Kniga_16_Fizicheskie_osnovy_nanoinzhenerii-1

В 50-х годах появились транзисторы, в 60-х – интегральные микросхемы.

Микроэлектроника как область электроники, изучающая проблему создания электронных устройств в миниатюрном исполнении, появилась в начале шестидесятых годов. Развитие микроэлектроники показало, что она является одним из важнейших факторов, определяющих не только научно-технический прогресс, но и социальное развитие общества в целом. В частности, рынок электронного оборудования в последние годы динамично развивался со средней исторической скоростью 7% в год. Это как минимум в два раза превышает среднюю скорость роста ВВП

вразвитых странах, поэтому высказываются прогнозы, что электронная промышленность станет самой большой отраслью в мире

вХХI веке. Так, мировой рынок электронного оборудования превысил 1,2 триллиона долларов, обогнав рынок автомобилей.

Развитие микроэлектроники сопровождалось ростом степени интеграции при одновременном уменьшении минимального размера элементов интегральных схем (рис. 1.1)

Основными особенностями развития микроэлектроники во второй половине двадцатого века можно считать: резкое снижение себестоимости (применительно к элементу обработки единицы информации) при беспрецедентном снижении энергопотребления, с одновременным улучшением характеристических параметров.

Гигантский рост производства изделий микроэлектроники основывался во многом на увеличении диаметра полупроводниковых пластин, что само по себе представляло чрезвычайно сложную материаловедческую задачу, требующую решения большого комплекса научно-технических задач на каждом этапе увеличения диаметра. В настоящее время широко применяемый диаметр кристаллографически совершенных монокристаллов кремния, обладающих высокой чистотой и однородностью (менее одного атома примеси на 107 атомов кремния), применяемых в производстве, составляет 200 мм. В ближайшее время планируется, а на отдельных предприятиях уже и осуществляется переход на еще большие диаметры – 300 и 450 мм.

Магистральным направлением развития микроэлектроники является уменьшение топологических норм транзисторных структур, т. е. переход от микрометрового в нанометровый диапазон линейных размеров или создание малоразмерных структур. В этом случае говорят о наноэлектронике. Совсем иная физическая картина получается при рассмотрении наноэлектронных устройств. Уменьшение размеров на несколько порядков практически меняет физические основы работы наноэлементов.

Внаноэлементах используются уже не электроны как частицы, переносящие электрический заряд, а их волновые функции. Процессы дрейфа и диффузии, характерные для микроэлектроники,

внаноэлектронных элементах отсутствуют вовсе.

Вкачестве материалов изделий микроэлектроники используются легированные полупроводники. В наноэлектронике используются гетероструктуры, наноструктурированные материалы, кластеры, органические материалы. Технология формирования наноструктур или инженерия волновых функций основана на процессах направленного роста, методах сканирующей туннельной микроскопии,

атомной силовой микроскопии. Если плотность размещения активных элементов в интегральных схемах достигает 108 см2, то в устройствах наноэлектроники она может достигать 109–1010 элементов на квадратный сантиметр. Под наноэлектроникой понимают направление электроники, в котором изучаются физические явления

ипроцессы взаимодействия электронов с электромагнитными полями, а также разработка технологии (нанотехнология) создания приборов и устройств, в которых это взаимодействие используется для передачи, обработки и хранения информации. Наноэлектроника является логическим развитием микроэлектроники.

Наноэлектроника является, с одной стороны, неким продолжением развития традиционных идей микроэлектроники, связанным со схемотехническими методами обработки информации. С другой стороны, совершенно новые идеи в квантовых явлениях и эффектах открывают совершенно новые возможности создания приборов нового поколения.

Ожидается создание к 2015 г. транзисторов с шириной затвора 200 ангстрем и менее. Традиционные полевые транзисторы, выполненные по субмикронной технологии, приобретают новые свойства. Уменьшение толщины окисла, длины канала приводит

кквантованию поперечного движения в канале. В результате образуется квазидвухмерный газ носителей заряда, увеличивается их подвижность, увеличивается туннельный ток. При длинах затворов транзисторов до 20 нм они сравнимы с длиной когерентности

идлиной волн де Бройля при комнатной температуре.

