Исследование функций
.pdfУчреждение образования Федерации профсоюзов Беларуси «Международный университет «МИТСО»
Факультет международных экономических отношений и менеджмента
Кафедра логистики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Практикум для самостоятельной работы студентов
по теме «Исследование функций»
Автор-составитель: О.А. Мокеева, канд. физ.-мат. наук, доцент
Минск 2011
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература Учебники
1.Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.
2.Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.:
Высш. шк., 1982. − 272 с.
3.Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.:
Наука, 1989. − 656 с.
4.Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.
5.Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.
6.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов
/В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.
Задачники
7.Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.
8.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.
9.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. −
284 с.
10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.
В3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред.
А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.
2
Дополнительная литература Учебники
11.Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.
12.Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.
13.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
В2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.
14.Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704 с.
15.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Ши-
пачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.
16.Малыхин, В.И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.:
ИНФРА-М, 2002. − 352 с.
17.Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.
18.Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.
19.Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.
Задачники
20.Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.
21.Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
−423 с.
Наглядные и методические пособия
22.Тютянова, В.А. Высшая математика: учебно-методический комплекс (1 курс) / В.А. Тютянова. − Гомель: ГФ МИТСО, 2007. − 145 с.
23.Электронный учебно-методический комплекс «Высшая математика» / Ю.И. Воротницкий [и др.]. − Мн.: БГУ, 2009. − 7376 с
3
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
СПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
1.Четность, нечетность и периодичность функции
Функция f (x) называется четной, если:
1)множество D( f ) симметрично относительно нуля;
2)для любого x D( f ) справедливо равенство f ( x) f (x) .
График четной функции симметричен относительно оси Oy .
Функция f (x) называется нечетной, если:
1)множество D( f ) симметрично относительно нуля;
2)для любого x D( f ) справедливо равенство f ( x) f (x) .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется
функцией общего вида. |
|
|
|
|||
Функция |
f (x) называется периодической, если существует такое |
|||||
число T |
0, |
что для любого x |
D( f ) |
справедливы условия: |
||
1) |
x T D( f ) , x T D( f ) ; |
|
|
|||
2) |
f (x T ) f (x T ) |
f (x) . |
|
|
||
Число T |
называется периодом функции f (x) . Если T – период |
|||||
функции |
f (x) , то числа |
T , |
2T , |
3T , … также являются перио- |
дами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов, если таковой существует.
Если функция f (x) периодическая с периодом T, то ее график пе-
реходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ox на T единиц влево или вправо.
Пример 1.1. Определить, какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие – общего вида:
1) |
f (x) |
x3 |
|
; 2) |
f (x) x4 |
5 |
|
x |
|
; 3) f (x) ex |
2 e x . |
|
|
|
|||||||||
x2 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1) |
D( f ) ( |
; |
) , и область определения функции сим- |
|||||||||||||||||||
метрична |
относительно |
начала |
координат. |
Кроме |
того, |
|||||||||||||||||
f ( x) |
( |
x)3 |
|
|
|
x3 |
|
|
f (x) , т. е. данная функция нечетная. |
|||||||||||||
( x)2 |
1 |
|
x2 |
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) D( f ) |
( |
; |
|
) и |
f ( |
x) |
( |
x)4 |
5 |
|
x |
|
x4 |
5 |
|
x |
|
f (x) . Сле- |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
довательно, функция четная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) D( f ) |
( |
; |
) и |
f ( |
x) |
e |
x 2 |
ex |
|
|
|
f (x) , т. е. данная функ- |
ция общего вида.
Ответ: 1) нечетная функция; 2) четная функция; 3) функция общего вида.
Пример 1.2. Определить, является ли данная функция f (x) sin 4x
периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует.
Решение. |
Наименьшим положительным периодом функции sin x |
|||||||||||||||||||
является число 2 |
. Покажем, |
что наименьший положительный пери- |
||||||||||||||||||
од sin 4x – число |
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
sin 4 |
x |
|
sin( 4x |
2 ) |
|
sin 4x , |
т. е. T |
|
|
– |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
период данной функции. С другой стороны, если T1 |
0 – какой-либо |
|||||||||||||||||||
другой период этой функции, |
то sin 4(x |
T1) |
sin 4x для всех |
x , т. е. |
||||||||||||||||
sin( 4x 4T1) |
sin 4x , |
x |
R . Отсюда следует, что 4T1 |
– период функ- |
||||||||||||||||
ции sin t , где t |
4x , и, значит, |
4T1 2 , т. е. T1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
T |
|
|
|
– |
наименьший |
положительный |
период |
||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции sin 4x .
Аналогично можно показать, что наименьший положительный пе-
риод функции sin( kx b) и cos(kx b) ( k 0 ) – это число |
2 |
. |
||
|
||||
|
|
|
k |
|
Ответ: T |
|
. |
|
|
2 |
|
|
||
|
5 |
|
|
2. Условия монотонности функции. Экстремумы функции
Функция y |
f (x) называется возрастающей (строго возрастаю- |
|
щей) на интервале a;b , если для любых двух значений x1 и |
x2 из |
|
этого интервала таких, что x1 x2 , следует неравенство f (x1) |
f (x2 ) |
|
( f (x1) f (x2 ) ). |
|
|
Функция y |
f (x) называется убывающей (строго убывающей) на |
|
интервале a;b , если для любых значений x1 и x2 из этого интервала |
таких, что x1 |
x2 , следует неравенство f (x1) |
f (x2 ) ( f (x1) |
f (x2 ) ). |
||
Критерий |
монотонности. Функция |
y |
f (x) возрастает на |
||
a;b |
тогда и только тогда, когда f (x) |
0 |
для любого |
x a;b ; |
|
функция убывает тогда и только тогда, когда f (x) 0 для любого |
|||||
x |
a;b . |
|
|
|
|
Функция возрастающая или убывающая называется монотонной. |
|||||
Точка x0 |
называется точкой максимума |
(минимума) |
функции |
y f (x) , если существует двусторонняя окрестность этой точки, что
для |
всех x x0 |
из этой окрестности выполняется неравенство |
f (x) |
f (x0 ) ( f (x) |
f (x0 ) ). |
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференци-
руемая функция y f (x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная в этой точке равна нулю: f (x0 ) 0 .
Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными. Точки, в которых производная равна 0 или не существует, назы-
ваются критическими.
6
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция |
||
y |
f (x) непрерывна в точке x0 и дифференцируема в некоторой ее |
|
окрестности (кроме, быть может, самой точки x0 ). Если при пере- |
||
ходе через точку x0 производная f (x) меняет знак с плюса на минус, |
||
то x0 – точка максимума. Если же производная f (x) меняет знак с |
||
минуса на плюс, то x0 |
– точка минимума. |
|
Если x1, x2 , , xn – |
критические точки непрерывной на отрезке |
|
a;b |
функции f (x) , то наибольшее (M ) и наименьшее (m) значения |
этой функции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел f (a), f (x1), f (x2 ), , f (xn ), f (b) .
|
Пример 2.1. Найти экстремумы функции f (x) |
x3 |
9x2 15 x . |
|
Решение. Функция определена и дифференцируема на всей число- |
||
вой прямой, причем f (x) 3x2 18 x 15 3 (x 1) |
(x |
5) . |
|
|
Находим критические точки: |
|
|
1) |
f (x) 0; x1 1, x2 5 ; |
|
|
2) |
f (x) не существует; таких точек нет. |
|
|
Следовательно, получаем следующее распределение знаков первой
производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
x |
|
Итак, функция f (x) |
x3 |
9x2 15 x |
убывает на интервале 1;5 и |
|||||
возрастает на интервале |
( |
;1) |
и (5; |
) , x |
1 – точка максимума, |
|||
x 5 – точка минимума, |
fmax |
f (1) 13 |
9 12 |
15 1 |
7 , |
|||
fmin f (5) |
53 |
9 52 15 5 |
25 . |
|
|
|
||
Ответ: |
fmax |
f (1) |
7 , |
fmin |
f (5) |
25 . |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
Пример 2.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) |
1 |
x2 |
2x4 |
на отрезке |
1;1 . |
|
|
|
|
|
|
Решение. 1. Находим производную данной функции: |
|
|
|||||||||
f (x) 2x 8x3 |
2x (1 2x) (1 2x) . |
|
|
|
|
||||||
2. |
Находим критические точки − корни производной: f |
(x) |
0 при |
||||||||
x1 0, x2 |
0,5, x3 |
0,5 . |
Все |
критические точки |
находятся |
внутри |
|||||
интервала ( |
1;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычисляем значения функции в критических точках и на грани- |
||||||||||
цах отрезка: |
f (0) |
1, f ( |
0,5) |
f (0,5) |
1,125, f ( |
1) |
f (1) |
0. |
|
||
4. |
Сравнив найденные значения функции, делаем вывод, что на от- |
||||||||||
резке |
1;1 |
наибольшее ее значение |
M 1,125 |
достигается в точках |
|||||||
x2 |
0,5, x3 |
0,5 , а наименьшее значение m |
0 − на концах иссле- |
||||||||
дуемого отрезка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: M 1,125 , m |
0 . |
|
|
|
|
|
|
3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции y f (x) называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале (a;b) , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 1).
y
М
0 |
а |
х0 |
b |
x |
Рис. 1
8
График дифференцируемой функции y f (x) называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a;b) , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 2).
y
М
0 |
а |
х0 b |
x |
|
|
Рис. 2 |
|
Теорема (достаточное условие выпуклости (вогнутости) гра-
фика функции). Если f (x) 0 в интервале (a;b) , то график функ-
ции является выпуклым в этом интервале. Если f |
(x) |
0 в интервале |
(a; b) , то график функции является вогнутым в этом интервале. |
||
Точки, в которых вторая производная функции |
y |
f (x) равна ну- |
лю или бесконечности, или вовсе не существует, называются критическими точками второго рода. Эти точки лежат внутри области определения данной функции.
Точки перегиба функции находятся среди критических точек второго рода.
Точка M (x0; f (x0 )) , отделяющая выпуклую часть непрерывной
функции от вогнутой, или наоборот называется точкой перегиба
(рис. 3).
9
y
M
f (x0)
0 |
x0 |
x |
Рис. 3
Заметим, что график функции пересекает касательную в точке перегиба и переходит с одной ее стороны на другую.
Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если x0 – точка перегиба графика функции y f (x) , то либо вторая производная в этой точке не существует, либо f (x0 ) 0 .
Теорема (достаточное условие точки перегиба). Если при пере-
ходе через критическую точку x0 вторая производная |
f (x) |
меняет |
знак, то точка M (x0; f (x0 )) есть точка перегиба функции y |
f (x) . |
|
Если же f (x) знака не меняет, то точка M (x0; f (x0 )) |
точкой пере- |
|
гиба не является. |
|
|
Пример 3.1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и во-
гнутости графика функции y |
x3 |
5x2 |
3x 5 . |
|
Решение. Функция |
y x3 |
5x2 |
3x |
5 определена и дважды диф- |
ференцируема при x |
R . |
|
|
|
y 3x2 10 x 3 , y 6x 10.
Находим точки, в которых вторая производная обращается в 0 или не существует:
1) y 0; x 53 ;
10