f_5y40we-arphclqbl0c

121

обусловлены теми слагаемыми в H 3(1) и H 3(2) , которые соответ-

ствуют фиксированным значениям р1=р и k ′ = k , определяемым левой частью кинетического уравнения. Наряду с ними существуют еще два вклада, связанные с процессами, в которых фонон

ветви р с волновым вектором k возникает в результате распада другого фонона или, наоборот, сливается с другим фононом, по-

рождая новый фонон. Им отвечают слагаемые в H 3(1) и H 3(2) , в

которых p2=p и k ′′ = k .

Окончательно интеграл столкновений принимает вид

[np1 (k1)(1+ np (k ))(1+ np2 (k1 + g − k )) −,

−(1+ np1 (k1))np (k )np2 (k1 + g − k )]}.

10.5.Линеаризация интеграла столкновений, τ-приближение

Если подставить в интеграл столкновений равновесные функции распределения, то он обратится в нуль, так как в равновесии не может измениться число изобразительных точек в выбранном фазовом объеме. В случае слабой неравновесности величина интеграла столкновений может быть разложена в ряд по неравновесной части функции распределения. Мы ограничимся первым неисчезающим членом такого разложения.

122

Пусть n 'p (k ) - неравновесная часть функции распределения фононов. Тогда

где < n p (k ) > - равновесная функция, задаваемая формулой (8.1).

Подставляя (10.20) в (10.19), и удерживая только линейные по n' слагаемые, получаем

[−n'p (k )(1+ < np1 (k1) > + < np2 (k + g −k1) >) −,

−n 'p1 (k1)(< n p (k ) > − < n p 2 (k + g −k1) >) −

−n'p2 (k + g −k1)(< np (k ) > − < np1 (k1) >)] +

[n'p1 (k1)(1+ < np (k ) > + < np2 (k1 + g −k ) >) −,

−n'p (k )(< np2 (k1 + g −k ) > − < np1 (k1) >) −

−n'p2 (k1 + g −k )(< np (k ) > − < np1 (k1) >)]}.

Из (10.21) следует, что в уравнение для числа фононов на какой-то определенной моде входят неравновесности всех остальных мод. Следовательно, необходимо решать систему из 3nN связанных кинетических уравнений, либо после перехода к непрерывной зависимости от волнового вектора, систему 3n интег- ро-дифференциальных уравнений для неизвестных функций

n 'p (k ).

123

Следующий шаг для упрощения ситуации является не столь обоснованным, как предыдущие. Будем считать, что неравновесность n' существует только в рассматриваемой моде, для которой записана левая часть кинетического уравнения, а для остальных

мод положим n p ' (k ' ) =< n p ' (k ' ) >. Такой подход называется τ-

приближением. Поскольку мы пренебрегаем в (10.21) слагаемыми того же порядка величины, что и оставшееся, то получившееся выражение представляет собой лишь оценку для интеграла столкновений.

Величина n 'p (k ) может быть вынесена за знаки суммирова-

ния и интегрирования в (10.21), и в τ-приближении интеграл столкновений приобретает вид

(< np2 (k1 + g −k ) > − < np1 (k1) >)}.

Величина τ p (k ) (от неe и пошло название приближения)

представляет собой характерное время релаксации, обусловленное, в данном случае, трехфононными процессами.

Подчеркнем сразу, что процедуру линеаризации и τ- приближение можно применять к любому интегралу столкновений.

Убедимся на простом примере, что τ действительно является временем релаксации. Пусть число фононов на данной моде в

124

начальный момент времени было неравновесным:

а какие либо внешние воздействия и неоднородности в системе отсутствовали. Тогда кинетическое уравнение (10.9) примет вид

то есть τ представляет собой характерное время, за которое указанная неравновесность уменьшается в е раз - время релаксации.

11.ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ

11.1.Плотность потока энергии

Введем понятие плотности потока частиц.

В случае, когда все частицы одинаковы и имеют одну и ту же скорость, плотностью потока частиц называют векторную величину η равную

где n~ - концентрация частиц, а v - их скорость. Если частицы заряжены, то домножая η на величину заряда одной частицы q, по-

лучаем вектор плотности электрического тока

Плотностью потока энергии называют вектор Q , получающийся путем умножения η на величину энергии ε одной частицы:

125

Пусть теперь существует произвольное распределение частиц по различным состояниям, характеризующимся волновым

вектором k .

Концентрация частиц данного сорта, изобразительные точки которых в пространстве волновых векторов расположены в ма-

лом объеме d 3k в окрестности вектора k , равна

где n(r, k ,t) - функция распределения частиц в фазовом пространстве, задаваемая формулой (10.1) (напоминаем, что мы перешли от переменной p к переменной k ). Все эти частицы имеют одинаковую скорость v(k ) и энергию ε(k ) , поэтому созда-

ваемые ими плотности потоков определяются формулами (11.1) – (11.3) после подстановки в них dn~(r ,t) вместо n~ .

Полные плотности потоков, создаваемые частицами данного сорта, можно получить путем интегрирования полученных выражений по волновому вектору:

причем в кристалле интегрирование по d 3k происходит по первой зоне Бриллюэна. Для фононов, функция распределения которых зависит также от индекса р - номера ветви, необходимо провести еще и суммирование по этому индексу. Например, результирующая плотность потока энергии равна

126

11.2. Коэффициент теплопроводности

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности, при котором на границах диэлектрика поддерживается постоянная во времени разность температур. Тогда в некоторой произвольной точке диэлектрика существует неизменный градиент температуры T . При этом возникает поток тепла от более горячего края тела к более холодному.

В диэлектриках основными переносчиками тепловой энергии являются фононы (при температурах, много больших комнатной, существенный вклад в процесс теплопереноса дают фотоны). В металлах, как мы увидим позднее, основной вклад в перенос энергии вносят электроны.