Вквантовых структурах дискретность состояний системы определяется дискретностью безинерционного размерноквантового энергетического спектра. Это фундаментальное свойство квантовых приборов. Как уже упоминалось, в полупроводниковых квантовых приборах обработка, хранение и преобразование информации происходят путем контролируемой передислокации волновой функции в полупроводниковой наноструктуре. Один из способов перестройки волновой функции заключается в передислокации максимума вероятности нахождения электрона из одной части квантовой системы в другую. Эта передислокация осуществляется под действием внешнего напряжения, например с помощью квантовых точек, разделенных туннельно-прозрачными барьерами.

1.2.ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ИФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Цель лекции: ознакомление с элементами квантовой механики и физической статистики.

1.2.1. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ, УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

К XX веку было установлено, что атомные явления не могут быть описаны ни как движение частиц, ни как чисто волновые процессы. Так, в явлениях дифракции, интерференции проявляется волновая природа света. В фотоэлектрических явлениях, эффекте Комптона (изменение частоты или длины волны фотонов при их рассеянии электронами) свет ведет себя как частица. В 1924 г. французский физик де Бройль выдвинул гипотезу, что с каждым телом должна быть связана плоская волна:

λ = hp = mh v ,

где h = 6,6 10−34 Дж с – постоянная Планка; p – импульс.

Гипотеза де Бройля получила убедительное экспериментальное подтверждение. На волновых свойствах микрочастиц основана электронная микроскопия, нейтронография. Микрочастицы – электроны, протоны – нельзя представить в виде дробинки, уменьшенной до соответствующих размеров. Качественным отличительным признаком микрочастиц является органическое сочетание в них корпускулярных и волновых свойств.

Поскольку микрочастицы обладают волновыми свойствами, то и закон их движения должен описываться волновым уравнением. Впервые такое уравнение было записано Эрвином Шредингером (Австрия). Для микрочастицы, движущейся в силовом поле и об-

ладающей потенциальной энергией u (x, y, z,t ), оно имеет вид:

зывается волновой функцией. Она имеет следующий физический смысл: произведение Ψ на функцию Ψ*, комплексно сопряженную с Ψ, пропорционально вероятности того, что в момент времени t микрочастица может быть обнаружена в выделенном объ-

еме dV. Обозначим вероятность обнаружения микрочастицы

вобъеме dV через ω(x, y, z,t )dV. Тогда:

ω(x, y, z,t )dV = Ψ(x, y, z,t )Ψ* (x, y, z,t )dV.

Интеграл ∫ωdV , взятый по всему объему, равен 1, так как он

выражает достоверный факт, что микрочастица находится в этом объеме. Следовательно:

∫ΨΨ*dV =1.

Это условие называется условием нормировки, а волновые функции, удовлетворяющие ему, называются нормированными.

Закон движения микрочастицы постоянно определяется заданием функции Ψ в каждый момент времени в каждой точке пространства.

Потенциальная энергия в общем случае является функцией координат и времени. Однако в большинстве практических задач u является функцией только координат. В этом случае волновую функцию Ψ(x, y, z,t ) представляют в виде произведения функций

Ψ(x, y, z) и ϕ(t ):

Рассмотрим движение микрочастицы вдоль оси x. Тогда уравнение Шредингера можно записать так:

только от x. Они могут быть равны друг другу только в том слу-

чае, если каждая равна одной и той же постоянной величине E. Можно показать, что эта величина E есть полная энергия частицы E. Приравнивая левую и правую части уравнения −E, можно записать:

В общем случае уравнение (1.3) будет содержать вторые производные по другим координатам:

Через оператор Лапласа это уравнение можно записать так:

ΔΨ + 2m2 (E −u)Ψ = 0.

Функция Ψ(x, y, z), зависящая только от координат, называет-

ся амплитудной волновой функцией, а уравнение (1.5) – амплитудным уравнением Шредингера.

Было доказано, что при движении микрочастицы в ограниченной области пространства амплитудное уравнение Шредингера имеет решение только при определенных значениях энергии E: E1, E2 ,…, En , называемых собственными значениями энергии час-

тицы. Волновые функции Ψ1, Ψ2 ,…,Ψn , соответствующие этим энергиям, называются собственными волновыми функциями.

Решением уравнения (1.4) является:

Ψn = exp −i En t ,

где En – одно из собственных значений энергии. Функция ϕ(t ) выражает зависимость волновой функции Ψ(x, y, z,t ) от времени. Эта зависимость является гармонической с частотой νn = En h

или ωn = En .

