32. Плазменное состояние вещества. Уравнение Власова. Понятие о самосогласованном поле.

Плазма – полностью ионизованное состояние системы т.е. все атомы становятся ионами. Кинетическое ур-е для каждого сорта частиц в плазме электронов и ионов: (1) ρ – ф-ция распределения частиц по координатам и импульсам,stρ – интеграл столкновений. В случае нейтральных частиц(атомы молекулы) благодаря быстрому убыванию сил взаимодействия между частицами заметное изменение в их движении интегрируются как столкновения, которые происходят лишь на малых расстояниях. В промежутке между столкновениями частицы движутся как свободные, поэтому в левой части (1) примем ρ=0. В плазме же ввиду дальнодействующего характера кулоновских взаимодействий заметное изменение движения частиц происходит даже на больших расстояниях. Будем рассматривать явления в которых несущественны столкновения между молекулами плазмы. О такой плазме говорят как о безстокновительной плазме т.е. правая часть ур-я (1) = 0. Тогда для электронов и ионов (ρ_е и ρ_i) можно записать кинетическим ур-ем :

Аналогично для ионов (2) К Ур-ям (2) надо прибавить Ур-я Максвелла;;;(3)

Плотность зарядов (4)

Плотность тока зарядов

Ур-е (2) →(4) составляют систему Ур-й определяющих одновременно как ф-ции распределения ρ_е и ρ_i так и поля и. Определенная таким образом поле называют самосогласованным полем. Самосогласованное поле впервые было введено Власовым в 1937г и в связи с этим ур-я (2,3,4) носят названия Ур-я Власова.

33. Эл поле. Зак Кулона. Теорема Гауса. З.Кулона установлен для точечного зар. Точечным наз зар размеры которых маля по сравнен с расст на котором рассматрив взаимод. Согласно этому зак сила взаимод пропорц произвед взаимод зар и обратно пропорц квадрату расст между ними направленого вдоль прямой их соедин.

; k=1/4₀. Помещеный зар создает вокруг себя эл поле. Для характеристики интенсив поля ввод понятие напряженности поля. E=F/q. Кривая касат к которой совпад с напряж в данной точке наз силовыми линиями. E=Q/4r². Для расчета Е для зар распределенного с той или иной симметрией явл теор О-Г. Рассмотрим поле точечного зар q и вычислим поток вект Е через замк поверх S закл в себе зар. Поток вект Е через замк поверх равен числу лин выход наружу. Учтя, что кол начинающ лин на точечн зар равно q/₀, можно написать Ф= q/₀. . Поток вектора напряжен через замкн пов равен алгебраич сумме закл внутри этой пов зар, делен на ₀. Ф=(1/₀)q_i.

34. Стат маг. поле. Закон Био Савара Лапласа. Элмаг. индукц. В однор маг поле, модуль вектора индукции кот равен В, помещен плоский замкнутый контур площадью S. Нормаль n к пл-ти контура составляет угол a с напр-ем вектора маг индук В. Маг потоком через пов-ть наз-ся вел Ф, опр-мая соотн: Ф = В·S·cos Явление эл/маг индукции обнар в 1831 г. Фарадеем. Оно выражает взаимосвязь электрических и магнитных явлений. Рассм некоторые экспер-ные факты: пост-й магнит вставляют в катушку, замкнутую на гальванометр, или вынимают из нее. При движ-ии маг в контуре возникает эл ток. Аналогичный рез-тат в случае перемещ эл/магнита, по которому пропускают пост-й ток, отн-но первичной катушки или при изменении тока в неподвиж вторичной катушке. рамку, замкнутую на гальванометр, помещают в однородное магнитное поле и вращают. В рамке возникает эл ток. Если же рамка движется поступательно, не пересекая силовых линий, то ток в ней не возникает. рамка движется  в неоднородном маг поле. Число линий индукции, пересекающих рамку, изменяется замкнутом контуре является наличие электродвижущей силы, поддерживающей разность потенциалов. В рамке возникает эл ток. Ток, возникающий в контуре при изменении маг потока, наз-ют индукционным током. Условием существования эл тока в магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, в нем возникает ЭДС, которую называют ЭДС индукции (ε_i). Явление возникновения ЭДС в контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур, называется электромагнитной индукцией. Если контур замкнут, то ЭДС индукции проявляется в возникновении электрического индукционного тока I = e_i/R , где R- сопротивление контура. Если контур разомкнут, то на концах проводника возникает разность потенциалов, равная e_i. Направление индукционного тока в контуре определяется правилом Ленца: Индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению магнитного потока, которым он вызван. Закон Био-Савара – Лапласа Из опытных данных физики Био и Саваро, математик Лаплас получили формулу: dB = μ/4π I(dl * r)/r³, где dl = dl j/j - элемент длины проводника r - вектор, проведённый из элемента dl в рассматриваемой точке поля, а dB┴dl, r . Направление вектора магнитной индукции находится по правилу правого винта. Модуль вектора маг индукции определяется по формуле: dB = μ/4π Idl/r² sin(α) Из принципа суперпозиции следует, что вектор маг индукции в произвольной точке магнитного поля в проводнике с током I равен: B = ∫dB где dB - магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника длиной dl.

35. Урав Максвелла в вакууме. Скалярный и векторные потенциалы.

rotE=-1/c(H/t), divH=0,

rotH=(4/c)+1/c(E/t),

divE=4. ==1, B=H, D=E, 0, 0. (урав М в вакууме при наличии зар и токов).

rotE=-1/c(H/t), divH=0,

rotH=1/c(E/t), divE=0.

==1, =0, =0. (урав М при отсутствии зар и токов). Элмаг поле можно задавать с помощью Е, В. Добав к урав М материальные уравнен D=E, B=H, j=E, а также соответс начальн и гранич услов, решая все эту сист мв найдем ед. и однознач решение E=E(r,t), B=B(r,t). Не всегда легко решить эту сист урав. Поэтому воспольз потенциалами элмаг поля , А^. Находят эти потенц решая уравнен

-(1/²)²/t²=-4/

A^-(1/²)²A^/t² =-(4/c)j. Затем воспольз формул связыв потенц , А^, а также вект E и В найдем: E=-(1/c) (A^/t)- , B=rot А^.

36. Энергия элмаг поля. Вектор Умова-Пойтинга.