Для рассмотрения процесса переноса тепла фононами запишем кинетическое уравнение Больцмана в τ-приближении. Поскольку в стационарном случае зависимость функции распреде-

ления от времени отсутствует, то ∂∂nt = 0. В исследуемом случае

на фононы не действуют внешние силы, поэтому кинетическое уравнение приобретает вид

Пусть < np (r, k ) > >> n'p (r, k ) . При определенных условиях в

этом случае в левой части уравнения (11.8) можно оставить только производную от < np (r , k ) >. Учтем также, что в формуле (8.1)

для < np (r, k ) > от координат зависит только температура Т. Поэтому

Подставляя (11.9) в (11.8), получаем неравновесную часть функции распределения фононов

Зависимость n'p (r, k ) от координат является неявной и возникает вследствие зависимости температуры Т от r .

Условие < np (r, k ) > >> n'p (r , k ) приводит к ограничению на

величину созданного градиента температуры. Он должен быть настолько слабым, чтобы изменение температуры на расстоянии порядка длины свободного пробега фононов было много меньшим, чем сама температура.

Найдем плотность потока энергии, подставляя полученное выражение для n'p (r , k ) в (11.7). Поскольку в равновесии какие-

либо потоки (поток частиц, электрический ток, поток энергии) отсутствуют, то вклад в плотность потока энергии Q дает только неравновесная часть функции распределения:

Как известно, в изотропном случае, рассмотрением которого мы ограничимся, для слабого градиента температур

где κ - коэффициент теплопроводности. Выберем ось z нашей декартовой системы координат в направлении T . Тогда, учитывая тот факт, что отлична от нуля только одна z-компонента Q , получаем

128

В модельном случае изотропных законов дисперсии фононов, когда ωp (k ) зависит только от модуля волнового вектора,

можно перейти к сферическим координатам и выполнить интегрирование по угловым переменным. Учитывая, что усредненное

представляет собой теплоемкость 1м3 кристалла при постоянном объеме, которая равна ρ сV , где ρ - плотность кристалла, а сV -

его удельная теплоемкость при постоянном объеме. Учитывая этот факт, можно сделать следующую оценку для величины коэффициента теплопроводности:

Обсудим подробнее, какими же процессами обусловлена релаксация теплового потока. Пусть в неподвижном кристалле был создан поток фононов, а затем причина, вызвавшая его появление - градиент температуры - внезапно исчезла. Вследствие наличия теплосопротивления (сопротивления потоку тепла) поток должен со временем исчезнуть. Выясним, благодаря каким процессам это произойдет.

Основными процессами взаимодействия в фононной подсистеме являются трехфононные процессы. Их можно подразде-

129

лить на нормальные процессы и процессы переброса (смотри параграф 10.4).

При нормальных процессах остаются неизменными как энергия фононной подсистемы, так и ее импульс. Поэтому вследствие нормальных процессов возможно перераспределение энергии между различными модами колебаний, но они не могут привести к остановке потока фононов (импульс не может исчезнуть).

В трехфононных процессах переброса импульс фононов передается кристаллу в целом. Поэтому в результате этих процессов прекратится движение фононов относительно кристалла. Если кристалл представляет собой замкнутую систему, на которую не действуют другие тела, то он начнет двигаться как целое со скоростью, которую можно найти из закона сохранения импульса. Однако если перейти в систему отсчета, движущуюся вместе с кристаллом, то распределение фононов в ней будет равновесным. При этом поток тепла относительно кристаллической решетки будет отсутствовать. Обычно же при проведении эксперимента кристалл закреплен, и поэтому импульс фононов передается Земле.

Таким образом, мы приходим к выводу, что за наличие теплосопротивления и релаксацию теплового потока ответственны процессы переброса. В приведенном обсуждении нигде не использовалась специфика трехфононных процессов. Те же выводы относятся и к любым другим процессам в системе фононов.

Пусть трехфононные процессы играют главную роль (ангармонизмы следующих порядков содержат дополнительный малый параметр). Тогда в формулы (11.8), (11.10) - (11.15) должно

входить время трехфононных процессов переброса τUp (r , k ). По-

пытаемся оценить его величину, а также величину коэффициента теплопроводности в различных температурных диапазонах.

11.3.Область высоких температур

Вобласти высоких температур T >> ωp (k ) в кристалле возбуждены все фононные моды, а характерный волновой вектор

130

фонона порядка дебаевского волнового вектора qD . При этом

процессы переброса происходят столь же часто, сколь и нормальные процессы. Действительно, если сумма волновых векторов двух сливающихся (или рождающихся) фононов выходит за границу зоны Бриллюэна, то вектор обратной решетки g в законе

сохранения квазиимпульса не равен нулю. А поскольку оба волновых вектора фононов порядка qD , то их векторная сумма вы-

ходит за границу зоны Бриллюэна, если угол между ними не очень велик.

Так как в области высоких температур

та теплопроводности единственной зависящей от температуры величиной является τ p (r , k ) .

Поскольку τUp (r , k ) имеет тот же порядок величины, что и характерное время нормальных трехфононных процессов τ pN (r, k ), то оценку для τUp (r, k ) можно получить из выражения (10.23). Так как формула для 1/τ содержит < np1 (k ) > и < np2 (k + g −k1) > в первой степени (единицей можно пренебречь по сравнению с ними), а они пропорциональны температуре (формула (11.10)), то 1/τUp (r, k ) T . Все остальные величины в правой части (10.23) не зависят от Т. Следовательно

κT −1

вобласти высоких температур.

Оценим теперь τUp (r , k ) и κ по порядку величины. Матрич-