Если потенциальная энергия является функцией только координат, то решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде:

Ψ(x, y, z,t )= Ψ(x, y, z)exp(−iωt ).

Вэтом случае вероятность обнаружения частицы в элементе объема равна:

ωdV = ΨΨ*dV

и не зависит от времени. Следовательно, распределение вероятности в пространстве является стационарным. Состояния микрочастиц, удовлетворяющие этому условию, называются стационарными состояниями. Амплитудное уравнение описывает стационарное состояние микрочастиц.

1.2.2.СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Кмикрочастицам, обладающим волновыми свойствами, применять понятия классической механики, например понятия координат частицы и ее импульса, можно лишь в ограниченной степени.

Пусть частица движется вдоль оси x и обладает импульсом px. Такой частице соответствует волна λ = h px , являющаяся по сво-

ей сущности протяженным объектом. Монохроматическая волна простирается по оси x от −∞ до +∞. Следовательно, интервал локализации микрочастицы x равен бесконечности. То есть микрочастица, имеющая определенный импульс px , не имеет опреде-

ленной координаты x. Можно показать, что микрочастица, имеющая определенную координату, не имеет определенного импульса. В отличие от классической частицы состояние микрочастицы не

может быть охарактеризовано заданием одновременно определенных координат и составляющих импульса. Задать состояние микрочастицы можно, лишь допуская неопределенность в значениях координат и значениях составляющих импульса. Количественно эта неопределенность описывается соотношениями, записанными Гейзенбергом в 1927 г.:

Из соотношений неопределенности следует, что чем точнее определяются координаты микрочастицы, тем неопределеннее становятся составляющие импульса. Поэтому бессмысленно говорить о траектории движения микрочастицы, т. е. о совокупности положений движущейся частицы в пространстве.

Соотношение неопределенности существует и между энергией и временем:

E t ≥ h,

где t – время, в течение которого частица обладает энергией

E ± E.

Из соотношения неопределенности для энергии и времени следует, что неопределенность энергии возрастает при уменьшении времени пребывания микрочастицы в данном энергетическом состоянии.

1.2.3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ ДЛЯ МИКРОЧАСТИЦ

Потенциальные барьеры и ямы для микрочастиц возникают, например, вследствие электрического взаимодействия электронов с ионами решетки в твердом теле, на границах раздела тел. Изменение потенциальной энергии частицы в зависимости от ее координат представляет собой потенциальный рельеф для этой частицы в заданном объеме. В кристаллах наблюдается периодический потенциальный рельеф, который в простейшем случае можно представить в виде совокупности одномерных прямоугольных барьеров, разделенных прямоугольными ямами.

Прямоугольный барьер полубесконечной толщины. Пусть в области A микрочастица имеет потенциальную энергию, равную нулю, а в области B – равную u.

Запишем одномерное амплитудное стационарное уравнение Шредингера:

∂2Ψ + 2m (E −u)Ψ = 0.

∂x2 2

Длина волны де Бройля для электрона равна:

λ = hp = mvh → ν = λhm .

Тогда кинетическая энергия

Следовательно, уравнение Шредингера можно переписать в ви-

де:

∂∂2xΨ2 + k2Ψ = 0.

Ψ= Ψ1; в области B: Ek = E −u, а Ψ = Ψ2.

Запишем уравнения Шредингера для областей A и B:

Общие решения уравнений (1.7) и (1.8) можно записать в виде:

Ψ1 = A1 exp(ik1x) + B1 exp(−ik1x); Ψ2 = A2 exp(ik2 x) + B2 exp(−ik2x),

где A1 – амплитуда падающей волны; B1 – амплитуда отраженной волны в области A; A2 – амплитуда волны, распространяющейся в области B в направлении x; B2 – амплитуда отраженной волны в области B; так как область B полубесконечна, то отраженной волны нет и B2 = 0.

Вероятность нахождения микрочастицы в том или ином месте пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля. Тогда

k = В1 2 ; А1 2

отношение квадрата амплитуды отраженной волны к квадрату амплитуды падающей волны называется коэффициентом отражения микрочастицы от барьера. А отношение квадрата амплитуды прошедшей волны к квадрату амплитуды падающей волны называется коэффициентом прозрачности:

D = А2 2 . А1 2