ЭМ волны переносят энергию. Плотность энергии ЭМП w слагается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля: (1)

В данной точке пространства векторы E и H изменяются в одинаковой фазе (только для непроводящей среды!). Плотности энергии электрического и магнитного полей волны каждый момент времени одинаковы, поэтому можно написать:

(2), т.к.:

выражению (2) можно придать вид:

где v – скор. ЭМ волны.

Умножив найденное выражение для w на скорость волны v, получим модуль вектора плотности потока энергии:

S=wv=EH (3), векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Следовательно, вектор плотности потока ЭМ энергии можно представить как векторное произведение Е и Н: S=[EH], вектор S наз. вектором Умова-Пойтинга.

37. Излучен элмаг волн в дипол приближении.

Простейшая сист излуч элмаг волны явл колеблющ эл диполь. Примером такого диполя может служить сист образов неподвиж точечн зар +q и колеб около него точечного зар –q. Дипольный эл момент этой сист изменяется со временем по закону p=-qr=-qlecost=p_mcost где r-радиус вектор, l-амплитуда, е-ед. вектор. Мощность излуч диполя Р (т.е.энергия излучаемая в ед времени), пропорц квадрату второй произв дипольного момента по времени. pp_m²⁴cos²t. Усреднив это выражение по времени получим:

<p>p_m²⁴.

Согласно w-ускорение колеб зар. pq²w². Всякий зар движ с ускорен возбуждает элмаг волны. Если w=0, то р0 следоват электрон движ с постоянной скор не излуч элмаг волны.

38. Урав Макс в среде. Материальные уравнения. Диф форма урав М: rotE=-(1/c)B/t,(1) divB=0,(2) rotH=(4/c)j+(1/c)D/t, (3) divD=4(4). (1)-вихрев эл поле порожд меняющ со временем маг поле. (2)-в природе нет маг зар. (3)-вихрев маг поле порожд как движ зар так и меняющ со врем эл полем. (4)-в природе сущ эл зар. Интегр форма урав М:

(1)-эдс индукц возник в замк контуре равна взятому с обратн знаком изменен потока магн индукц через поверх огран этим контуром. (2)-циркул напряж маг поля по замк контуру равна алгебраич сумме токов охват этим контуром. (3)-поток магн индукц через замкн повер равна 0. (4)-поток вект эл. смещен через замкн пов равен полному зар наход внутри этой пов. Материал уравнения: D=E, B=H, j=E, -удел провод среды. =1+4_E =1+4_M D=E+4P, B=H+4M, P=_eE, M=_MH.

40. Квазистационарное приближение. Скин-эффект. 1-е условие квазистационарности: уравнения Максвелла для среды имеют вид:

rot E= -1/c*∂B/∂t;

div B=0;

rot H=4πj/c +1/c*∂D/∂t;

div D=4π.

Пренебрегая дисперсиями, но считая что в данной среде отсутствуют другие среды(ферромагн-е, пьезоэл-е и т.д.) можно написать: 1/c*∂D/∂t<<4πj/c. Если это условие выполняется, то ток смещения<<тока проводимости. 2-е условие квазистационарности: возможность пренебрежения эффектом запаздывания в той области, в которой мы работаем. 3-е условие - возможность пренебречь частотной и пространственной дисперсиями. Скин-эффектом называется явление возрастания плотности переменных токов вблизи поверхности проводника, по которому течет переменный ток. Когда имеет место скин-эффект наряду с уменьшением плотности тока внутри проводника, уменьшается и магнитное поле внутри проводника. При скин-эффекте энергия получается меньше чем без скин-эффекта. Когда есть скин-эффект, плотность не меняется, а индуктивность уменьшается.

41. Основы теор относительности. Преобразов Лоренца. В основе теор относ лежат 2 постулата: 1-скорость света постоян и изотропна в вакууме и не зав от того движ или нет источн света относ наблюдат. 2- все физ явлен протик одинаково во всех инерц сист коор. Преобраз Лоренца: Наша задач явл нахожден формул связыв события в различ инерц сист коор. Пусть x, y, z,t коорд событ в сист К, а x^/, y^/, z^/, t^/ коорд того же событ в сист К^/ тогда: y=y^/, z=z^/ -преоб Лоренца.

-собст длина стержня.

42. Эфф. Черенкова. Циклотронное и синхротронное излучение. Лазеры на свобод электронах. Черенков обнаружил особый вид счечен жидкостей под действием -лучей радия. Согласно элмаг теории зар, движйщийся без ускорения, не излучает элмаг волн. Однако это справедливо лишь в том случае если скорость заряженной частицы  не превышает фазовую скорость с/n элмаг волн в той среде в которой движется частица. При условии что скорость зар частицы >c/n даже двигаясь равномерно частица будет излучать элмаг волну. Экспериментально эфф Черенкова наблюд для электронов, мезонов и протонов. Синхротронное излучение наблюд в циклических ускорителях и связано с конечностью центростремит ускорения. Синхротронное излучение обл рядом особен: 1. Сильной углов направленностью излучения 2. Наличием высш гармоник 3. Сильной зав излучения от энергии частицы.

43. Интерференция света. Временная и простран когерентность. Интерферометры. Пусть 2 волны одинаковой частоты, наклад друг на друга возбужд в некоторой точке простран колебания одинакового направл. Амплитуда резул колеб в данной точке опр формулой A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(₁-₂). Если разность фаз возбужд волнами колебаний остается постоян во времени то волны наз когерентными. В случ не когерентной волны cos(₁-₂)=0. В этом случае A²=A₁²+A₂². Интенсив наблюд при наложен не когерентных волн равна сумме интенсив создаваемой каждой из волн в отдельности. I=I₁+I₂. В случ когерентных волн I=I₁+I₂+2I₁I₂ cos(₁-₂).

A₁=A₀cos[t-(2/)d₁+]

A₂=A₀cos[t-(2/)d₂]

A=A₁+A₂=2A₀cos[(/)(d₂-d₁)-/2][t-(/)(d₁+d₂)+/2]

d₂-d₁=-разн хода.

А₀¹=2A₀cos[(/)(d₂-d₁)]-амплитуда резул волны.

I=4I₀cos²[/]; k=; k=2/; I=2I₀(1+cos);

/=m- услов max; =(2m+1)/2- услов min.

