3. РЕШЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ EXCEL ОДНОЙ ИЗ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ СЕТЕВОМ ПЛАНИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ (СПУ)

Теоретические основы.

Одной из основных задач СПУ является нахождение на сетевом графике критического пути, длительность которого Tcr определяет время ис-

полнения всего проекта, описываемого с помощью СПУ [1,2]. Однако часто Tcr превосходит плановое время Tpl исполнения проекта. Использование

дополнительных ресурсов (денежных, трудовых, материальных и т.п.) приводит к сокращению сроков исполнения работ, входящих в проект:

tij' =tij −kij xij , где tij - время исполнения работы (i, j) в отсутствие дополнительных ресурсов, tij' - время исполнения работы (i, j) при использовании ресурсов в количестве xij , kij - технологические коэффициенты. Задача оп-

тимизации, связанная с подобным влиянием дополнительных ресурсов на длительности исполнения работ, состоит в следующем. Необходимо при минимальной затрате дополнительных ресурсов исполнить проект за время, не превосходящее плановое Tpl [4]. Математическая формулировка за-

дачи такова:

вершающее событие проекта, TijO (TijH ) - момент окончания (начала) работы (i, j) , dij - минимально возможная длительность работы (i, j) .

Первое соотношение системы (3.1) означает, что все работы, оканчивающиеся в завершающем событии n , завершаются не позднее Tpl . Второе

соотношение указывает на то, что длительности всех работ не меньше минимальных длительностей этих работ. Третье соотношение дает зависи-

27

мость длительностей работ (i, j) от величины дополнительных ресурсов xij . Четвертое соотношение указывает на то, что все работы (i, j) , оканчивающиеся в некотором промежуточном узле j , имеют более ранние моменты окончания TijO , чем моменты TjrH начала работ ( j,r), исходящих из

этого же узла. Пятое соотношение отражает естественное условие неотрицательности рассматриваемых переменных (полагаем, что весь проект начинается в нулевой момент времени). Соотношение (3.2) представляет собой требование минимальности суммарных дополнительных затрат, т.е.

F = ∑xij - целевая функция задачи (3.1)-(3.2). Искомыми переменными

(i, j)

задачи (3.1)-(3.2) являются TijH ,TijO , xij , (i, j) e . Задача (3.1)-(3.2) является

задачей линейного программирования, для решения которой можно использовать симплекс-метод, либо численные методы. Поскольку даже при небольшом количестве работ в проекте, задача (3.1)-(3.2) имеет много искомых неизвестных, то эту задачу удобнее решать, например, в EXCEL с использованием надстройки «Поиск решения».

Пример решения задачи (3.1)-(3.2) в EXCEL

Рассмотрим проект, описываемый сетевым графиком, представленным на рис.3.1. Два числа у каждой дуги означают длительность работы без дополнительных ресурсов и минимальную длительность работы, т.е. tij

и dij соответственно. Плановое время исполнения проекта Tpl = 21, техно-

логические коэффициенты следующие: k12 =0,15;k13 =0,3;k14 =0,1;k24 =0,5;k34 =0,3.

3

Рис.3.1. Сетевой график проекта.

28

Оптимизационная задача имеет вид:

Итак, имеем 15 неизвестных и 18 ограничений, не считая ограничений неотрицательности неизвестных.

Методику задания данных в EXCEL для решения задачи линейного программирования можно почерпнуть, например, из [1]. Для решения в EXCEL задачи (3.3)-(3.4) в ячейки D4:T4 вносим значения 0 – это ячейки, значения в которых будут изменяться в процессе поиска решения. Эти значения соответствуют значениям искомых неизвестных, поименованных в ячейках D3:T3. В ячейки D5:T22 вносим коэффициенты из ограничений (3.3). В ячейки D23:T23 вносим коэффициенты целевой функции (3.4). В столбец U5:U23 помещаем формулы для нахождения левых частей ограничений (3.3) и выражения для целевой функции (3.4). Это делается следующим образом: в ячейку U5 помещаем формулу =СУММПРОИЗВ($D$4:$T$4;D5:T5), далее формула копируется до ячейки U23 включительно. Следует обратить внимание на то, что ячейки $D$4:$T$4 имеют абсолютную адресацию (почему?); абсолютная адресация задается либо вручную, либо нажатием клавиши F4. Отметим, что в ячейке U23 содержится выражение для целевой функции (3.4). В ячейки W5:W22 помещаем правые части ограничений (3.3). Столбец V5:V23 является информационным – в нем указаны соотношения между левыми и правыми частями ограничений (3.3). Лист EXCEL с введенными данными для задачи (3.3)-(3.4) приведен на рис.3.2.

На рис.3.3 представлена основная панель надстройки «Поиск решения» с введенными ограничениями задачи (3.3)-(3.4) и другими необходимыми для ее решения данными. Эта надстройка вызывается: в EXCEL 2003 - Сервис→Поиск решения; в EXCEL 2007 - Данные→Поиск решения.

Нажатие клавиши Выполнить приводит к сообщению о нахождении решения (см. рис.3.4); само решение задачи представлено на рис.3.5.

29

32