию ленгмюровских волн с фазовыми скоростями, несколько меньшими начальной скорости пучка и усиление происходит до тех пор, пока не будет исчерпан запас энергии электронов пучка в системе координат, движущейся вместе с волной. В плазме с электронным пучком легко развиваются различного рода неустойчивости [17, 18], которые характеризуются величиной определяющей быстроту нарастания колебаний в системе, называемой инкрементом неустойчивости. В качестве примера оценим величину инкремента наиболее распространённой - электрон-электронной неустойчивости безграничной системы плазма-пучок [17].

Пусть безграничный по поперечным координатам моноэнергетический пучок однозарядных частиц пронизывает холодную плазму, при этом плотность частиц пучка n_b, электронов плазмы n_e, ионов плазмы n_i, их массы, соответственно, m₀, m₀, m_i. В целом система квазинейтральна.

Допустим, что начальное возмущение в плазме имеет вид плоской волны с частотой  и волновым вектором , направленным вдоль распространения пучка. Будем считать, что волна возмущения - продольная ()

. (7.19)

Это поле вызовет колебания частиц плазмы с частотой , то есть их скорость . Тогда из уравнения движения для электронов плазмы

(7.20)

получим . Аналогично для ионов плазмы . Следовательно, плотность тока плазменных электронов

, (7.21)

а плотность тока ионов плазмы

. (7.22)

Из уравнения непрерывности

(7.23)

найдем колебательную плотность зарядов для электронов плазмы

. (7.24)

Аналогично для ионов плазмы

. (7.25)

Влияние поля на частицы пучка будет аналогичным, но с той лишь разницей, что эти частицы (движущиеся относительно плазмы со скоростью v), будут воспринимать колебания поля с частотой , отличающейся вследствие эффекта Доплера от частоты колебаний  в неподвижной системе отсчета. Поэтому переменная плотность пространственного заряда, вызванная полем в пучке, будет

. (7.26)

Из уравнения Пуассона

, (7.27)

где = -, получим

. (7.28)

Подставляя в (7.2.8) _e, _i, _b из (7.24), (7.25), (7.26), будем иметь

(7.29)

Так как нас интересуют только объемные волны, обусловленные пространственными зарядами внутри плазмы, то . Поэтому, сокращая (7.29) на , будем иметь

, (7.30)

где , , - соответственно квадраты ленгмюровских частот электронов пучка, электронов и ионов плазмы.

Полученное выражение (7.30) является дисперсионным уравнением безграничной системы “пучок-плазма”, связывающим частоту и волновой вектор волн, которые могут распространяться в данной системе.

Если в выражении (7.29) все члены перенести в левую часть и вынести за скобку , то, сравнивая с уравнением Максвелла для квазинейтральной системы , где и, следовательно, (так как в данном случае не зависит от координат) получим, что диэлектрическая проницаемость безграничной системы электронный пучок-плазма

. (7.31)

Если пренебречь в силу m_i>>m₀ ионным вкладом, дисперсионное уравнение будет иметь вид более простой вид:

. (7.32)

Исследование неустойчивости системы пучок-плазма при этом сводится к решению уравнения (7.32) и исследованию его корней, среди которых могут быть и комлексные значения частоты ω. В силу того, что наличие положительной мнимой части частоты будет означать экспоненциальный рост амплитуды колебаний ~ e^γt, где γ- инкремент неустойчивости.

Решить это уравнение четвертой степени относительно  проще всего графоаналитическим методом [17]. Второй член в (7.32) описывает колебания в неподвижной плазме, а первый - колебания в пучке с учетом эффекта Доплера. В отсутствии пучка , что означает распространение ленгмюровской волны с частотой =±_р, т.е. в положительном и отрицательном направлениях. В отсутствии плазмы , что означает распространение в пучке двух волн на частотах ₁=kv+_b и ₂=kv-_b. Их фазовые скорости (“быстрая” волна пространственного заряда, нормальный эффект Доплера, v_ф>v) и v_ф2=v (“медленная” волна пространственного заряда, аномальный эффект Доплера, v_ф<v). Обозначим левую часть (7.32) через и построим график этой функции. Точки пересечения графика функции Y(,k) с прямой Y=1 будут являться вещественными решениями уравнения (7.32) (рис. 7.1).

В зависимости от расположения прямой =kv прямая Y=1 может пересекать график функции Y(,k) либо в четыреx, либо в двух точках, соответствующих вещественным корням уравнения. Во втором случае число вещественных корней уравнения (7.32) равно двум. Всего же уравнение имеет четыре корня, поэтому два других - комплексные, при наличии которых и возможна неустойчивость. Мнимая часть комплексных корней исчезает при значениях kv, отвечающих точкам касания прямой Y=1 с параболой Y(,k).

Рис. 7.1. Качественный вид графического решения

дисперсионного уравнения . Случай наличия четырёх вещественных корней.