Простран когер наз когер если колебания в 2-ух точках волновой поверх отстают друг от друга на расст меньше l_ког будут приблизит когер. l=_когс. Если разность фаз 2-ух колебаний остается неизменной с течением времени в данной точке простан, то такая когер наз временной. Спектральные приборы.

44. Дифракция света. Приближения Френеля и Фраунгофера. Спектральные приборы. Дифракцией наз совокупность явлен наблюд при распростронен света в среде и связанных с отклонен от законов геометрич оптики. Дифракция в частности приводит к огибан световыми волнами препятствий. Различают два вида дифракции. Если источ света и точка наблюдения Р расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие и лучи идущие в точку Р образуют практически параллельные пучки то говорят о диф Фраунгофера. В противном случае говорят о диф Френеля. Найдем амплитуды световых колеб, возбужд в точке Р сферической волной, распрост в однор среде из источ S. Расст b_m от внешнего края m-й зоны до точки Р можно предст след обр: b_m=b+m(/2), где b-расст от вершины волнов поверх О до точки Р. Для оценки амплитуд колеб нужно найти площади зон. Внеш граница m-зоны выделяет на волнов поверх сферич сегмент высоты h_m. Обозн площадь этого сегмента S_m. Тогда площадь m-зоны можно представ в виде. S_m=S_m-S_m-1. Из рис след, что r_m² =a²-(a-h_m)²=(b+m/2)²-(b+h_m)². Возведя скобки в квадрат получим r_m²=2ah_m-h_m²=bm+m²(/2)²-2bh_m-h_m², откуда h_m = (bmλ + m²(λ/2)²)/2(a + b). Ограничиваясь рассмотрением не слишком больших m, можно ввиду малости  пренебречь слагаемым, содерж ². В этом приближении h_m=bm/2(a+b). Площ сферич сегмента равна S=2Rh. След S_m= 2ah_m=abm/a+b, а площадь m-зоны Френеля S_m=S_m-S_m-1=ab/a+b. При не слишком больших m высота сегмента h_m<< a, поэтому можно считать, что r_m²=2ah_m. Отсюда r_m = √(abmλ/(a + b)). Все это приводит к тому что амплитуда А_m колеб, монотонно убывает с ростом m. А=А₁/2 Эта формула означает, что амплитуда, создоваемая в некоторой точке Р сферич волновой поверх, равна половине амплитуды, создоваемой одной лишь центральной зоны. Дифракционная решеткой наз совокупн большого числа одинаковых, отстоящ друг от друга на одно и тоже расстояние щелей. Разность хода от соседних щелей равна =dsin. Разность фаз =2/=(2/)dsin dsin=m- услов максимума. bsin=-услов минимума.

45. Излучение света атомами и молекулами. Спонтанные и вынужденные переходы.

Спонтанным перех наз переход электр с одного энергет на другой. Они могут осущ только в одном направ-с более высок уров на более низкие. Вынужденные перех обуслов действ на атом падающ на него излучен. Вынужден перех могут присход как в одном направ так и в другом. В случ перех на более высок уров атом поглощает падающ на него излучен. При вынужд перех с одного из возбужден уровней на более низкий уровень происх излучен аиомом фотона.

46. Дисперсия света. Отражение и преломление на границе раздела двух сред. Рассеяние света.

Диспер света наз явл обусловленное зав показателя преломления от длины волны n=f(). С уменьшением длины волны показ преломления увел, такой характер диспер наз нормальным. Интенсивность света при прохождении через вещество уменьш, свет поглощается веществом. Опыт показ., что интенсивн света при прохождении через вещество убыв по экспоненц зак

I=I₀e^-kl При l=1/k интенсивность оказывается в е раз меньше чем первоначальная. Процесс рассеяния света заключ в том, что свет, проходя через вещество вызывает колеб электронов. Колеблющиеся электроны вызывают вторичные волны. В случае однородной среды вторичные волны гасят друг друга, кроме направ распростран первичной волны, т.е. рассеяния не происходит. Световые волны дифрагируя на неоднородностях среды дают дифрак картину, такую дифр картину наз. рассеянием.

47. Взаимодействие света и вещества. Закон Стефана-Больцмана. Законы фотоэффекта. Энергетическая светимость любого тела пропорц 4-ой степени абсолют температуры (Стефан). Поток энергии испускаемый ед поверхности излучающ тела по всем направлениям наз энергетической светимостью. Больцман получил теоретически для энергетической светимости абсол черного тела следующее значение: R=f(,T)d=T⁴ где - постоянная вел, Т-абсол температура. Соотношение между энергетической светимостью и абсол температурой наз зак С-Б. Фотоэффектом наз испускание электронов веществом под действием света. На рис показана ВАХ фотоэффекта, т.е. зав фототока от напряжения между электродами при неизменном потоке света Ф. Из кривой видно, что при некотором, не очень большом напряжении фототок достигает насыщения – все электроны, испущенные катодом попадают на анод. При U=0 фототок не исчезает. Это служит свидетельством того, что электроны покидают катод со скоростью отличной от 0. Для того, чтобы фототок стал равным 0, нужно приложить задерживающее напряжение. При таком напряжении ни одному из электронов не удается преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. Поэтому можно написать m²/2 =eU_з. Таким образом измерив задерж напряжение можно опред макс значение скорости фотоэлектронов. При неизменном спектральном составе падающего на катод света сила тока насыщения строго пропорц световому потоку: i_нФ-зак Столетова. Эйнштейн показал что свет поглощается порциями h. По мысли Эйнштейна энергия, полученная электроном , доставляется ему в виде кванта h. Часть этой энергии, равная работе выхода e, затрачивается на то, чтобы электрон мог покинуть тело. Остаток энергии образует кинетическую энергию электрона, покинувшего вещество. h=(m²/2)+ e-формула Э.

