14. Течение вязкой жидкости. Число Рейнольдса. Уравнение Навье-Стокса.

Если жидкость обладает вязкостью, то различают ее ламинарное и турбулентное течение (слоистое и вихревое течение жидкости) Пусть мы имеем произвольную трубку тока. При малых скоростях каждая частица будет двигаться в соответствии со своей линией тока: т.е. при ламинарном течении частицы не переходят с одного слоя на другой, и все течение жидкости можно рассмотреть как течение слоев. Если частица при своем движении частицы переходят с одной линии на другую, то происходит перемешивание жидкости и такое течение называют турбулентным (или вихревым). Критерием деления перехода от ламинарного к турбулентному течению есть число Рейнольдса: Re = ρDν/η= E_пол/A_тр где, ρ – плотность, D – диаметр трубки ток,  - коэффициент вязкости, А_тр – энергия, теряемая на преодоление сил трения. Ламинарное течение происходит при малых скоростях течения жидкости, а турбулентное при больших скоростях v=Δp(R²-r²)/(4ηl) l- длина трубки тока. При ламинарном течении движение подчиняется параболическому закону 0 max. Слой с =0 называется пограничным слоем. Толщина пограничного слоя и число Re связаны между собой. Объем жидкости, вытекаемой при этом V= ΔpR⁴t/(8ηl) Это закон Пуазеля.

Объем жидкости вытекаемой через трубку тока при ламинарном движении определяется законом Пуазеля. При обтекании тела жидкости, тела испытывает столкновение (сопротивление), часть энергии теряется на образование вихря за телом. в момент отрыва, вихря образуется импульс, направленный против движения жидкости. В результате образуется подъемная сила и результирующая F сопротивления движению. Сила вязкого трения F=-ηΔv/Δr*S уравнение Стокса.  - показатель вязкости; Δv/Δr=grad v; r – размеры тела Траектория движения частицы в жидкости есть – линия тока, а часть пространства, ограниченная линией тока есть трубка тока dυ/dt = F-1/ρ grad P + ηΔυ + (ξ/ρ + η/3) grad div υ – ур-е Навье-Стокса, где η и ξ – const вязкой среды.

15. Волны в сплошной среде. Характеристики акустических волн. В сплошных средах, состоящие из множества мельчайших частиц колебание возникшее в какой-то точке не остается локализованным, а благодаря силам упругой связи распространяется во все стороны, само колеблющееся тело остается неизменным. x’’ + w²x = 0. x = A sin (wt+). V = х’ = A w cos(wt +) – скорость волны. Если среда изотропная, то волна распространяется в виде сферы. А, если анизотропная в виде эллипсоида. Если вектор колебания и вектор распространения параллельны, то продольная волна, а если вектор колебания перпендикулярен вектору распространения – то вольна поперечная. Фронт волны – это геометрическое место точек, до которых дошла волна. Волновая поверхность – это геометрическое место точек колеблющихся в одной фазе, в данный момент времени. Анизотропные свойства по всем направлениям не одинаковы. Газ и жидкость – изотропные тела. Распространение волны в среде (причина упругих сил), подчиняется принципам Бюйгенса. Каждая точка волновой поверхности является источником вторичных волн. Волну характеризует параметрами: , w, v. Длина волны – это расстояние, между точками колеблющихся в одной фазе – это путь проходящий за 1 период. λ = vT; v = λν; v≥v_k. v_k - скорость колебания; v - скорость распространения волны. T = 1/ν.

Твердые тела, ‼ о,  0; газ, жидкость ‼ о,  =0. к = 2π/λ – волновое число. x = A sin(wt ± ky) – уравнение волны. ∂²x/∂t² = v² ∂²x/∂y² - волновое уравнение. E/V = 1/2 ρw²A² – плотность энергии. Скорость распространения фазы - называется фазовой скоростью. v_ф = w/k = λν - скорость переноса фазы. v_гр- групповая скорость v_гр = dw/dk, v_гр = v_ф - λ dx/dy.

