4. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Если целевая функция либо система ограничений (либо вместе) содержит выражения, нелинейные по искомым переменным, то задача является задачей нелинейного программирования. Задачи, в которых ограничения и функция цели линейны и предполагается целочисленность переменных, также являются нелинейными. В задачах нелинейного программирования отсутствуют все или некоторые из свойств, характеризующих линейные задачи. Область допустимых решений в задачах линейного программирования выпукла. В задачах нелинейного программирования это свойство не сохраняется - областьдопустимых решений может быть невыпуклой либо даже состоять из нескольких несвязанных областей. Таким образом, в общем случае задача нелинейного программирования является чрезвычайно трудной для решения. Если число переменных в задаче не превышает трех, то можно попытаться решить задачу графически [3,6]. Графическое решение задачи нелинейного программирования существенно отличается от такого же решения задач линейного программирования. Даже в том случае, если область допустимых решений задачи представлена системой линейных неравенств, оптимальное решение задачи может находиться в любой точке области: на границеилидажевнутриобласти.

Примеры графического решения задач нелинейного программирова-

ния.

Пример1. Найтиоптимальноерешениезадачи

x1 + 2x2 ≤12 (I);

x1 + x2 ≤9 (II);

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0;

функции, равный fmin =0. Максимальное значение целевой функции достигается на окружности, проходящей через точку D(9;0) , где fmax =(9 −2)2 +(0 −3)2 =58 .

33

34

ОДРзадачитаже, чтоивпримере1— эточетырехугольник OEBD (рис. 4.2). Линиями уровня целевой функции являются гиперболы, асимптотами которых служат прямые x1 =7; x2 =1. С ростом модуля значения f гиперболы

удаляются от точки пересечения асимптот. Максимальное значение целевая функция достигает на гиперболе, проходящей через точку O(0;0) , где

fmax =7 . Наименьшее значение целевая функция достигает на гиперболе, проходящей через точку Е (0;6), где fmin = −35.

Отметим, что экстремум целевой функции (ЦФ) может достигаться в точке касания линии уровня ЦФ и граничной кривой ОДР. Для нахождения координат этой точки необходимо составить систему уравнений, включающую уравнения граничной кривой ОДР и линии уровня ЦФ, а также равенство угловых коэффициентов касательных к этим кривым в искомой точке касания.

Пример3. Найтиоптимальноерешениезадачи

x1 + 2x2 ≤12 (I);

x1 + x2 ≤9 (II);

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0;

f = (x1 −4)2 +(x2 −9)2 → min/ max.

ОДР задачи та же, что и в примере 1 — это четырехугольник OEBD (рис.4.3). Линии уровня целевой функции — концентрические окружности

радиусом f ( f ≥ 0) с центром в точке A(4;9) , которая находится вне ОДР; очевидно, чтосростом f радиус окружности увеличивается.

Рис.4.3. Графическое решение примера 3.

35

Максимальное значение целевой функции достигается на окружности, про-

ходящей через точку D(9;0) , где fmax =(9 −4)2 +(0 −9)2 =106 . Минимальное значение целевой функции достигается на окружности, проходящей через точку C - точку касания этой окружности и граничного отрезка EB . Для нахождения координат точки C можно воспользоваться, по крайней мере, двумя способами. Первый – общий способ. Составляем систему уравнений, состоящую из 1) уравнения граничной прямой ограничения I , 2) выражения для ЦФ и 3) уравнения, отражающего равенство угловых коэффициентов граничной прямой ограничения I и касательной к линии уровня ЦФ. Угловой коэффициент граничной прямой ограничения I равен kI = −0,5 . Для нахождения углового коэффициента касательной к линии

(2;5) . Целевая функция принимает минимальное значение в этой точке: fmin = f (C) =(2 −4)2 +(5 −9)2 = 20 .

36

Индивидуальные задания. Графически найти решение задачи нелинейного программирования.

37