48. Нелинейные оптические явления. Генерация гармоник. Самофокусировка света. В случае нелинейного взаимодействия света со средой поляризованность P = χ₁E + χ₂E² + χ₃E³ +…, т.е. не является линейной функцией напряженности электрического поля. (χ – восприимчивость среды). Это обусловлено нелинейной связью D и E (электрическое смещение и напряженность). При прохождении света через нелинейную среду наблюдается генерация гармоник порядка выше первого. Частоты 2, 3, 4, и т.д. гармоник отличаются от начальной частоты в 2, 3, 4, и т.д. раза соответственно. Если полная мощность лазерного импульса, падающего на среду превышает некоторое критическое значение, P>P_крит, то наблюдается явление самофокусировки светового пучка, как-будто он проходит ч/з собирающую линзу. Длина самофокусировки (расстояние, на котором луч собирается) равна d_c = d(2πnp)^-1/2/E_w . Здесь d – диаметр пучка, n – показатель преломления среды, p – поляризуемость среды, E_w – амплитуда напряженности падающей волны.

49. Экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой теории. Волновые и корпускулярные свойства света материи. До начала XX столетия физические явления в природе объяснялись на основе классической физики, электродинамики, где решались ур-я движения. Но применение законов классич. физики для описания движения микрочастиц неприемлемо. Это вытекает из того, что всякая ускоренно движущаяся система должна излучать непрерывно энергию. Кроме того, известно, что микрочастицы (свет) имеют свойства, как частиц, так и волн. Т.е. в явлениях интерференции, дифракции и дисперсии микрочастица (свет) ведет себя как волна (явл. объясняются на основе волн. природы света), а явления фотоэффекта, эффекта Комптона и излучение абсолютно черного тела объясняются на основе корпускулярного представления света. Луи де Бройль изучая двойственность свойств частиц нашел связь между параметрами микрочастиц E,P и параметрами волны v,λ:

E=ђν;

ђ=E/2π;

ν=E/ђ.

P= ђk, где k-волновой вектор, ђ- универсальная пост. Планка, k=P/ ђ.

Ур-е движения волны: (∆-1/с²·∂²/∂t²)·f=0; реш-е волн. ур-я:

f=f₀e^{i(ωt - kr)}.

Волна де Бройля: f=f₀e ^{–i/ђ(Et - Pr)}=f(x,y,z,t).

Эту волну он обозначил ψ(x,y,z,t)= e ^{–i/ђ(Et - Pr)}. Известно, что пакет волн с течением времени расплывается и при t→∞ исчезает. Т.е. ψ ф-я не имеет физич. смысла. Физич. смысл имеет ‌‌‌ [ψ]²=ψ* ψ-это есть вероятность нахождения частицы в данном состоян. с корд. x,y,z.

50. Атом водорода по Бору. Бор сформулировал неклассическую модель атома. В основе его теории лежит попытка связать в единое целое, во-первых ядерную модель атома Резерфорда, во-вторых квантовый характер излучения и поглощения энергии в атомах, в-третьих эмпирические закономерности линейчатых спектров в атоме. Первую попытку сформулировать законы, которым подчиняется движение электронов в атоме предпринял Бор на основе представлений о том, что атом является устойчивой системой и что энергия, которую может излучать или поглощать атом, квантовая. Постулаты Бора: 1) электроны вращаются вокруг ядра по стационарным орбитам при этом, не излучая и не поглощая энергии. 2)Стационарным орбитам отвечают устойчивые состояния атомов, причем энергия атомов в этом состоянии образует дискретный ряд значений. Двигаясь по стационарной орбите электрон, приобретает момент импульса mе·vе r = nђ, ђ= h/2π. 3) Электроны излучают или поглощают энергию только при переходе с одной стационарной орбиты на др. Эта энергия равна разности энергий между конечным и начальным состоянием: ђν=E2-E1. Этот постулат, есть комбинационный принцип Рица: k=1/λ=R(1/m2-1/n2). Если рассм. водородоподобный атом: заряд ядра +ze, на расст. r вокруг ядра вращается электрон с массой m и зарядом –ze со скор. v. Потенц. энергия U=-ze2/r; полная энергия E=mv2/2-ze2/r.

mv2/r-ze2/r2,

W= mv2/2=ze2/2r.

Т.о. полная энергия E= -ze2/2r. Боровский радиус n-ой орбиты: rn=h2n2/4πmze2. Скорость электрона: vn=2πze2/nh. Формула для определения полной энергии атома: En=2π2mz2e4/ h2n2. Т.о. Бору становил все экспериментальные закономерности, установленные в спектре водорода. На каждой орбите энергия атома определена. В стационарном состоянии атом не излучает. Все состояния атома с n>1 наз-ся возбужденными состояниями. НЕДОСТАТКИ: 1) теория Бора с одной стороны допускала орбитальное движение электрона согласно закону классической физики, а с другой стороны исходила из дискретности энергетических уровней, квантуемости энергии и импульса, что противоречит представлениям классической физики. 2) Необоснованно правило отбора стационарных орбит. 3) Неясна причина квантуемости физических величин: энергии, импульса. 4) теория Бора потерпела неудачу при попытке построить и рассчитать модель атома гелия, следующего за водородом простейшего атома.

51. Основ постул квантов механ. Чистые и смешан сост. Волнов функц, матрица плотн. К основным понят квант механ относ принцип неопределенности (электроны движ вокруг ядра, излуч энерг, след теряют энерг, что должно привести к их паден на ядро),принцип суперпозиции (если известна зав сост от времени , которая для 1-го случ дается функ ₁ ,а для 2-го ₂ то любая их линейн комбин дает зависим сост от времени). Основу матем аппар кван мех состав утвержден, что сост сист может быть описано опред функ координат (q), причем квадрат модуля этой функ опред распред вероятн значен координат: ²dq. Функ  наз волнов функ. Рассмот замк сист явл частью больш замк сист. Замк сист в целом наход в сост опис волнов функ (q,x). Пусть f есть некоторая физ вел относящаяся к нашей сист. Средн значен этой вел есть f=^*(q,x)f(q,x)dqdx Введем функ (x,x^/) опред как (x,x^/)=(q,x) ^*(q,x^/)dq где интегрир произв только по коор q; ее наз матрицей плотности. С помощью матр плотн сред значен f можно запис как f=[f^(x,x^/)]_x=x^/ С помощ матр плотн можно найти средн значен любой вел, характерезующ сист. Для сост обл волнов функ (такое сост наз чистым) всегда сущ такая полная сист измерит процессов которые приводят с достоверн к опред резул , это означ что  есть собствен функ операт. Для сост же, облад лишь матриц плотн (смеш сост) не сущ полной сист измерений, которые привод бы к предсказ резул.