16.Термодинамический подход к описанию молекулярных явлений. Температура. В молек. физике для изучения молекулярных систем используются 2 метода: стат-кий и ТД-кий. В стат. методе характеризуется состояние микросистемы: скорости и координаты молекул. В термодинамическом методе молекулярная система (газ в некотором объеме) хар-ся тремя термодинамическими параметрами Р, V, T. Темп-ра как мера нагретости тела. Кикоин дает определение температуры исходя из МКТ. Для этого он приводит 2 примера: 1) если у тела в области А: (m<v_A²>)/2 > (m<v_B²>)/2 чем в области В, то в результате хаотического движения молекул и их столкновений кинетическая энергия передается тем молекулам у которых она меньше. В результате через некоторое время средняя кинетическая энергия выравнивается и наступает термодинамическое равновесие. 2) Если а области А температура системы больше, чем в области В, то опять в результате хаотического движения и столкновений энергия передается от “горячих” молекул к “холодным” и через некоторое время во всем объеме устанавливается одинаковая температура. Отсюда следует, что температура и средняя кинетическая энергия ведут себя одинаково. Е_к ~ Т. Отсюда следует, что температура есть мера средней кинетической энергии. Исходя из Т~(m<v²>)/2 (1), температуру должны были измерять в джоулях но ее измерять в единицах энергии неудобно, т.к. 1 эрг очень большая величина.

Например, тепловая энергия 1ºС=5,65е-14 эрг (для 1 моля вещества). Еще до открытия МКТ температура измерялась в градусах, и решили измерять температуру в градусах и далее. В (1) надо ввести коэфф. проп. который переводит энергию в градусы.(m<v²>)/2=кТ, к=1,38е-23 эрг/градус. Если учесть степени свободы частицы то (m<v²>)/2=3кТ/2, где 3-число степеней свободы одноатомного газа. (m<v²>)/2=ikT/2. На одну степень свободы приходится тепловая энергия кТ/2. Поскольку берем среднюю кинетическую энергию, то следовательно температура связанна с большим числом частиц. О температуре можно говорить только если система находится в равновесии; Равновесие может быть только для большого числа частиц, т. к. равновесное состояние достигается в результате хаот. движения и столкновения молекул

17. Первое начало термодин. Циклические процессы. 1ЗТД является законом сохранения энергии, распространенным на тепловые явления. Закон сохранения энергии: энергия в природе не возникает из ничего и не исчезает: количество энергии неизменно, она только переходит из одной формы в другую. В ТД рассматриваются тела, положение центра тяжести которых практически не меняется. Мех. энергия таких тел остается постоянной, а изменяться может лишь внутренняя энергия. Внутренняя энергия может изменяться двумя способами: теплопередачей и совершением работы. В общем случае внутренняя энергия изменяется как за счет теплопередачи, так и за счет совершения работы. 1ЗТД формулируется именно для таких общих случаев: Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе: ΔU=A + Q Если система изолирована, то над ней не совершается работа и она не обменивается теплотой с окружающими телами. Согласно первому закону термодинамики внутренняя энергия изолированной системы остается неизменной. Учитывая, что A’ = A, 1ЗТД можно записать так: Q = U + A’. Количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами. 2ЗТД: невозможно перевести теплоту от более холодной системы к более горячей при отсутствии других одно временных изменений в обеих системах или в окружающих телах.

Процессы. Процессом называется переход системы из одного равновесного сост. А с пар-ми (P1, V1, T1) в другое равновесное состояние В с пар-трами (P2, V2, T2) Процессы бывают равновесные – неравновесные, обратимые – необратимые. Равновесным называется процесс если при переходе из А в В каждая точка этой кривой достигает равновесного состояния. Следующее изменение состояния не проводится пока не достигнет равновесия предыдущее состояние. Процесс будет равновесным если его проводить очень медленно. Процесс АВ называется обратимым если обратный процесс ВА повторяет все этапы прямого процесса. (Пример: Если на пов-ть стола падает шар то его кин. энергия в момент удара переходит в энергию деформации. Если удар абсолютно упругий, то шар поднимется на ту же высоту. В каждой точке траектории Е_кин и Е_пот одинаковы для движений А и В). Абсолютно обратимых и равновесных процессов в природе нет, но можно процессы проводить так, бесконечно приближая их к обратимому или равновесному. Процесс, при котором система после ряда изменений возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом или циклом. Обратимый цикл изображается на координатной плоскости замкнутой кривой.

