Випадкові величини та їх розподіл
Випадковою величиноюназивають таку величину, яка внаслідок експерименту може прийняти лише одне заздалегідь невідоме числове значення. Випадкові величини буваютьдискретнимитанеперервними.
Дискретна - випадкова величина, яка може приймати скінчену кількість значень (наприклад, кількість дітей, що народилися за добу). Типовими прикладами дискретних випадкових величин в медицині є результати клінічного дослідження пацієнта, коли фіксується наявність у пацієнта тих чи інших симптомів. Появу будь-якого симптому можна інтерпретувати як дискретну випадкову величину, яка приймає два можливих значення: "1" – якщо даний симптом спостерігається у пацієнта, і "0" – у протилежному випадку.
Неперервна – випадкова величина, яка може приймати будь-які числові значення в даному інтервалі значень (наприклад, маса тіла і вага новонароджених, значення концентрації амінокислот, органічних кислот при біохімічному обстеженні пацієнта). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.
На початку процедури аналізу випадкових даних виникає необхідність статистичного опису цих даних. Існують різні способи статистичного опису розподілу випадкових величин.
Закон розподілу випадкових величин– функціональна залежність між значеннями випадкових величин та ймовірностями з якими вони приймають ці значення. Закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, формули або графіка.
Функція розподілу– це функціяF(x),яка задає ймовірність того, що випадкова величинаХу випробовуванні прийме значення менше х
F(x)=Р(Х<х).
Властивості функції розподілу:
1. 0 F(x)1;
2. F(x) - зростаюча функція, тобто якщоx2>x1, то F(x2)>F(x1), .
Функція розподілу неперервної випадкової величини F(x)є неспадною неперервною функцією, яка приймає значення від 0 до 1.. Для дискретних випадкових величин функція розподілу є розривною ступеневою функцією.
Рис.1. Функції розподілу неперервної і дискретної випадкових величин
Щільність розподілудля неперервної випадкової величини – це похідна від функції розподілу:f(x)=F/(x).
Числові характеристики випадкових величин
На практиці не завжди вдається одержати закон розподілу випадкової величини, тому що цей закон є надто складним для практичних розрахунків. Отож, з’явилася потреба характеризувати випадкову величину з допомогою таких числових характеристик: математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.
Математичним сподіванням MXвипадкової величиниXназивається число, яке дорівнює сумі добутків усіх можливих значеньxна відповідні їм ймовірності, якщоX - дискретна випадкова величина:
,
Математичне сподівання MXвипадкової величиниX, якщоX- неперервна випадкова величина, має такий вигляд:
На практиці під математичним сподіванням розуміють центр розподілу випадкової величини.
Дисперсією DXдискретної випадкової величиниXназивається число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:
Дисперсію DX неперервної випадкової величини визначають так:
Дисперсія випадкової величини характеризує розсіювання можливих значень випадкової величини відносно центру розподілу. Дисперсія вимірюється у квадратних одиницях розмірності випадкової величини.
Середньоквадратичне відхилення σвипадкової величиниXдорівнює квадратному кореню з дисперсії:
Середньоквадратичне відхилення має розмірність випадкової величини.