f_5y40we-arphclqbl0c

ББК 22.37 М 80 УДК 539.2

Рецензенты: А.Б. Грановский, В.Г. Жотиков

М 80 Морозов А.И. Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы: Учебное пособие / Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)» – М., 2010– 140 с.

В данном учебном пособии изложены основные понятия физики кристаллического состояния, рассмотрена динамика кристаллической решетки, проведено квантование ее колебаний и введено понятие о квазичастицах-фононах. На основе кинетического уравнения Больцмана исследован процесс теплопроводности в кристаллическом диэлектрике. Пособие предназначено для студентов специальностей 200100 и 202100 дневной формы обучения.

Табл. 6. Ил. 48. Библиограф.: 11 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

3

ВВЕДЕНИЕ

Уважаемый коллега! Приступая к изучению основ физики твердого тела, Вы находитесь в начале сложного и нелегкого пути. Это не самая простая дисциплина, требующая постоянных и целенаправленных усилий для ее постижения. Вместе с тем, это один из самых интересных разделов физики, которым занимается большинство посвятивших себя этой науке, что связано с её обширнейшими применениями.

Без знания физики твердого тела невозможно понять принцип действия приборов твердотельной электроники, тем более, не может быть и речи о создании новых приборов и устройств.

Изучить тонкости всех разделов физики твердого тела – задача, на решение которой может уйти вся жизнь, но знание основ этой науки – необходимость для специалиста в области твердотельной электроники, микро- и наноэлектроники. Поэтому хочу пожелать Вам успехов и терпения при достижении данной цели.

1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА

1.1. Жидкие, твердые, газообразные

Рассмотрим характер движения атомов и молекул в различных фазовых состояниях вещества. Проще всего его описать в случае газообразного состояния. В отсутствие внешних полей в первом приближении молекулы вещества движутся по инерции, то есть их центр тяжести перемещается прямолинейно и равномерно между столкновениями с другими молекулами. Столкновения происходят достаточно редко, а именно, время свободного пробега молекулы между столкновениями намного превосходит длительность самого процесса столкновения. Если увеличивать температуру газа, то за счет столкновений молекулы сначала диссоциируют на атомы, а потом, при более высокой температуре, произойдет ионизация атомов: часть электронов оторвется от них и образуется плазма – газ электронов и ионов. Однако характер движения частиц, составляющих газ, не изменится.

4

В другом фазовом состоянии – состоянии кристаллического твердого тела, - характер движения атомов или молекул совсем другой. Рассмотрим случай идеального кристалла (не содержащего никаких добавок и искажений). В твердом теле характерный масштаб длины – межатомное расстояние, составляющее не-

о

сколько ангстрем (для определенности 3 А). На фоне такого масштаба ядро атома, имеющее размеры на 5 порядков меньшие, можно считать материальной точкой, в которой, как мы знаем, сосредоточена основная масса атома. Поэтому, в дальнейшем, говоря о координатах атома, мы будем иметь в виду координаты его ядра.

В кристалле атомы (молекулы) образуют идеальную кристаллическую решетку, то есть имеет место так называемый дальний порядок. Что это значит? Это значит, что, задав положения равновесия некоторого ограниченного количества атомов (молекул), можно предсказать положение равновесия сколь угодно далекого атома.

Это легко понять на примере листа клетчатой бумаги, размеры которого мы мысленно продлим до бесконечности. Задав положение четырех вершин одного квадратика (клеточки) мы в случае идеальной сетки можем предсказать положения всех других точек пересечения линий квадратной сетки.

Наглядным трехмерным аналогом такой решетки может служить бесконечно большая кладка из одинаковых кубиков (например, детских). Задав координаты вершин одного кубика, мы можем предсказать положение в пространстве вершин всех остальных кубиков.