18. 2-ое начало термодинимики. 1.Первый закон термодинамики, выражающий всеобщий закон сохранения и превращения энергии, не позволяет определить направление протекания термодинамических процессов. Например, основываясь на этом законе, можно было бы пытаться построить вечный двигатель второго рода, т. е. двигатель, рабочее тело которого, совершая круговой процесс, получало бы энергию в форме тепла от одного внешнего тела и целиком передавало бы ее в форме работы другому внешнему телу. 2.Обобщение результатов многочисленных экспериментов привело к выводу о невозможности построения вечного двигателя второго рода. Этот вывод называется вторым законом термодинамики и имеет ряд формулировок, различных по форме, но эквивалентных по существу, в частности: а) невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение тепла, полученного от нагревателя, в эквивалентную ему работу; б) невозможен процесс, единственным результатом которого является передача энергии в форме тепла от холодного тела к горячему. 3. Второй закон термодинамики указывает на существенное различие двух форм передачи энергии - теплоты и работы. Он утверждает, что процесс преобразования упорядоченного движения тела как целого в неупорядоченное движение частиц самого тела и внешней среды является необратимым.

Упорядоченное движение может переходить в неупорядоченное без каких-либо дополнительных (компенсирующих) процессов, например при трении. В то же время обратный переход неупорядоченного движения в упорядоченное, или, как часто неточно говорят, «переход тепла в работу», не может являться единственным результатом термодинамического процесса, т. с. всегда должен сопровождаться каким-либо компенсирующим процессом. Например, при равновесном, изотермическом расширении идеальный газ совершает работу, которая полностью эквивалентна теплу, переданному газу нагревателем. Однако плотность газа при этом уменьшается, т. е. «превращение тепла в работу» не является единственным результатом рассматриваемого процесса. Тепловой двигатель, работающий по прямому циклу Карно, совершает работу, эквивалентную лишь части полученного от нагревателя тепла, так как остальная часть последнего отдается холодильнику, состояние которого вследствие этого изменяется. В холодильной машине тепло передается от холодного тела к горячему. Однако для осуществления этого процесса необходим компенсирующий процесс совершения работы внешними телами.

19. ТД потенциалы. В ТД сущ-ют методы циклов и методы ТД пот-в. Напишем основное Ур-е ТД TdS = dE + Σ(i) B_i dQ_i (1). B_i-обобщенная сила, a_i-пар-рт сопряженный обощ. Cиле (2). Состояние сист можно определить 2мя пар-трами (TиS PиS TиP), для опр-я неизвестных пар-тров в (2) надо ввести еще 2 ур-я. P=P(V,T) и E=E(V,T),если известны VиT. При выборе других независимых пер-ных к этому Ур-ю достаточно добавить 1ур-е и ур-е(2) запишем в виде вdE=TdS-PdV (3) => T = (∂E/∂S)_V, P = (∂E/∂V)_S , внутренняя энергия E в пер-ных SиV является харак-ой ф-цией, т.е. в этом случае остальные переменные (TиP) опред-ся дифф-ем E по SиV. В переменных и внутр E является ТД пот-м. Оказывается, что ф-ция E=E(V,S) как ф-ция V и S в качестве ТД пот-ла неудобна тем, что одну из пер-ых, от которых зависит эта ф-ция (S) невозможно измерить непосредственно. Вычтем из (3) d(TS): d(E-TS)=TdS-PdV-TdS-SdT= -PdV-SdT, F=E-TS –свободная энергия Гельмгольца, dF= -(PdV+SdT) (4). В пер-ных VиT св.энергия Гель-ца F является ТД пот-м. S = - (∂Ф/∂T)_P; P = - (∂F/∂V)_T. Прибавим к (4) (PdV). Тогда d(F+PV)=-SdT+VdP; Ф=F+PV=E-TS+PV; dФ=-SdT+VdP (5) Ф – ТД пот-л (Энергия Гиббса), пер-х TиP; S = - (∂Ф/∂T)_P, V = (∂Ф/∂P)_T. Прибавим к (3) d(PV); d(E+PV)=TdS-PdV+PdV+VdP; H=E+PV – энтальпия (тепловая ф-ция) – ТД пот-л в пер-ных S и P. dH=TdS+VdP.