52. Соотношение неопределенности Гейзенберга. К микрочастицам, обладающим волновыми свойствами, в ограниченной степени можно применять понятия классической механики, например понятия координаты частицы и ее импульса. Поскольку понятие «координата волны» лишено физического смысла в квантовой механике, лишено также физического смысла понятие траектории частицы. В классической механике каждому определенному значению координаты частицы соответствует точное значение ее импульса. В квантовой механике существуют принципиальные неточности в определении пространственного положения и величины импульса частицы, связанные с неклассической природой микрочастиц. Неточность Δx в определении координаты х частицы связана с неточностью Δр_х в определении проекции Р_x ее импульса соотношением неопределенностей Гейзенберга: ∆x∆P_x ≥ h (1). Аналогично ∆y∆P_y ≥ h и ∆z∆P_z ≥ h. Чем точнее определены координаты частицы, тем менее точно определены значения проекций ее импульса. Если (1) разделить на время 2∆t, то получим соотношение неопределенности для энергии и времени ∆E∆t ≥ h/2.

53. Описание эволюции квантовомеханической системы. Уравнения Гейзенберга и шреденгера. Стационарные состояния. Обнаружен волнов свойств микрочастиц свидетельств о том, что классич механ не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необход создать механ микрочастиц, которая учитывала бы также и волнов свойства. Нов механика созданная Шредингером, Гейзенбергом и Дироком получ наз квантовой механики. Основ уравнением квант механ явл урав Шредингера. Состоян микрочастиц описываеться волнов функцией . Она явл функ коор и времени и может быть найдена путем решения уравнения: -(h²/2m)+U=-ih(/t) (1). Как видно из урав вид волнов функ  определяется потенциальной энерг U. Для стационарного силового поля U не зав от времени. В этом случае волнов функ распадается на 2 множит, 1-зависит только от времени, 2-зав от коор. (x,y,z,t)=e^-i(E/h)t(x,y,z) (2). Подстав (2) в (1) получим: -(h²/2m)e^-i(E/h)t+Ue^-i(E/h)t=ih(-iE/h)e^-i(E/h)t. Сокращая все члены этого урав на e^-i(E/h)t и производя соотв преобразования, получим +(2m/h)(E-U)=0.

Это уравнение наз урав Шредингера для стационарных состояний. Соотношение неопределенности Гейзенберга гласит: частица не может иметь одновременно вполне точное значение коор х и соответствующей этой коор составл импульса р_х, причем неопределенность в значениях этих величин удов условию хр_хh. Эта запись означает, что произведение коор на соответствующий ей импульс не может быть меньше величины порядка h. Чем точнее определена одна из величин х или р, тем больше становится неопределенность другой.

54. Линейный гарм осцил. Энерг и волнов функ стац сост.

Известно, что гарм осцил, т.е. сист сов колеб с част вызываемые квазиупруг силойF=-kx, имеют потенц энерг U=(p²/2m)=m²x²/2. Решение урав Шред

для потен энерг U=m²x²/2 дает след значен энерг E_n=(n+1/2); n=0, 1,2,… Миним значен энерг не равно 0, E_min=E₀=1/2. Уровни энергий у квант гарм осцил распол на равн расстоян Е=друг от друга.

55. Прохожд частиц через потенц барьер. Туннельный эфф. Пусть частица падает на потенциал барьер высотой U₀ и шириной l. Если энерг частицы больше высоты барьера частица беспрепятственно проходит над бариером. Если же энерг частицы меньше U₀ то частица отраж от барьера и летит в обрат сторону. Рассмотрим случай Е U₀. В этом случ урав Шред имеет вид d²ψ/dx² + 2m/ħ² Eψ = 0 для обл I и III d²ψ/dx² + 2m/ħ² (E - U₀)ψ = 0 для обл II. Общее решен имеет вид

₁=А₁е^ix+B₁e^-ix для I,

₂=A₂e^x+B₂e^-x для II,

₃=A₃e^ix+B₃w^-ix для III.

В обл III имеет место только прошедш волна, поэтому коэфф В₃ равен 0. Для того чтобы  была непрерыв необх чтобы ₁(0)=₂(0) и ₂(l)=₃(l). Для того чтобы  гладкой необход чтобы ₁¹(0)=₂¹(0) и ₂¹(l)=₃¹(l).

Из этих услов вытек соотношен А₁+В₁=А₂+В₂ A₂e^l+B₂e^-l=A₃e^il

iA₁-iB₁=A₂-B₂ A₂e^l-B₂e^-l=iA₃e^il . разделив все урав на А₁ и введя обознач b₁=B₁/A₁, a₂=A₂/A₁, b₂=B₂/A₁, a₃=A₃/A₁, n=/ получ 1+b₁=a₂+b₂, a₂e^l+b₂e^-l=a₃e^il, i-ib=na₂-nb₂, na₂e^l-nb₂e^-l=ia₃e^il. Отношен квадратов отраж и падаюш волны R = |B₁|²/|A₁|² = |b₁|² опред вероятн отражен частицы от потенц барьера, наз коэфф отражен. Отношен квадратов модулей прошед и падающ волны наз коэфф прозрачности D=A₃²/A₁²=a₃²; D = exp(2/ħ √(2ml(U₀ - E))).

При преодал потенц барьера частица как бы проход через туннель в этом барьере, в связи с чем это явлен наз тоннел эфф.

56. Движение электронов в периодических полях. Свойство периодичности потенциального поля U (х,y,.z), обладающего трехмерной периодичностью, выражается равенствами:

U(x+a,y,z)=U(x,y,z);

U(x,y+b,z)= U(x,y,z);

U(x,y,z+c) = U(x,y,z), где величины а, b и с характеризуют период поля соответственно по осям Ох, Оу и Oz. Подобное поле реализуется внутри идеальных кристаллов, где ядра атомов и средний электрический заряд распределяются периодически. По­тенциал электрического поля в этом случае является трех­мерно периодическим. Движение электронов в кристаллах является примером движения в трехмерном периодическом иоле. Для одномерной задачи волновая функция электро­на выбирается в форме плоской волны в импульсном пред­ставлении Фурье:

ψ(x)=1/√2 ∫(-∞,+∞) c(k)exp(ikz)dk где к=к_x, =2πp_x/h, р=pх - импульс электрона по оси Ох, с(к) - амплитуда в импульсном представлении. Потенциальная энергия U(x) электрона в кристалле пред­ставляется в виде ряда Фурье U(x)=∑ (-∞,+∞)U_nexp(-2πix/a) где a - параметр, описывающий периодичность потен­циала поля в кристалле по оси Ох. Отыскиваются вели­чины с(к) и Е_п, соответствующие данному виду U(x). Уровни энергии электрона в периодическом поле образуют отдельные полосы: Е=Е(к), i = 1,2,3.. в которых энергия зависит от волнового числа. Эти по­лосы называются зонами дозволенной энергии или разре­шенными зонами.