Итак, мы договорились о положениях равновесия атомов. А каков характер их движения? Атомы кристалла совершают малые колебания вблизи своих положений равновесия. Термин «малые» означает, что амплитуда этих колебаний u намного меньше расстояния d между соседними атомами. Именно наличие дальнего порядка и малого параметра u / d позволяет успешно описывать состояния кристаллической решетки твердого тела.

А что же происходит в жидкостях, которые занимают про-

5

межуточное положение между газами и кристаллическими твердыми телами? В них, так же как и в газах, отсутствует дальний порядок, но, в отличие от газов, они обладают ближним порядком. Что это значит? Это означает, что, зная положение равновесия нескольких атомов или молекул, можно с большой долей вероятности предсказать расположение ближайших к ним атомов или молекул (то есть среднеквадратичная погрешность в прогнозе много меньше d ). Однако с увеличением расстояния качество прогноза падает, и про удаленные атомы мы не можем сказать ничего определенного (среднеквадратичная погрешность становится порядка d ).

Характер движения атомов и молекул в жидкостях таков: они совершают малые колебания вблизи своих положений равновесия, а затем происходит прыжок в новое положение равновесия, удаленное от прежнего на расстояние порядка межатомного. После этого процесс повторяется. В результате атом совершает случайное блуждание по объему вещества. Характерное время между последовательными прыжками tпр намного превосходит

период малых колебаний T ~10-13с и сильно зависит от вязкости жидкости (например, в воде при комнатной температуре tпр ~ 10−5 с).

Аморфные твердые тела (например, стекло) представляют собой как бы очень вязкие жидкости: они не обладают дальним и обладают ближним порядком, характер движения атомов или молекул в них аналогичен жидкостям, но времена tпр превосходят

таковые для обычных жидкостей на много порядков. Стекло тоже течет под действием силы тяжести. Если промерить толщину стекла в верхней и нижней части средневекового витража, то они будут отличаться. За столетия какая-то часть вещества опустилась вниз. Но этот процесс в аморфных веществах сильно замедлен.

Отсутствие дальнего порядка затрудняет теоретическое описание жидкостей и аморфных твердых тел. Их последовательное микроскопическое описание до сих пор отсутствует, хотя, например, аморфный кремний находит широкое применение в электронике. Поэтому тот курс, который мы начинаем изучать,

6

правильнее назвать «Физика кристаллических твердых тел», хотя вопросы влияния беспорядка (нарушений дальнего порядка) нами также будут затрагиваться.

1.2. Трансляции, элементарная ячейка

Далее в этой главе мы отвлечемся от малых колебаний атомов и, говоря об их положениях, будем иметь в виду положения равновесия. Представим себе безграничный идеальный кристалл, в котором все атомы замерли в своих положениях равновесия. Такой кристалл обладает периодичностью, для описания которой введем ряд понятий.

• Ячейка – часть кристалла, продолжая которую периодически, мы получаем весь безграничный кристалл. Элементарная ячейка – ячейка с наименьшим объемом. Выбор элементарной ячейки является неоднозначным, но ее объем в трехмерном пространстве (площадь в двухмерном и длина в одномерном) неизменен при любом выборе. Это легко продемонстрировать на примере квадратной решетки (клетчатой бумаги) (рис.1.1.).

Рис.1.1. Различный выбор ячейки для квадратной решетки

• Эквивалентные точки кристалла – такие точки, из которых открывается одинаковый вид на окружающий безграничный идеальный кристалл.

В ограниченном кристалле нет эквивалентных точек: любая из двух точек расположена ближе к одной из границ кристалла. В кристалле с дефектами – нарушениями дальнего порядка ситуация аналогична: положения двух точек относительно дефекта

7

различаются и вид из них на окружающий кристалл разный.

•Вектор трансляции – вектор, соединяющий две эквивалентные точки кристалла.

•Операция трансляции (трансляция) – параллельный перенос кристалла на вектор трансляции.

Поскольку в результате такой операции мы попадаем в эквивалентную точку, то все физические характеристики кристалла должны остаться неизменными. Эту неизменность (инвариантность) физических свойств кристалла по отношению к операциям трансляции формулируют кратко так: «кристалл обладает трансляционной инвариантностью».