Хим. пот-л μ = (∂Ф/∂N)_T,P = (∂H/∂N)_S,V = (∂F/∂N)_T,N; N-число …

Энтропия Термодинамической Системы.

Энтропией называется функция S состояния системы, дифференциал которой в элементарном обратимом процессе равен отношению бесконечно малого количества тепла, сообщенного системе, абсолютной температуре последней: dS = dQ/T. Энтропия сложной системы равна сумме энтропии всех ее однородных частей. По знаку изменения энтропии системы в обратимом процессе можно судить о направлении теплообмена. Для всех обычных термодинамических систем внутренняя энергия U неограниченно возрастает при Т ® Ґ, поэтому абсолютная температура в равновесных состояниях может быть только положительной, так что при нагревании системы dS > 0, а при охлаждении dS < 0.2. Изоэнтропийным процессом называется термодинамический процесс, в котором энтропия системы не изменяется. Например, в обратимом адиабатическом процессе dQ = 0 и S = const.

20. Идеальный газ. Основ. газовые законы. Идеальным газом называется газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия. С достаточной степенью точности газы можно считать идеальными в тех случаях, когда рассматриваются их состояния, далекие от областей фазовых превращений. Для идеальных газов справедливы следующие законы: а) Закон Бойля-Mаpuomma: при неизменных температуре и массе произведение численных значений давления и объема газа постоянно: pV = const. Графически этот закон в координатах РV изображается линией, называемой изотермой; б) Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре: V = V₀(1 + at) где V - объем газа при температуре t, °С; V₀ – его объем при 0°С. Величина a называется температурным коэффициентом объемного расширения. Для всех газов a = (1/273°С^–1). Следовательно, V = V₀(1 +(1/273)t) Графически зависимость объема от температуры изображается прямой линией – изобарой; в) Закон Шарля: при постоянном объеме давление данной массы газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:p = p₀(1+gt) где р₀ - давление газа при температуре t = 273,15 К. Величина g называется температурным коэффициентом давления. Ее значение не зависит от природы газа; для всех газов = 1/273 °С^–1. Таким образом, p = p₀(1 +(1/273)t) Графическая зависимость давления от температуры изображается прямой линией – изохорой г) Закон Авогадро: при одинаковых давлениях и одинаковых температурах и равных объемах различных идеальных газов содержится одинаковое число молекул; или, что то же самое: при одинаковых давлениях и одинаковых температурах грамм-молекулы различных идеальных газов занимают одинаковые объемы. Так, например, при нормальных условиях (t = 0°C и p = 1 атм = 760 мм рт. ст.) грамм-молекулы всех идеальных газов занимают объем Vm = 22,414 л. Число молекул, находящихся в 1 см³ идеального газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта; оно равно 2,687*10¹⁹.

