Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Исследование функций

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
15.02.2016
Размер:
647.61 Кб
Скачать

Учреждение образования Федерации профсоюзов Беларуси «Международный университет «МИТСО»

Факультет международных экономических отношений и менеджмента

Кафедра логистики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Практикум для самостоятельной работы студентов

по теме «Исследование функций»

Автор-составитель: О.А. Мокеева, канд. физ.-мат. наук, доцент

Минск 2011

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература Учебники

1.Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.

2.Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.:

Высш. шк., 1982. − 272 с.

3.Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.:

Наука, 1989. − 656 с.

4.Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.

5.Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.

6.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов

/В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.

Задачники

7.Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.

8.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.

9.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. −

284 с.

10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.

В3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред.

А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.

2

Дополнительная литература Учебники

11.Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.

12.Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.

13.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.

В2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.

14.Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704 с.

15.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Ши-

пачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.

16.Малыхин, В.И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.:

ИНФРА-М, 2002. − 352 с.

17.Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.

18.Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.

19.Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.

Задачники

20.Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.

21.Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

423 с.

Наглядные и методические пособия

22.Тютянова, В.А. Высшая математика: учебно-методический комплекс (1 курс) / В.А. Тютянова. − Гомель: ГФ МИТСО, 2007. − 145 с.

23.Электронный учебно-методический комплекс «Высшая математика» / Ю.И. Воротницкий [и др.]. − Мн.: БГУ, 2009. − 7376 с

3

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

СПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

1.Четность, нечетность и периодичность функции

Функция f (x) называется четной, если:

1)множество D( f ) симметрично относительно нуля;

2)для любого x D( f ) справедливо равенство f ( x) f (x) .

График четной функции симметричен относительно оси Oy .

Функция f (x) называется нечетной, если:

1)множество D( f ) симметрично относительно нуля;

2)для любого x D( f ) справедливо равенство f ( x) f (x) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется

функцией общего вида.

 

 

 

Функция

f (x) называется периодической, если существует такое

число T

0,

что для любого x

D( f )

справедливы условия:

1)

x T D( f ) , x T D( f ) ;

 

 

2)

f (x T ) f (x T )

f (x) .

 

 

Число T

называется периодом функции f (x) . Если T – период

функции

f (x) , то числа

T ,

2T ,

3T , … также являются перио-

дами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов, если таковой существует.

Если функция f (x) периодическая с периодом T, то ее график пе-

реходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ox на T единиц влево или вправо.

Пример 1.1. Определить, какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие – общего вида:

1)

f (x)

x3

 

; 2)

f (x) x4

5

 

x

 

; 3) f (x) ex

2 e x .

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1)

D( f ) (

;

) , и область определения функции сим-

метрична

относительно

начала

координат.

Кроме

того,

f ( x)

(

x)3

 

 

 

x3

 

 

f (x) , т. е. данная функция нечетная.

( x)2

1

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) D( f )

(

;

 

) и

f (

x)

(

x)4

5

 

x

 

x4

5

 

x

 

f (x) . Сле-

 

 

 

 

 

довательно, функция четная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) D( f )

(

;

) и

f (

x)

e

x 2

ex

 

 

 

f (x) , т. е. данная функ-

ция общего вида.

Ответ: 1) нечетная функция; 2) четная функция; 3) функция общего вида.

Пример 1.2. Определить, является ли данная функция f (x) sin 4x

периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует.

Решение.

Наименьшим положительным периодом функции sin x

является число 2

. Покажем,

что наименьший положительный пери-

од sin 4x – число

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

sin 4

x

 

sin( 4x

2 )

 

sin 4x ,

т. е. T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

период данной функции. С другой стороны, если T1

0 – какой-либо

другой период этой функции,

то sin 4(x

T1)

sin 4x для всех

x , т. е.

sin( 4x 4T1)

sin 4x ,

x

R . Отсюда следует, что 4T1

– период функ-

ции sin t , где t

4x , и, значит,

4T1 2 , т. е. T1

 

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

T

 

 

 

наименьший

положительный

период

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции sin 4x .

Аналогично можно показать, что наименьший положительный пе-

риод функции sin( kx b) и cos(kx b) ( k 0 ) – это число

2

.

 

 

 

 

k

Ответ: T

 

.

 

 

2

 

 

 

5

 

 

2. Условия монотонности функции. Экстремумы функции

Функция y

f (x) называется возрастающей (строго возрастаю-

щей) на интервале a;b , если для любых двух значений x1 и

x2 из

этого интервала таких, что x1 x2 , следует неравенство f (x1)

f (x2 )

( f (x1) f (x2 ) ).

 

 

Функция y

f (x) называется убывающей (строго убывающей) на

интервале a;b , если для любых значений x1 и x2 из этого интервала

таких, что x1

x2 , следует неравенство f (x1)

f (x2 ) ( f (x1)

f (x2 ) ).

Критерий

монотонности. Функция

y

f (x) возрастает на

a;b

тогда и только тогда, когда f (x)

0

для любого

x a;b ;

функция убывает тогда и только тогда, когда f (x) 0 для любого

x

a;b .