Раз­решенные зоны отделены друг от друга интерва­лами запрещенных зна­чений энергии. По мере увеличения номера зоны i запрещенные зоны суживаются, пока не возникает полностью не­прерывный спектр (при i = ∞). На границе зоны энергия электрона пре­терпевает разрыв. Образование зонного энергетического спектра электронов в кристалле вытекает из соотношения неопре­деленностей. В изолированном атоме ввиду конечности времени τ жизни электрона в возбужденном состоянии (τ≈10^-8 сек) естественная ширина ΔЕ энерге­тического уровня составляет ΔЕ ≈10^-7 ≈h/2πτ . В кристалле валентные электроны атомов, слабее связанные с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от одного атома к другому с помощью туннельного эффекта просачивания сквозь потенциальный барьер. Волновые функции электрона движущегося в перио­дическом одномерном ноле: ψ_jk(x)=1/√2 ∑(-∞,+∞)c_j(k+2πn/a)exp(i(k+2πn)x)/√(2π). Энергия электрона в кристалле является периодической функцией к и может быть представлена рядом Фурье: E_j(k) = ∑E_jm cos(так), где коэффициенты E_jm зависят от вида потенциальной энергии U(x).

57. Угловой момент. В кв. мех-ке соот-е между физ. величинами такие же, что и в кл., но каждой величине сопоставляют оп-р. M(^)=[r*p], для

Mx=(yPz-zPy),

My=(zPx-xPz),

Mz=(xPy-yPx), учитывая что P=-iћV → M2=Mx2+My2+Mz2;

MiMj-MjMi=ihMk

i,j,k=x,y,z, i≠j≠k. M2=-ћΔθφ (*)напишем ур-е опр-я собст-х ф-й оп-ра M в виде M2ψ=λψ (1)

λ- собст. зн-я оп-ра M2 . перейдем к сферич-ким переменным.

Тогда ψ=ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ) (2),

(2)и (*)→(1) получим Δθφ Y(θ,φ)+λ/ћ2 Y(θ,φ)=0 (4).

Решая (4) получим λ/ћ2=l(l+1)=> M=ћ√(l(l+1)); l=0,1,2,..,n-1; n-гл. кв. число ; l- орбитальное кв. число. Спектр M – дискретный.

Решая (4) мы также получим собст. ф-и М ; Yml(θ,φ)=NlmPml(x)eimφ ; m=0,+-1,+-2,…,+-l - магнитное кв. число. Nlm-нормирующий множитель, Pml(x)- полином Лежандра; Например Mz=mћ.

58. Движение в центральном поле. Атом водорода. Волновая функ уровни энергии.

Для центральн движен больш значен имеет мом колич движен. Возьмем ньютоново уравнение движен в векторной форме p = mv = F и умнож векторно слева на r. mr * v = r * F. След d/dt (r * p) = r * F (1). Вектор L = r * p (2) наз мом кол движения. Учтя (1) и (2) получим L = r * F. Если движен центральное то r и F направ противоположно, так что в этом случ r * F = 0 и урав перепис в виде L = const, т.е. при центральном движении мом кол движен как вектор сохран. Из этого след, что траектор частицы при централ движен лежит в одной плоск. В атоме водорода потенц энергия электрона равна U = -Ze²/r. Урав Шредингера в этом случ имеет вид  + (2m_t/h²)(E+ Ze²/r) = 0. Дискретные значения энергии раны E_n = - m_ee⁴Z²/2h²n² (n=1,2,3,…). Случай Е>0 соответст электрону пролетевш вблизи ядра и удалявщ вновь на . Случай Е<0 соответст электрону находящ в пределах атома.

n-главное квант число. При данном n числа l и m принимают след значен: l=0, 1, 2, …,n-1; m=-l, l+1,…,-1, 0, +1,…,l-1, l. Таким образ каждому Е_n соотв несколько волнов функ _nlm, отлич значениями квантов чисел l и m.

уров волнов значен

энерг функ n l m

E₁ _1,0,0 1 0 0

E₂ _2,0,0 2 0 0

_2,1,-1 2 1 -1

_2,1,0 2 1 0

_2,1,+1 2 1 +1

Число различных сосояний соотв данному n равно

^n-1_l=0 = (2l+1) = n²

59. Пусть H – оп-р Гамильтона возм. системы. H₀ - /--/ невозм. системы, V- энергия возмущения. Тогда H=H₀+V (H₀)_ij>V.

H₀ψ⁰_n=E⁰_n ψ⁰_n(2)-ур-е Шр-ра невозм. системы.

(H₀+V) ψ=Eψ (3); Задача заключается в решении (3). Для этого разлагаем собст. ф-и возм-я сис-мы в ряд по собст. ф-ям невозм. сис-мы.

ψ=∑_nС_nψ_n⁰ (4)→(3)=> ∑_n(H₀+V) С_nψ_n⁰=E∑_nС_nψ_n⁰

Умножая обе части на ψ_n^0* и интегрируя по всему прост-ву и заменим

∫ ψ_n^0* ψ_n⁰ dr=δ_nm получим ∑H_nmC_n=E∑С_n δ_nm

С учетом δ_nm получим ∑ H_nmC_n=E С_m (6) ∑ H_nmC_n-E С_m=0 (7)- секулярное ур-е - матричном виде (E_m⁰-E-V_mn)C_m- ∑_n≠mV_nmC_n=0. (*)

Спектр энергии разлагаем в ряд по степеням малости так, чтобы каждый последний член разложения был на порядок меньше предыдущего.