21. Распределение молекул газа по скоростям. Идеальный газ во внешнем потенциальном поле. В результате хаотического движения молекулы имеют различные скорости при одной и той же температуре. Найти число мол-л dn, скор-ти которых лежат в интервале от v до v+dv. 1)dn зависит от величины v около которой задается интервал. 2)dn является функцией от ск-ти. 3)dn зависит от концентрации N. Dn=Nf(v)dv (1), dn – число мол-л в единице объема, скорости которых лежат в интервале dv около v. F(v) – функция распределения. Из (1) мы получим f(v) = dn/(Ndv), dn/N – доля молекул в единице объема, скорости которых лежат в единичном интервале dv. Чтобы найти dn или распределение молекул по скоростям, необходимо найти функцию распределения f(v). F(v) = 4π (m/(2πkT))^3/2 v² exp(-mv²/(2kT)) (2) – функция распределения Максвелла. Dn = N 4π (m/(2πkT))^3/2 v² exp(-mv²/(2kT))dv (3). Из графика видно, что число мол-л с очень большими и с очень маленькими скоростями ничтожно мало. Также видно, некоторой скоростью обладает максимальное число мол-л v_n. Если на графике выделить полоску с основанием dv , то S = dv f(v) = dv dn/(Ndv) = dn/N. Таким образом, площадь полоски численно равна доле молекул в единице объема, скорости которых приходятся на единичный интервал. S = dn₁/N + dn₂/N + … + dn_n/N = 1/N(dn₁ + dn₂ + …+ dn_n) = n, где n.

S = 1 если возьмем весь интервал скоростей. Распределение молекул по скоростям зависит от температуры (прямо пропорционально). С ростом температуры наивероятнейшая скорость увеличивается, но максимум кривой уменьшается. Рассмотрим идеальный газ в однородном поле тяжести. Направим ось Z верти­кально вверх и найдем закон изменения концент­рации n с координатой z в состоянии теплового и механического равновесия. Выделим бес­конечно короткий вертикальный столб газа с высотой dz. Пусть площадь основания столба равна 1. Вес столба nmgdz должен уравновешиваться разностью давлений P₁ – P₂ = - dP/dz dz. Это приводит к соотноше­нию dP/dz = - nmg. Подставляя сюда Р = nkT и принимая во внимание, что температура Т одинакова на всех высотах, получим kTdn/dz = - nmg или kTd ln(n) = - mgdz. Аналогичное соотношение можно получить и для неоднородного поля. Для этого надо написать условие механического равновесия части газа, заполняющей настолько малую область пространства, что в пределах этой области поле g может считаться однородным. Условие равновесия в этом случае удобнее писать в векторной форме: kTd ln(n) = - m(gdr). Если ε_p – потенциальная энергия молекулы в силовом поле, то m(gdr) = dε_p. Поэтому kTd ln(n) = -dε_p. Интегрируя, получаем n = n₀ exp(-ε_p/kT). Это соотношение называется законом распределения Больцмана.

22. Каноническое распределение Гиббса. Нам необходимо найти функцию распределения любого макротела, являющейся частью какой-либо большой замкнутой системы. Обозначим через Е₀ энергию всей замкнутой системы. Е – энергия рассм-го тела, Е^’ – энергия среды. Т.о. Е₀=Е+ Е^’. Микроканоническое распределение напишем так: d=const  (Е^’+E-E₀)dГdГ^’. Задачей является найти вероятность _n такого состояния всей системы, при кот данное тело нах-ся в некот определенном состоянии с энергией Е_n , т.е., состояние описанное микроскопически. При этом микросостоянием среды мы не будем интересоваться, что она нах-ся в некотором макроскопически описанном состоянии. Обозначим через _n функцию распределения состояния, где n означает квантовое состояние. _n=const(E^’+E_n-E₀)dГ^’, dГ=1 – объем фазового пространства рассматриваемого тела _n=const(E^’ + E_n – E₀) dГ’(E’)/dE’ dE’ = const∫δ(E’ + E_n – E₀) ∆Г’(E’)/∆E’ dE’ = const∫δ(E’ + E_n – E₀) exp(S’(E’))/∆E’ dE’. Е^’ – относительно слабо изменяющая величина относительно Е^’, поэтому им можно пренебречь. _n=const(E^’+E_n-E₀)exp(S’(E’))dE^’. Т.к. энергия в целом много меньше энергии всей замкнутой системы, можно разложить функцию S^’(E^’) по степеням малой величины Е_n оставив в разложении линейные члены.