В реально важном случае, когда _p_b, прямая Y=1 будет касаться параболы при значении kv_p, при этом _p (рис. 7.2). Представляя уравнение (7.32) как

, (7.33)

Рис. 7.2 Качественный вид графического решения

дисперсионного уравнения в случае _p_b и _pkv

где и полагая =_p+, где -поправка к частоте и >>_p-kv, из (7.33) будем иметь:

. (7.34)

Так как , то

, (7.35)

и выражение (7.34) преобразуется к виду

. (7.36)

Поправка к частоте может быть комплексной, поэтому представим её как =_g+i и подставим в (7.36), предварительно сведя его к виду

. (7.37)

Тогда получим

. (7.38)

Приравнивая действительные члены в левой части уравнения к действительным членам в правой, а мнимые - к нулю, получим систему уравнений:

, (7.39)

. (7.40)

Решение данной системы при ненулевых  есть

и . (7.41)

Окончательно для =_p+ получим

. (7.42)

Для нарастающих возмущений, в силу того, что они пропорциональны ~ e^-ωt, нужно взять знак ”+”. Таким образом, вблизи порога неустойчивости системы пучок-плазма нарастают возмущения с частотой

(7.43)

и инкрементом

. (7.44)

Следует отметить, что Re<_pkv, то есть скорость электронов пучка должна превышать фазовую скорость возбуждаемой им волны - v>/k, что делает это явление сходным с аномальным эффектом Доплера.

Теперь рассмотрим случай, когда величина kv<_p не слишком близка к _p. Тогда из уравнения (7.33) для kv, учитывая малость параметра , получим:

, (7.45)

а для kv будем иметь

(7.46)

или

. (7.47)

Два из четырех корней (7.45) соответствуют ленгмюровским колебаниям = _p, а два других (7.47) при _p>kv будут комплексны, причем один из них с положительной мнимой частью соответствует развитию неустойчивости с инкрементом

. (7.48)

Определим пороговую плотность тока пучка, начиная с которого развивается неустойчивость системы плазма-пучок [18]. Граница неустойчивости соответствует случаю, когда прямая Y=1 (рис. 7.1) касается средней ветви функции Y(,k), т.е. производная функции Y(,k) по ω равна нулю. Следовательно, частота колебаний вблизи порога неустойчивости определяется из условия

(7.49)

или

, (7.50)

откуда

. (7.51)

Подставляя найденное значение частоты в дисперсионное уравнение (7.33) и выражая _b получим:

. (7.52)

Так как ленгмюровская частота пучка

, (7.53)

то

(7.54)

и для пороговой плотности тока пучка получим:

. (7.55)

Из вышеизложенного следует вывод, что при малых возмущениях в системе пучок-плазма, начиная с некоторого порога по плотности тока пучка, определяемого (7.55) возникает неустойчивость, ведущая к раскачке колебаний, имеющих частоту kv и инкремент (7.48). При условии _pkv колебания с частотой (7.43) имеют максимальный инкремент и поэтому являются определяющими.

Рассмотренная выше неустойчивость неограниченной плазмы, пронизываемой неограниченным пучком электронов, развивается во времени, т.е дисперсионное уравнение решается относительно ω, что соответствует начальной задаче. Усиление же волн должно рассматриваться в постановке граничной задачи - пучок входит в полуограниченную плазму и неустойчивость развивается в пространстве. В этом случае, в силу того, что инкремент колебаний будет определяться отрицательной мнимой частью комплексного волнового числа k. Рассматривая данную задачу параллельно усложним её, считая, что плазма “горячая”, т.е. электроны плазмы обладают средней тепловой скоростью v_тv. Тогда дисперсионное уравнение такой системы будет отличаться от выражения (7.30) и иметь следующий вид [17]:

(7.56)

Решение уравнения (7.56) относительно волнового числа k будем искать в виде

, (7.57)

где . Подставляя k в виде (7.57) в исходное уравнение, пренебрегая членом в скобках в силу малости и преобразовывая данное уравнение, получим:

(7.58)

Если частота волны возмущения не близка к плазменной частоте так, что

, (7.59)

то уравнение (7.58) с учётом v_тv принимает простой вид

. (7.60)

Откуда

, (7.61)

где . Один из корней имеет отрицательную мнимую часть, что и характеризует раскачку колебаний в системе.

Рассмотрим теперь решения уравнения (7.58), когда частота волны возмущения .Тогда

(7.62)

Представляя комплексным () и подставляя в уравнение (7.62), приравнивая действительные члены в левой части уравнения к действительным членам в правой, а мнимые - к нулю, получим систему уравнений:

, (7.63)

(7.64)

Выражая из второго уравнения и подставляя в первое, получим решение:

. (7.65)

Так как то имеет место неустойчивость. Её пространственный инкремент пропорционален и . Учитывая, что <<1, а инкремент резонансной неустойчивости во много раз больший, чем в случае нерезонансной, когда .

Таким образом, пространственная неустойчивость, как и временная, наиболее сильно развивается на ленгмюровской частоте плазмы, но с увеличением тепловой скорости электронов плазмы её инкремент уменьшается. Большие значения инкрементов, соответствующие различным типам неустойчивостей пучково-плазменных систем, делают перспективным создание на их основе высокомощных пучково-плазменных усилителей и генераторов в широком диапазоне СВЧ.