 

 

 

 

Функция возрастающая или убывающая называется монотонной.

Точка x0

называется точкой максимума

(минимума)

функции

y f (x) , если существует двусторонняя окрестность этой точки, что

для

всех x x0

из этой окрестности выполняется неравенство

f (x)

f (x0 ) ( f (x)

f (x0 ) ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференци-

руемая функция y f (x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная в этой точке равна нулю: f (x0 ) 0 .

Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными. Точки, в которых производная равна 0 или не существует, назы-

ваются критическими.

6

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция

y

f (x) непрерывна в точке x0 и дифференцируема в некоторой ее

окрестности (кроме, быть может, самой точки x0 ). Если при пере-

ходе через точку x0 производная f (x) меняет знак с плюса на минус,

то x0 – точка максимума. Если же производная f (x) меняет знак с

минуса на плюс, то x0

– точка минимума.

Если x1, x2 , , xn

критические точки непрерывной на отрезке

a;b

функции f (x) , то наибольшее (M ) и наименьшее (m) значения

этой функции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел f (a), f (x1), f (x2 ), , f (xn ), f (b) .

 

Пример 2.1. Найти экстремумы функции f (x)

x3

9x2 15 x .

 

Решение. Функция определена и дифференцируема на всей число-

вой прямой, причем f (x) 3x2 18 x 15 3 (x 1)

(x

5) .

 

Находим критические точки:

 

 

1)

f (x) 0; x1 1, x2 5 ;

 

 

2)

f (x) не существует; таких точек нет.

 

 

Следовательно, получаем следующее распределение знаков первой

производной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

5

x

Итак, функция f (x)

x3

9x2 15 x

убывает на интервале 1;5 и

возрастает на интервале

(

;1)

и (5;

) , x

1 – точка максимума,

x 5 – точка минимума,

fmax

f (1) 13

9 12

15 1

7 ,

fmin f (5)

53

9 52 15 5

25 .

 

 

 

Ответ:

fmax

f (1)

7 ,

fmin

f (5)

25 .

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

Пример 2.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f (x)

1

x2

2x4

на отрезке

1;1 .

 

 

 

 

 

Решение. 1. Находим производную данной функции:

 

 

f (x) 2x 8x3

2x (1 2x) (1 2x) .

 

 

 

 

2.

Находим критические точки − корни производной: f

(x)

0 при

x1 0, x2

0,5, x3

0,5 .

Все

критические точки

находятся

внутри

интервала (

1;1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Вычисляем значения функции в критических точках и на грани-

цах отрезка:

f (0)

1, f (

0,5)

f (0,5)

1,125, f (

1)

f (1)

0.

 

4.

Сравнив найденные значения функции, делаем вывод, что на от-

резке

1;1

наибольшее ее значение

M 1,125

достигается в точках

x2

0,5, x3

0,5 , а наименьшее значение m

0 − на концах иссле-

дуемого отрезка.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: M 1,125 , m

0 .

 

 

 

 

 

 

3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции y f (x) называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале (a;b) , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 1).

y

М

0

а

х0

b

x

Рис. 1

8

График дифференцируемой функции y f (x) называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a;b) , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 2).

y

М

0

а

х0 b

x

 

 

Рис. 2

 

Теорема (достаточное условие выпуклости (вогнутости) гра-

фика функции). Если f (x) 0 в интервале (a;b) , то график функ-

ции является выпуклым в этом интервале. Если f

(x)

0 в интервале

(a; b) , то график функции является вогнутым в этом интервале.

Точки, в которых вторая производная функции

y

f (x) равна ну-

лю или бесконечности, или вовсе не существует, называются критическими точками второго рода. Эти точки лежат внутри области определения данной функции.

Точки перегиба функции находятся среди критических точек второго рода.

Точка M (x0; f (x0 )) , отделяющая выпуклую часть непрерывной

функции от вогнутой, или наоборот называется точкой перегиба

(рис. 3).

9

y

M

f (x0)

0

x0

x

Рис. 3

Заметим, что график функции пересекает касательную в точке перегиба и переходит с одной ее стороны на другую.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если x0 – точка перегиба графика функции y f (x) , то либо вторая производная в этой точке не существует, либо f (x0 ) 0 .

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Если при пере-

ходе через критическую точку x0 вторая производная

f (x)

меняет

знак, то точка M (x0; f (x0 )) есть точка перегиба функции y

f (x) .

Если же f (x) знака не меняет, то точка M (x0; f (x0 ))

точкой пере-

гиба не является.

 

 

Пример 3.1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и во-

гнутости графика функции y

x3

5x2

3x 5 .

Решение. Функция

y x3

5x2

3x

5 определена и дважды диф-

ференцируема при x

R .

 

 

 

y 3x2 10 x 3 , y 6x 10.

Находим точки, в которых вторая производная обращается в 0 или не существует:

1) y 0; x 53 ;

10