(E_m⁰-E⁰-E¹-…-)(С_n⁰+ С_m¹+..)- ∑_n≠m(С_n⁰+ С_n¹+..)=0 приравнивая соот-щие члены малости получим

(E_m⁰-E⁰) С_n⁰=0; (E_n⁰-E⁰) С_n²=∑_n≠mV_nmС_n¹;

E¹С_m=V_nn; (E_m⁰-E⁰) С_n⁰=V_nm;

Возмущение при наличии вырождения; Данному состоянию E_n соот-ют несколько ψ- ф-й. Тогда ψ_т=∑_αС_αт ψ_α Пусть α=2 Состоянию E_n соот-ют 2 ф-и и имеем случай с близко расположенными состояниями. Тогда их лин. комб-я будет ψ’=C₁ ψ₁+C₂ ψ₂ (**). (**)→(*) и m,n=1,2 получим сис-му ур-й

(E- E_m⁰-V₁₁)C₁- V₁₂C₂=0 и

(E- E_m⁰-V₂₂)C₂-V₂₁C₁=0

Решение отличное от нуля будет если опред-ль=0

V₁₂= V₂₁^*

E_1,2= E_n⁰+(V₁₁+ V₂₂)/2+-√(( V₁₁- V₂₂)/4+ V₁₂).

При E₁ ≠E₂≠E_n В этом случае возм-е приводит к снятию вырождения. Подставляя E₁ в систему получим С₁=С₂ тогда ψ=1/√(2)* (ψ₁+ ψ₂). Подставляя E₂ в систему получим С₁=-С₂ тогда ψ=1/√(2)* (ψ₁- ψ₂).

60. Уравнение Дирака. Спин-орбитальное взаимодействие. Уравнение Д получено из след требований:1) урав для волнов функ (x,t) должно быть линейным для того чтобы выполн принцип суперпозиции состояний; 2) в уравнение должна входить первая производная (x,t) по времени с тем, чтобы задание  в нач момент определяло волновую функ в любой послед момент времени; 3) урав должно быть инвариантно относит преобразов Лоренца, т.е. должно иметь один и тот же вид во всех инерциальн сист отсчета. Этим требованиям удов след уравнение (1)

Где

-спиновая переменная, ,-матрицы. Урав (1)наз уравнением Д. Собственный момент частицы наз спином, обозначается s. Число s может иметь значения 0, ½, 1, 3/2… Собственные значения квадрата спина равны s²=s(s+1). Собственное значение полного момента=l+s, где l-орбитальный момент. Энергия этого взаимодействия (наз спин-орбитальным взаимодействием) зав от взаимной ориентации орбитального и собственного моментов.

61. Принцип Паули. Бозоны Фермионы.

Согласно принципу П в одном и том же атоме не может быть 2 электронов обладающ одинаковой совокупн 4 квантов чисел. В одном и томже сост не могут наход одноврем 2 электрона. Фермионами наз частицы с S=1/2 и подчин стат Ферми-Дирака. К ним относ (лептоны, мюоны, электроны и нейтрино). Бозонами наз частицы с целым или нулевым спином и подчин стат Бозе-Эйнштейна. К ним относятся (мезоны и барионы)

62. Многоэлектронный атом. Приближение самосогласованности. Урав Шред для атомов, содерж более олного электрона, не может быть решено в аналитическом виде. Для данной проблемы был предложен метод самосогласованного поля. Этот метод закл в том, что каждый электрон в атоме рассматривается как движ в самосогласованном поле, создаваемом ядром вместе со всеми остальными электронами. Рассмотрим атом гелия. Пусть ₁(r) и ₂(r)-волнов функ электронов. Волнов функ (r₁,r₂) атома в целом выглядит след образ: =₁(r₁) ₂(r₂)+ ₁(r₂) ₂(r₁).(1) Запишем урав Шред в варьированном виде:  ^*(H –E)dV₁dV₂=0, (2) откуда, при произвол вариации волн функ  получ обычное урав Шред. Гамильтониан атома гелия имеет вид: H(ˆ) = H₁(ˆ) + H₂(ˆ) + 1/r₁₂; r₁₂-взаим расст электронов. Подст (1) в (2) и приравнивая 0 коэфф ₁ и ₂ в подынтеграл выражен получ cлед выражен:

[(1/2)+(2/r)+E-H₂₂-G₂₂(r)]₁(r)+[H₁₂+G₁₂( r)]₂(r)=0;

[(1/2)+(2/r)+E-H₁₁-G₁₁(r)]₂(r)+[H₁₂+G₁₂( r)] ₁(r )=0

где G_ab(r₁)=[_a(r₂)_b(r₂)dV₂]/r₁₂;

H_ab=_a[(-/2)-(2/r)]_bdV

Это и есть конечнвй результат к которым приводит метод самосогласованного поля.

63. Возмущения, зависящие от времени. Рассмотрим возмущения, явно зависящие от времени. Пусть ψ_k⁽⁰⁾ - волновые функции стацио­нарных состояний невозмущенной системы. Тогда произвольное решение невозмущенного волнового уравнения может быть напи­сано в виде суммы ψ=Σa_kψ_k⁽⁰⁾. Будем теперь искать решение возмущенного уравнения iћ(∂ψ/∂t)=(H₀(^)+V(^))ψ (1) в виде суммы ψ=Σ_ka_k(t) ψ_k⁽⁰⁾, (2) где коэффициенты разложения являются функциям и времени. Под­ставив (2) в (1) и помня, что функции ψ_k⁽⁰⁾ удовлетворяют уравнению iћ(∂ψ_k⁽⁰⁾/∂t)=H₀(^)ψ_k⁽⁰⁾ получим iћ Σ_kψ_k⁽⁰⁾ (da_k/dt)= Σ_ka_kV(^) ψ_k⁽⁰⁾. Умножив обе стороны равенства слева на ψ_k^(0)* и интегрируя, получим iћ(da_m/dt)= Σ_kV_mk(t)a_k (3) где V_mk(t)=V_mkexp(iwvkt) - матричные элементы возмущения, включающие временной мно­житель. В качестве невозмущенной волновой функции выберем волно­вую функцию n-го стационарного состояния, чему соответствуют значения коэффициентов в (2): а_n⁽⁰⁾=1, а_k⁽⁰⁾ = 0 при k≠n. Для определения первого приближения ищем a_k в виде a_k = а_k⁽⁰⁾+ а_k⁽¹⁾ причем в правую сторону уравнения (3) подставляем a_k = а_k⁽⁰⁾. Это дает iћ (da_k⁽¹⁾/dt)= V_kn(t) (4) Для того чтобы указать, к какой из невозмущенных функций вычисляется поправка, введем второй индекс у коэффициентов a_k, написав ψ=∑_ka_kn(t) ψ_k⁽⁰⁾ Соответственно этому, напишем результат интегрирования уравне­ния (4) в виде a_kn⁽¹⁾ =- i/ћ ∫ V_kn(t)dt=- i/ћ ∫ V_kn

