Законы алгебры логики

Из определения вышеприведенных функций можно установить целый ряд простейших свойств:

В алгебре логики установлен целый ряд законов, с помощью которых возможно преобразование логических функций (ЛФ):

• коммутативный(переместительный)

• ассоциативный(сочетательный)

Эти законы полностью идентичны законам обычной алгебры;

• дистрибутивный(распределительный)

• закон поглощения. В дизъюнктивной форме ЛФ конъюнкция меньшего ранга, т.е. с меньшим числом переменных, поглощает все конъюнкции большего ранга, если ее изображение содержится в них. Это же справедливо и для конъюнктивных форм:

• закон склеивания

где - логическая функция общего вида, не зависящая от переменной;

• закон свертки

• правило де Моргана

Убедиться в тождественности приведенных зависимостей можно путем аналитических преобразований выражений, находящихся в левой и правой частях, или путем построения таблицы истинности для ЛФ.

Используя данные законы, можно преобразовывать исходные выражения в более простые (минимизировать их). По упрощенным выражениям можно построить техническое устройство, имеющее минимальные аппаратурные затраты.

Техническая интерпретация логических функций

По логическим выражениям проектируются схемы ЭВМ. При этом следует придерживаться следующей последовательности действий.

• Словесное описание работы схемы.

• Формализация словесного описания.

• Запись функций в дизъюнктивной (конъюнктивной) совершенной нормальной форме по таблицам истинности.

• Минимизация логических зависимостей с целью их упрощения.

• Представление полученных выражений в выбранном логически полном базисе элементарных функций.

• Построение схемы устройства.

• Проверка работоспособности полученной схемы.

Покажем взаимосвязь перечисленных этапов на примере.

Пример 14.13. Спроектировать схему, фиксирующую появление "неправильной" тетрады в двоично-десятичном представлении чисел.

1. Каждая тетрада двоично-десятичного представления числа содержит десятичные цифры 0-9, что соответствует двоичным числам 0000-1001. Значения тетрады, соответствующие двоичным числам 1010-1111 (шестнадцатеричные цифры A-F), не должны появляться при представлении десятичных чисел.

2. Составим таблицу истинности функции (рис.14.2), которая принимает значения, равные единице, при появлении "неправильных" тетрад. Разряды тетрады обозначим переменными.

Рис. 14.2. Таблица истинности функции F

3. Исходная совершенная дизъюнктивная нормальная форма записывается как

4. Эта форма функции допускает упрощение, если использовать законы алгебры логики.

5. Минимальная форма функции в логически полном базисебудет иметь вид:

Для представления этой же схемы в другом полном базисе, например, , воспользуемся правилом де Моргана:

6. По полученным зависимостям можно построить схемы фиксации "неправильных" тетрад (рис.14.3).

7. Проверить работоспособность построенных схем можно путем задания различных комбинаций переменных и определения реакции на выходе схемы.

Рис. 14.3. Схема фиксации неправильных тетрад

Кодирование информации в компьютере

Информация- это сведения об окружающем мире и протекающих в нем процессах, воспринимаемые человеком или специализированным устройством, например, в компьютере, для обеспечения целенаправленной деятельности.

Информация может быть по своей физической природе числовой, текстовой, графической, звуковой, видео и др. Она также может быть постоянной (не меняющейся), переменной, случайной, вероятностной. Наибольший интерес представляет переменная информация, так как она позволяет выявлять причинно-следственные связи в процессах и явлениях. Существуют различные способы оценки количества информации. Классическим является подход, использующий формулу К. Шеннона. Эта формула учитывает возможную неодинаковую вероятность состояний (сообщений) в наборе

где - количество информации;

- вероятность того, что именно i-е состояние (сообщение) выделено в наборе изсостояний. Применительно к равновероятным исходам она имеет вид (формула Р. Хартли):

где - количество информации, несущей представление о состоянии, в котором находится объект;

- количество равновероятных альтернативных состояний объекта.

Любая информация, обрабатываемая в компьютере, должна быть представлена двоичными цифрами {0,1}, т.е. должна быть закодирована комбинацией этих цифр. Код- это набор условных обозначений для представления информации, а процесс представления информации с использованием элементов кода называетсякодированием. Различные виды информации (числа, тексты, графика, звук) имеют свои правила кодирования. Коды отдельных значений, относящиеся к различным видам информации, могут совпадать. Поэтому расшифровка кодированных данных осуществляется по контексту при выполнении команд программы. Ранее были показаны особенности представления и кодирования числовых данных. Рассмотрим особенности представления в компьютерах других видов информации.