Поскольку в бесконечном кристалле бесчисленное множество эквивалентных точек (в каждой элементарной ячейке – одна),

внем существует бесчисленное множество векторов трансляции. Их можно выразить через три примитивных (элементарных) вектора трансляции. Число примитивных векторов трансляции равно размерности пространства. Дадим определение последних.

•Если любой вектор трансляции T кристаллической решетки представим в виде

чисел), то a1, a2 и a3 - примитивные векторы трансляции данной

кристаллической решетки. Выбор примитивных векторов трансляции неоднозначен, как и выбор элементарной ячейки (рис.1.2).

Рис.1.2. Неоднозначный выбор примитивных векторов трансляции для квадратной решетки

Однако при любом выборе примитивных векторов трансля-

8

ции неизменным должен оставаться модуль их смешанного произведения, определяющий объем элементарной ячейки Vяч,

имеющей форму параллелепипеда, задаваемого этими векторами

(рис.1.3)

a1

a3 a2

Рис.1.3. Элементарная ячейка

где круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов, а квадратные – векторное. Модуль смешанного произведения мы взяли потому, что оно положительно в случае, если тройка векторов a1, a2 и a3 - правая, и отрицательно, если она левая.

Легко убедиться, что если мы выберем примитивные векторы трансляции неверно, например, возьмем a1 в два раза

большим, чем необходимо, то из данной точки мы попадем не во все эквивалентные ей точки, часть их останется недоступной при использовании векторов трансляции, задаваемых фор-

мулой (1.1).

•Решетка Бравэ – это решетка, образованная множеством эквивалентных точек кристалла, которые являются узлами решетки Бравэ. Вектор трансляции соединяет два узла решетки Бравэ. Для наглядности ближайшие узлы можно соединить друг

сдругом, чтобы увидеть решетку в привычном значении этого слова.

•Базисом кристаллической решетки называют совокупность атомов или молекул, находящихся в элементарной ячейке кристалла, другими словами, материальное наполнение этой элементарной ячейки.

9

Часто говорят, что кристалл – это решетка Бравэ плюс базис. Это высказывание надо понимать в том смысле, что, имея содержимое элементарной ячейки и периодически продолжая его путем параллельного переноса на все векторы трансляции, которые задаются решеткой Бравэ, мы получим весь бесконечный кристалл.

1.3. Кристаллические системы и типы решеток Бравэ

При огромном многообразии кристаллических твердых тел существует всего 14 решеток Бравэ. Каждая решетка Бравэ характеризуется шестью параметрами: длинами векторов трансляции, не всегда примитивными (их обозначают a , b и c ) и углами α, β и γ, которые они образуют друг с другом (рис.1.4)

α

c

b

Рис.1.4. Параметры элементарной ячейки

В трехмерном пространстве 3 вектора трансляции задаются 9 скалярными параметрами – координатами. А мы использовали только 6. Не потеряли ли мы существенную информацию? Оказывается, нет. Три оставшихся параметра задают положение решетки Бравэ в пространстве, то есть, эквивалентны трем углам Эйлера, которые описывают повороты твердого тела.

Прежде, чем привести таблицу параметров различных решеток Бравэ, отметим те признаки, по которым одна решетка отличается от другой. Это равенство между собой характерных длин a , b и c или наличие прямых углов, приводящее к появлению новых элементов симметрии, обсуждению которых будет посвящен следующий параграф.

10

Таблица 1.1

Виды решетки Бравэ

Рассмотрим подробнее приведенные в таблице типы реше-

ток.

Триклинная решетка Бравэ является самой несимметричной: ее элементарная ячейка представляет собой параллелепипед с разными, вообще говоря, длинами сторон и произвольными непрямыми углами (рис.1.5).

Рис.1.5. Элементарная ячейка триклинной решетки Бравэ