63 exp(iwvkt) dt. (5) Расс более подробно важн случай периодич по врем возмущ, имеющ вид V(^) = F(^)exp(-iwt) + G(^)exp(iwt) где F(^) и G(^) - операторы, не зависящие от врем. В силу эрмитовости V должно быть F(^)exp(iwt) + G(^)exp(iwt) = F⁺(^)exp(-iwt) + G⁺(^)exp(iwt) откуда находим G(^) = F⁺(^), т.е. G_nm=F_mn* (7) Используя это соотн, имеем V_kn(t) = V_knexp(iωknt) = F_knexp(i(ωkn –ω)t) + _­­F_nk* exp(i(ωkn +ω)t) (8) Подставляя и интегрируя, получаем следующее выр-е для коэф-в разлож-я волн фун-й: a_kn⁽¹⁾= - F_knexp(i(ωkn –ω)t)/ ћ(ω_kn –ω) - F_kn *exp(i(ωkn –ω)t)/ ћ(ω_kn +ω) Эти выраж применимы, если ни один из знаменателей не обращается в 0, т. е. если для всех k E_k⁽⁰⁾ – E_n⁽⁰⁾ ≠ ± ћω (10) стала быть малыми по сравнению с единицей. Для ряда применений полезно иметь выражения для матрич­ных элементов произвольной величины f, определенных с помощью возмущенных волновых функций. В первом приближении:

f_nm(t)=f_nm⁽⁰⁾(t) + f_nm⁽¹⁾(t)

Где f_nm⁽⁰⁾(t)=∫Ψ_n⁽⁰⁾*f^Ψ_m⁽⁰⁾dq= f_nm⁽⁰⁾ exp(iωnmt),

f_nm⁽¹⁾ =∫(Ψ_n⁽⁰⁾*f(^) Ψ_m⁽¹⁾ + Ψ_n⁽¹⁾*f(^) Ψ_m⁽⁰⁾) dq

Подставив сюда Ψ_n⁽¹⁾= ∑_ka_kn⁽¹⁾ Ψ_k⁽⁰⁾ с a_kn⁽¹⁾ легко получить искомое выражение

f_nm⁽¹⁾(t) = - exp(iωnmt) ∑_k { [f_nk⁽⁰⁾F_km / ћ(ω_kn – ω) + f_km⁽⁰⁾F_nk / ћ(ω_kn + ω)] exp(-iωt⁾ +[ f_nk⁽⁰⁾F_mk* / / ћ(ω_kn + ω) + f_km⁽⁰⁾F_kn* / ћ(ω_kn + ω)] exp(iωt) }. (11)

Эта формула применима, если ни один из членов не становится большим, т. е. если все частоты ω_kn, ω_km не слишком близки к ω.

65. Теория упругого рассеяния. Борновское приближение. Парциальное разложение амплитуды рассеяния. При упругом рассеянии не происходит никаких превращений частиц или не меняется их внутренняя структура. Задача об упругом рассеянии сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведенной массой в поле U(r) неподвижного силового центра. Угол рассеяния обозначим θ. Он связан с углами θ₁ и θ₂ отклонения обеих частиц следующим выражением: tgθ₁=m₂sinθ/(m₁+m₂cosθ), θ₂=(π-θ)/2. Если массы частиц совпадают m₁=m₂, то эти выражения принимают вид: θ₁=θ/2, θ₂=(π-θ)/2. Сумма θ₁+θ₂=π/2, т.е. частицы разлетаются под прямым углом. Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси z, описывается плоской волной ψ=exp(ikz). Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида f(θ)exp(ikr)/r, где f(θ) - амплитуда рассеяния. Т.о. точная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера с потенциальной энергией U(r), должна иметь на больших расстояниях асимптотический вид ψ=exp(ikz)+f(θ)exp(ikr)/r. Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент поверхности dS=r²dω (dω – элемент телесного угла) равна vr^-2|f|²dS= v|f|²dω. Ее отношение к плотности потока в падающей волне равно dσ =|f(θ)|²dω. Эта величина называется эффективным сечением рассеяния внутри телесного угла dω. Если положить dω=2πsinθdθ, то мы получим сечение dσ =2πsinθ |f(θ)|²dθ для рассеяния в интервале углов между θ и θ+dθ. Решение уравнения Шредингера представляется в виде суммы волновых функций ψ=Σ(i=0,∞)A_lP_l(cosθ)R_kl(r),

где A_l=(2l+1)i^lexp(iδ_l)/2k,

R_kl- радиальные функции. Сечение можно найти как σ =∫(0,π)2π|f(θ)|²sinθdθ. Поэтому окончательно для сечения рассеяния получим:

σ =(4π/k²)Σ(i=0,∞)(2l+1)sin²δ_l, где δ_l – фазовые сдвиги R_kl. Парциальные амплитуды рассеяния отсюда принимают вид: f(θ)= Σ(i=0,∞)(2l+1)f_i P_l(cosθ), где f_i=(exp(2i δ_l)-1)/2ik. Сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде, когда рассеивающее поле рассматривается как возмущение. Это возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий |U|<<h²/4π²ma² или |U|= (h²/4π²ma²)ka, где а - радиус действия поля U(r). Согласно теории возмущений волновая функция имеет вид ψ=ψ⁽⁰⁾+ψ⁽¹⁾, где ψ⁽⁰⁾=exp(ikr) соответствует падающей частице с волновым вектором k=2πp/h, a

ψ⁽¹⁾(x,y,z)= -(2πm/h²)∫U(x’,y’,z’)exp(i(kr’+kR))dV’/R. Здесь r’ – радиус-вектор элемента объема dV’, R=|R₀-r’|. Используя последние выражения можно получить формулу для сечения рассеяния в элемент телесного угла dω: dσ = (4π²m²/h⁴)|∫Uexp(-ir(kn’-k))dV|²dω. n’- единичный вектор в направлении R₀.