S^’(E^’) = S^’(E₀ - E_n) = S^’(E₀) - E_n(S^’(E₀)/E₀), TdS=dE + pdV, S^’(E₀)/E₀=1/T, ρ_n = const exp(S’(E₀’) exp(- E_n/T), ρ_n = A exp(- E_n/T) - это есть каноническое распределение Гиббса. А – нормировочная постоянная. Её находят из условия нормировки _n=1. В классической статистике фун-я распр-я в фазовом пространстве представится в следующем виде: ρ(p,q) = A exp(E(q,p)/T), ∫ρ_n(q,p)dqdp = A∫exp(-E(q,p)/T)dqdp = 1.

23. Идеальные бозе- и ферми- газы. Равновесное излучение. Рассмотрим идеальный газ (ИГ) при достаточно низких температурах. В этом случае статистика Больцмана не пригодна и надо найти статистику для низких температур. Такая статистика зависит от того какова структура газа. Если система состоит из частиц, кот описываются симметричными волновыми функциями, то применима статистика Бозе-Эйнштейна. А если антисимметричные волновые функции – статистика Ферми-Дирака. В сучае, когда функция описывается сим-ми волновыми функциями, принцип Паули не действует. Ω = - T ln(Σ(N)Σ(n) [exp((μN - E_nN)/T)]); E_n=Nn_k; Ω_k = - T ln(Σ(n_k) [exp((μ – ε_k)/T) ⁿ]); Ω_k = - T ln(1+exp((μ – ε_k)/T)) (1). <n_k> = ∂ Ω_k/∂μ = 1/(exp((ε_k– μ)/T)-1) (2). Σ(k)[n_k] = Σ(k) [1/(exp((ε_k– μ)/T)+1)] = N, Ω = - T Σ(k)[ln(1+ exp((μ – ε_k)/T))] (3). Бозе-газ – это газ, который описывается симметричными волновыми функциями. При этом спин целый. Принцип Паули для Бозе-газа не действует. Ω_k = - T ln(Σ(n_k = 0,∞)[ exp((μ – ε_k)/T) ⁿ]). Чтобы этот ряд был сходящимся, необходимо чтобы exp[(-_k)/T] < 1, _k=0, 0; (-_к)/Т 0 отметим, что  больцмановского газа значительно меньше нуля. А для Ферми-газа  может быть как меньше так и больше нуля. Тогда Ω_k = - T ln(1- exp((μ – ε_k)/T)) (4). n_k = - ∂Ω/∂μ = 1/( exp((ε_k– μ)/T)-1). (5) Тогда Ω = T Σ(k) [ln(1- exp((μ – ε_k)/T))] (6).

Объединяя формулы для Ω и для n_к для Бозе- и Ферми –газов получим Ω = T Σ(k) ln(1± exp((μ – ε_k)/T)) (7). <n_k> = 1/exp((ε_k– μ)/T) ±1 (8). n_к – среднее число частиц, находящихся в к-том состоянии.  - химический потенциал, _к - энергия одной частицы. Излучение, находящееся в некоторой области пространства в равновесии с окружающими телами, называется тепловым или равновесным. При тепловом равновесии тел их температуры одинаковы. Поэтому и излучение, находясь в равновесии с другими телами, имеет температуру этих тел. В термодинамике равновесное излучение представляет собой систему характеризуемую объемом, температурой и давлением.(V,T,p). В электродинамике равновесное излучение есть непрерывная совокупность электромагнитных волн, излучаемых беспорядочно движущимися частицами окружающих тел. Полная энергия излучения в объеме V вследствие его изотропности U=uV. Если S_vdv – энтропия единицы объема излучения с частотами в интервале v, v+dv, то полная удельная энтропия равновесного излучения S = ∫(0,∞) S_ν dν , а энтропия излучения в объеме V: S=sV.